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最值问题是中学数学的主要内容。它分部在各块知识点， 各个知识水平层面，以最值为载体，考查中学数学的所有知识
点，考查分类讨论，数形结合，转化与归纳等诸多的数学思想和 方法。求最值问题的过程实际上就是新问题向旧问题的转化， 复杂问题向简单问题的转化，未知向已知的转化。虽然解决问 题的具体过程不尽相同，但就其思维方式来讲，大都是通过分类 讨论，数形结合，归纳猜想来研究问题，从而使原问题得到解决。
一、求函数最值的方法
（1）一元二次函数中的最值问题。一元二次函数的一般形 式为 y = ax2 + bx + c （ a ≠ 0.a， b， c ∈ R ）然后根据 a 的符号 来确定是最大值或最小值 ，此 类函数可以先通过配方为 y =
学中的一种重要的思想方法，考虑函数的几何意义，结合几何背 景，把代数问题转化为几何问题，解法往往显得直观，简洁，其实 质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形 象思维结合起来。发挥数与形两种信息的转换及其优势互补与 整和。
例 2：设 A=x - a + x - 20 + x - a - 20 其中 0 解：如图 a，20，a+20 是数轴上的三个数，则问题转化为在数
轴上找一点，使它到表示 a，20，a+20 的三个点距离之和最小。
b
a （ x +
2a
）2 +
4ac - b2
4a
然后，根据 a 的符号来确定最值 . 即 a
易知当 x=20 时，它到表示 a，20，a+20 的三个点距离之和最小，
>0，ymin =
4ac - b2
4a
.a<0，ymax =
4ac - b2
4a
其中，当 a=b 时，等式
故当 x=20 时，A 有最小值。即 A=20-a+a=20。可见，借助数轴
可以把问题容易的解出 . 但同时，借助函数图象的性质或几何知
成立 . 在具体应用的时候，一定要注意等号是否能够取到 .
例 1：某自来水厂的蓄水池中有 400 吨水，水厂每小时可向 蓄水池中注入 m 吨水（m>0），同时蓄水池又向居民小区供水，t 小 时内供水总量为 120 6t 吨（0 ≤ t ≤ 24）。①当 m=80 时，问多少 小时后蓄水池中的水量最少？②为保证全天蓄水池中的水量始 终保持在 40 吨或 40 吨以上，则 m 的最小值为多少？
解：①依题意知 f （ t ） = 400 + mt - 120 6t 当 m=80 时，
识，可直观形象地探寻解题思路。
y = 26 数形结合就是把代数的问题转换为几何问题， 借助于几何图形把数学语言更加形象化。
（3）利用反函数知识来求函数最值问题。此类函数利用原
函数的一些已知条件或实际情况，结合其定义域，找出适合此类
问题的简便方法，从而求出结果。
例 3：求 y = 2x - 1（ x ≥ 0 ） 的最小值 .
x + 1
配 方 得 f （ t ） = 400 + mt - 120 6t =80 （ 5 + t -
解： 将原函数变形得 x =
-2y - 1
（ x ≥ 0 ），∴
-2y - 1
3 3
） = 80 （ -
2 4
3
）2 + 130 知 a=80>0，故 当 =
9 × 6
y - 2
那 （ 2y + 1 ） （ y - 2 ） ≤ 0 且 y - 2 ≠ 0， ∴- 1
2
y - 2
< y < 2
6 时，蓄水池中的水量最少 . 即 t=
4 16
≈ 3（小时）。②由题
x2
∴ ymin = -
2
意知 y = 400 + mt - 120 6t ≥ 40 设 x = 6t ，t = 已知
6
（4）三角函數中的最值问题。三角函数中的最值问题是三
0 ≤ t ≤ 24， 则 0 ≤ x ≤ 12 可 化 为 y = 400 +
mx2
-
6
角函数基础知识的综合应用，利用函数的有界性或利用均值不
等式，或利用函数的单调性，经过适当的三角变换，使问题得到
120x ≥ 40 在 x∈ [ 0， 12 ] 成立，则 mx2 ≥ -360 × 6 + 720x，即
m ≥ -2160 （ 1 - 1 ）2 + 60，当 m ≥ 60 吨，在[0，12]恒成立。
解决。
例
：求 f θ
4sinθ - 1 π
x 6 4
（ ） = ， θ ∈ [ 0， ]的最值 . sinθ + cosθ + 1 2
由 此 可 见 ，求 解 一 元 二 次 函 数 最 值 时 一 般 要 把 它 y =
4sinθ - 1
a （ x + b
）2 +
2a
4ac - b2
4a
的形式来求最值较为简单。这样的
解 ： 将 该 题 变 形 为 f （ θ ） = = sinθ + cosθ + 1
2 （ sinθ + cosθ ）2 - 3
话，一元二次方程可以就可以按照相应的方法进行计算，从而得
sinθ + cosθ + 1
引 进 中 间 变 量 t 设 t = sinθ + cosθ =
到问题的结果。
（2）利用数形结合法来求函数最值问题。数形结合法是数
2 sin （ θ +
π π
），∴ θ ∈ [ 0，
4 4
]，∴（ θ +
π
） ∈ [
4
π 3π
， ]，
4 4
× t 2 - 3
∴ t ∈ [ 1， 2 ]，则 ∴ f （ θ ） =
t + 1
为 单 调 增 函 数 ，即
n 项和可表示为关于自然数 n 的函数，利用函数求最值的方法 .
三、求解析几何中最值的方法
max
2
=
2 + 1
- 1，f
min
（ θ ） = 2 × 1 - 3
1 + 1
（1）利用定义来求最值。用定义求最值，主要就是利用平面
几何性质或圆锥的定义来求最值 .
= - 1 深入理解，领会三角函数的各种性质，特别是单调性，将有
2
例 1：设 P 是椭圆
x2
a2 +
y2
b2 = 1，（ a > b > 0 ） 的一点，两焦点
助于我们提高求解有关问题的思维质量，进而达到事半功倍的
效果。
为 F1 ， F2
求PF
? PF2
的最值 .
（5）向量法来求最值问题。向量是现代数学的重要工具。
解：由椭圆定义得PF + PF = 2a，则 （ PF 2
对于向量 a，b，有 a ? b ≤ a ? b ，应用这一不等式来求函数最
= 4a2 = （ PF
- PF2
）2 + 4 PF
? PF2
≥ 4 PF1 ?
值，有时显得简捷明快，能收到新奇的效果 .
PF ，∴ PF ? PF ≤ a2，PF
? PF2 最大值是 a .
例 5：若 x + 1 + y - 2 ≥ 5，求 z=x + y 的最小值。
解 ： 设 a = （ x + 1， y - 2 ）， b = （ 1， 1 ） 由 a ? b ≤ a ?
（2）运用函数知识求几何中最值的方法。就是把几何中量
转化为二次函数的形式，利用配方法或判式法求得最值 .
例 2：以曲线 xy = a 与曲线 y = x2 + x - a 的三个焦点为
b 得 （ x + 1 ） + （ y - 2 ） ? ≥ +
≥ 5，
顶点的三角形面积，求 a 为何值时，面积最大 .（其中 0 解：解方程组 xy = a，y = x2 + x - a 得三个交点坐标 A（-1，
5 2 27
所 以 ≥ + ≥ ， 故
min
= （ x + y ）
min =
2 2 - a） B（
27
） C（ - a， -
），∴ S△ =
（ 1 - a ），
. 可见，运用向量不等式可以把问题简单化，更利于函数问题
2
∵ 1 - a > 0， ∴ S2
= a （ 1 - a ）2 =
1 × 2a （ 1 - a ） （ 1 -
的解决 .
（6）利用不等式来求最值问题。基本不等式是求最值问题
a ） ≤ 1 （ 2a + 1 - a + 1 - a
）3 =
2
4 当且仅当 2a=1 - a，即
的重要工具，灵活应用不等式，即把问题化为不等式的情况，就 能有效的解决一些给约束条件的函数最值问题 .
2
a= 1 时， s
3
3 27
2 3
max = .
9
例 6：x， y， z 是 实 数 ，并 且 满 足 x + y + z=0， xyz=2， 求 x +
y + z 的最小值 .
解：由题意得，可知 x， y， z 有 2 个负数 1 个正数，不妨設 x>0，y<
（3）利用参数法来求最值。利用曲线的参数方程把问题转 化为三角函数，最后利用三角函数的最值求出所需的最值 .
例 3：若 3x2 + 2y2 = 6x， 求 （ 1 ） x2 + y2的最大值 （ 2 ） x + y的最大值
0， z<0， 则
x + y + z = x - y - z = 2x， 又 2x = 4 =
解：将3x2 + 2y2 = 6x可化为 （ x - 1 ）2 +
y2
= 1，设
4
（ -y ） （ -z ）
，当 - y>0， - z>0 时 ，（ -y ） （ -z ） ≤ [ （ -y ） （ -z ） ]2， 3
2 2
∴ 2x = 4
（ -y ） （ -z ）
≥ ，∴ x3 ≥ 8，解 得 ：x ≥ 2∴ x +
x2
x = 1 + cosθ， y = 6 sinθ， 则 x2 + y2 = 1 + 2cosθ +
2
y + z = 2x ≥ 4，即x + y + z 最小值为 4. 由解题过程可
知，运用不等式大大减少了运算量，并且可以回顾以往学习的知
cos2 θ + 3 sin2 θ = 9 - 1 （ cosθ - 2 ）2 既最大值为 4x + y = 2 2 2
识，则函数知识得到更加牢固的掌握 . 这就是此法的方便之处。
二、求数列最值的方法
1 + cosθ + 6 sinθ = 1 +
2
sin （ θ + φ ） 其 中 φ =
2
arcTan 6 ，所以最大值为 1 + 10 在解析几何中，解最值
（1）直接找取最值项。在数列an中，若 an 为最大值项，则 3 2
an ≥ an + 1， 且 an ≥ an - 1 若 an 为 最 小 值 项 ，则 an ≤ an + 1 且
an ≤ an - 1 列出不等式组求出正整数 n.
（2）用比较法求最值问题。通过对前一项与后一项的大小 比较得到最大项或最小项 .
（3）运用函数知识求数列最值。数列是一种特殊的函数，前
问题时要慎重考虑用那种方法简便，使问题容易的解答。 综上可知，最值问题内涵丰富，解法灵活。在解题时要因题
而异，上述方法并非彼此独立，而且是相互渗透，相互联系的。
因此，在解題的关键是分析和思考，根据不同的题型采用恰当的 解题方法，如果有一题多解的现象，应选择最优解法。
点，考查分类讨论，数形结合，转化与归纳等诸多的数学思想和 方法。求最值问题的过程实际上就是新问题向旧问题的转化， 复杂问题向简单问题的转化，未知向已知的转化。虽然解决问 题的具体过程不尽相同，但就其思维方式来讲，大都是通过分类 讨论，数形结合，归纳猜想来研究问题，从而使原问题得到解决。
一、求函数最值的方法
（1）一元二次函数中的最值问题。一元二次函数的一般形 式为 y = ax2 + bx + c （ a ≠ 0.a， b， c ∈ R ）然后根据 a 的符号 来确定是最大值或最小值 ，此 类函数可以先通过配方为 y =
学中的一种重要的思想方法，考虑函数的几何意义，结合几何背 景，把代数问题转化为几何问题，解法往往显得直观，简洁，其实 质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形 象思维结合起来。发挥数与形两种信息的转换及其优势互补与 整和。
例 2：设 A=x - a + x - 20 + x - a - 20 其中 0
轴上找一点，使它到表示 a，20，a+20 的三个点距离之和最小。
b
a （ x +
2a
）2 +
4ac - b2
4a
然后，根据 a 的符号来确定最值 . 即 a
易知当 x=20 时，它到表示 a，20，a+20 的三个点距离之和最小，
>0，ymin =
4ac - b2
4a
.a<0，ymax =
4ac - b2
4a
其中，当 a=b 时，等式
故当 x=20 时，A 有最小值。即 A=20-a+a=20。可见，借助数轴
可以把问题容易的解出 . 但同时，借助函数图象的性质或几何知
成立 . 在具体应用的时候，一定要注意等号是否能够取到 .
例 1：某自来水厂的蓄水池中有 400 吨水，水厂每小时可向 蓄水池中注入 m 吨水（m>0），同时蓄水池又向居民小区供水，t 小 时内供水总量为 120 6t 吨（0 ≤ t ≤ 24）。①当 m=80 时，问多少 小时后蓄水池中的水量最少？②为保证全天蓄水池中的水量始 终保持在 40 吨或 40 吨以上，则 m 的最小值为多少？
解：①依题意知 f （ t ） = 400 + mt - 120 6t 当 m=80 时，
识，可直观形象地探寻解题思路。
y = 26 数形结合就是把代数的问题转换为几何问题， 借助于几何图形把数学语言更加形象化。
（3）利用反函数知识来求函数最值问题。此类函数利用原
函数的一些已知条件或实际情况，结合其定义域，找出适合此类
问题的简便方法，从而求出结果。
例 3：求 y = 2x - 1（ x ≥ 0 ） 的最小值 .
x + 1
配 方 得 f （ t ） = 400 + mt - 120 6t =80 （ 5 + t -
解： 将原函数变形得 x =
-2y - 1
（ x ≥ 0 ），∴
-2y - 1
3 3
） = 80 （ -
2 4
3
）2 + 130 知 a=80>0，故 当 =
9 × 6
y - 2
那 （ 2y + 1 ） （ y - 2 ） ≤ 0 且 y - 2 ≠ 0， ∴- 1
2
y - 2
< y < 2
6 时，蓄水池中的水量最少 . 即 t=
4 16
≈ 3（小时）。②由题
x2
∴ ymin = -
2
意知 y = 400 + mt - 120 6t ≥ 40 设 x = 6t ，t = 已知
6
（4）三角函數中的最值问题。三角函数中的最值问题是三
0 ≤ t ≤ 24， 则 0 ≤ x ≤ 12 可 化 为 y = 400 +
mx2
-
6
角函数基础知识的综合应用，利用函数的有界性或利用均值不
等式，或利用函数的单调性，经过适当的三角变换，使问题得到
120x ≥ 40 在 x∈ [ 0， 12 ] 成立，则 mx2 ≥ -360 × 6 + 720x，即
m ≥ -2160 （ 1 - 1 ）2 + 60，当 m ≥ 60 吨，在[0，12]恒成立。
解决。
例
：求 f θ
4sinθ - 1 π
x 6 4
（ ） = ， θ ∈ [ 0， ]的最值 . sinθ + cosθ + 1 2
由 此 可 见 ，求 解 一 元 二 次 函 数 最 值 时 一 般 要 把 它 y =
4sinθ - 1
a （ x + b
）2 +
2a
4ac - b2
4a
的形式来求最值较为简单。这样的
解 ： 将 该 题 变 形 为 f （ θ ） = = sinθ + cosθ + 1
2 （ sinθ + cosθ ）2 - 3
话，一元二次方程可以就可以按照相应的方法进行计算，从而得
sinθ + cosθ + 1
引 进 中 间 变 量 t 设 t = sinθ + cosθ =
到问题的结果。
（2）利用数形结合法来求函数最值问题。数形结合法是数
2 sin （ θ +
π π
），∴ θ ∈ [ 0，
4 4
]，∴（ θ +
π
） ∈ [
4
π 3π
， ]，
4 4
× t 2 - 3
∴ t ∈ [ 1， 2 ]，则 ∴ f （ θ ） =
t + 1
为 单 调 增 函 数 ，即
n 项和可表示为关于自然数 n 的函数，利用函数求最值的方法 .
三、求解析几何中最值的方法
max
2
=
2 + 1
- 1，f
min
（ θ ） = 2 × 1 - 3
1 + 1
（1）利用定义来求最值。用定义求最值，主要就是利用平面
几何性质或圆锥的定义来求最值 .
= - 1 深入理解，领会三角函数的各种性质，特别是单调性，将有
2
例 1：设 P 是椭圆
x2
a2 +
y2
b2 = 1，（ a > b > 0 ） 的一点，两焦点
助于我们提高求解有关问题的思维质量，进而达到事半功倍的
效果。
为 F1 ， F2
求PF
? PF2
的最值 .
（5）向量法来求最值问题。向量是现代数学的重要工具。
解：由椭圆定义得PF + PF = 2a，则 （ PF 2
对于向量 a，b，有 a ? b ≤ a ? b ，应用这一不等式来求函数最
= 4a2 = （ PF
- PF2
）2 + 4 PF
? PF2
≥ 4 PF1 ?
值，有时显得简捷明快，能收到新奇的效果 .
PF ，∴ PF ? PF ≤ a2，PF
? PF2 最大值是 a .
例 5：若 x + 1 + y - 2 ≥ 5，求 z=x + y 的最小值。
解 ： 设 a = （ x + 1， y - 2 ）， b = （ 1， 1 ） 由 a ? b ≤ a ?
（2）运用函数知识求几何中最值的方法。就是把几何中量
转化为二次函数的形式，利用配方法或判式法求得最值 .
例 2：以曲线 xy = a 与曲线 y = x2 + x - a 的三个焦点为
b 得 （ x + 1 ） + （ y - 2 ） ? ≥ +
≥ 5，
顶点的三角形面积，求 a 为何值时，面积最大 .（其中 0 解：解方程组 xy = a，y = x2 + x - a 得三个交点坐标 A（-1，
5 2 27
所 以 ≥ + ≥ ， 故
min
= （ x + y ）
min =
2 2 - a） B（
27
） C（ - a， -
），∴ S△ =
（ 1 - a ），
. 可见，运用向量不等式可以把问题简单化，更利于函数问题
2
∵ 1 - a > 0， ∴ S2
= a （ 1 - a ）2 =
1 × 2a （ 1 - a ） （ 1 -
的解决 .
（6）利用不等式来求最值问题。基本不等式是求最值问题
a ） ≤ 1 （ 2a + 1 - a + 1 - a
）3 =
2
4 当且仅当 2a=1 - a，即
的重要工具，灵活应用不等式，即把问题化为不等式的情况，就 能有效的解决一些给约束条件的函数最值问题 .
2
a= 1 时， s
3
3 27
2 3
max = .
9
例 6：x， y， z 是 实 数 ，并 且 满 足 x + y + z=0， xyz=2， 求 x +
y + z 的最小值 .
解：由题意得，可知 x， y， z 有 2 个负数 1 个正数，不妨設 x>0，y<
（3）利用参数法来求最值。利用曲线的参数方程把问题转 化为三角函数，最后利用三角函数的最值求出所需的最值 .
例 3：若 3x2 + 2y2 = 6x， 求 （ 1 ） x2 + y2的最大值 （ 2 ） x + y的最大值
0， z<0， 则
x + y + z = x - y - z = 2x， 又 2x = 4 =
解：将3x2 + 2y2 = 6x可化为 （ x - 1 ）2 +
y2
= 1，设
4
（ -y ） （ -z ）
，当 - y>0， - z>0 时 ，（ -y ） （ -z ） ≤ [ （ -y ） （ -z ） ]2， 3
2 2
∴ 2x = 4
（ -y ） （ -z ）
≥ ，∴ x3 ≥ 8，解 得 ：x ≥ 2∴ x +
x2
x = 1 + cosθ， y = 6 sinθ， 则 x2 + y2 = 1 + 2cosθ +
2
y + z = 2x ≥ 4，即x + y + z 最小值为 4. 由解题过程可
知，运用不等式大大减少了运算量，并且可以回顾以往学习的知
cos2 θ + 3 sin2 θ = 9 - 1 （ cosθ - 2 ）2 既最大值为 4x + y = 2 2 2
识，则函数知识得到更加牢固的掌握 . 这就是此法的方便之处。
二、求数列最值的方法
1 + cosθ + 6 sinθ = 1 +
2
sin （ θ + φ ） 其 中 φ =
2
arcTan 6 ，所以最大值为 1 + 10 在解析几何中，解最值
（1）直接找取最值项。在数列an中，若 an 为最大值项，则 3 2
an ≥ an + 1， 且 an ≥ an - 1 若 an 为 最 小 值 项 ，则 an ≤ an + 1 且
an ≤ an - 1 列出不等式组求出正整数 n.
（2）用比较法求最值问题。通过对前一项与后一项的大小 比较得到最大项或最小项 .
（3）运用函数知识求数列最值。数列是一种特殊的函数，前
问题时要慎重考虑用那种方法简便，使问题容易的解答。 综上可知，最值问题内涵丰富，解法灵活。在解题时要因题
而异，上述方法并非彼此独立，而且是相互渗透，相互联系的。
因此，在解題的关键是分析和思考，根据不同的题型采用恰当的 解题方法，如果有一题多解的现象，应选择最优解法。