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[摘 要]“为促进理解而教”是国际认可的数学教学的理性追求。以“小数的意义”教学为例，具体阐释一些行之有效的“促进理解”的实践策略：通过探明原理、经历过程、多重联系，让学生明晰“理解什么”，让学生卷入“怎么理解”，让学生实现“理解深刻”。
[关键词]为理解而教;原理;过程;关联
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）11-0013-03
认知心理学提出：“理解实质上就是一个学习者以信息的传输、编码为基础，根据已有的信息建构内部心理表征，进而获得心理意义的过程。”与一般的“理解”相比，数学理解具有典型的学科韵味。首先，理解的对象是数学的概念及其关系，理解意味着对数学概念的内涵和外延的准确把握，對概念之间相互关系的清晰认识。其次，数学理解是过程与结果的统一。从过程方面看，数学理解是学生与数学知识沟通对话，相互融合，不断成生新的认知结构的过程。从结果方面看，数学理解则可以看成是学生数学学习的一种“获得”，是外在的数学结构在个体心理上的投射。
基于以上认识，教师在教学中需要把握数学的本质要素，突出意义的建构过程，使得学生习得数学知识的关联与闭合，从而实现对数学的真正“理解”。
一、探明原理，让学生清楚“理解什么”
英国学者P·欧内斯特说过：“数学教学的问题并不在于寻找最好的教学方式，而在于明白数学是什么，如果不正视数学的本质问题，便永远解决不了教学上的争议。”一般认为，数学知识的本质，既表现为隐藏在客观事物背后的数学知识、数学规律，又表现为隐藏在数学知识背后的本质属性。数学教学教什么？毋庸置疑，摆在第一位的一定是教学内容的本质和内涵。
如小数的意义是什么？追根溯源，小数并不是因改写分数而产生的，而是自然数的十进位值计数规则加以扩展的结果，它是以10的n次幂为分母的另外一种表示形式，是十进制计数向相反方向衍生的结果，其本质就是十进制分数的另一种表现形式。小数和整数在形式上是统一的，小数的出现也使十进制计数法从整数扩展到分数，数的内涵更加丰富了。数的形式改变了，但其中不变的是相邻两个计数单位之间的进率还是10。
“小数的意义”怎么进入学生的视野呢？可以生活中常见的测量身高现象为载体构造情境串。第一则情境是 “小军的身高是1.4米”，让学生思考“这里的1和4分别表示什么”，使其明白，这里的“4”是4格，表示把1米平均分成10份，取了其中的4份，表示0.4米，接着以此为基点逐渐建立起一位小数的基本含义，即“一位小数表示十分之几”;第二则情境是“半个学期后，小军再一次量了身高，身高在1.4与1.5米之间，你能想出办法知道他现在的身高吗？”，引导学生进一步理解“可以把1.4与1.5之间继续平均分成10份，现在高出3小格，每一小格是0.01米，即现在的身高是1.43米”，并在对大量素材的比较中建立起两位小数的意义，即“两位小数表示百分之几”;然后，以大问题“你觉得还有几位小数？请你任选一个两位以上的小数，利用表格或纸片进行研究”驱动学生到达一个更大的空间之中，任学生的思维自由驰骋，使学生在自我感悟、全班共研的环境中理解更多位小数的意义。
“小数的意义”还可以怎么进入学生的视野呢？可以创设在图1中画“0.46”的大问题，让学生的思维一次又一次处于“悱愤”之中。对于画0.46，大多数学生都会想到要涂的是比4格多一点，但多多少呢？学生在深度探索中逐渐明白：可以将第5格再平均分成10份，涂其中的6份。教师进一步提出：“同一幅图中出现了两个计数单位，怎么才能统一计数单位呢？”从而得出更为精确的网格图——将正方形平均分成了100份，这样，计数单位悄悄变化，凸显了相邻十进制计数单位之间的关系，进而引出两位小数的意义。如此设计，学生在理解一位小数意义的基础上进行已有学习经验的正向迁移，通过一系列的追问，学生将已有的十进制知识进行再创造，经历“做”数学的过程，建构两位小数对应的概念表征，理解了两位小数的意义。
二、经历过程，让学生卷入“怎么理解”
让学生自己建构数学，既是教学的目标，也是学生理解数学的方式。若只有教师教，没有给学生学习关键思想和关联点的机会，学生的理解就无从谈起。因此，发展学生的数学理解，重要的是让学生经历学习的过程，让学生自己建构数学知识。弗赖登塔尔认为，数学的根源在于普通常识，数学实质上是人类常识的系统化。因此，每个学生都可以在一定的指导下，通过自己的实践活动来获得这些知识。
强化“变式”。比如，在学生初步理解了一位小数的意义后，可以让学生通过折一折、画一画正方形纸片等方法表示0.3;在学生深入理解了一位小数的意义后，再让学生拿出之前的那张正方形纸片，描绘想研究的一个两位小数。教师对学生作品进行逐一评析，让学生明白，无论画的是一维的线段还是二维的平面图形，只要把它们平均分成10份、100份，其中的几份都可以用小数来表示，促进学生进一步理解和深化小数意义。
又如，教学一位小数的意义之后，还可以编拟如下的练习题，使学生的理解“发生”。
第一幅图没有“老老实实”地按顺序涂三个格子，而是间隔着涂;第二幅图是线段，0.2是截取中间的一段，打破学生的思维定式;第三幅图是立体图形，拓展了“1”的外延，发展学生的空间思维;第四幅图不是平均分成10分，可启发学生思考：“如果看不到平均分成10份，还能用小数表示吗？”使学生打破思维定式，触及知识的本质，即无论看不看得到平均分成10份，涂色部分都可以用小数来表示。
丰富“表征”。每一个抽象的数学概念，都可以有不同的数学表征。不同表征之间的“互译”，可以丰富学生对概念内涵的把握和洞察。因此，教师要鼓励学生用“自定义”的形式表征他们的数学观点，让不同的表征方式之间产生丰富的联系，有利于学生形成丰富的概念意象，促进学生深入理解数学知识。比如，让学生在线段、长方形和长方体三种图形中任选一种来表示0.7、0.23和0.575，从而使其明白：数学知识内部的发展是有规律可循的，尽管每一种图形都可以表示多位小数，但是平均分成10份、100份、1000份，分别对应一维的线段图、二维的平面图和三维的立体图会显得更方便些。又如，让学生在方格纸上画出“0.46”。怎么将第5份平均分成10份？有学生横着分，也有学生竖着分，教师引导学生对两种表征方式进行对比，在肯定都有道理的前提下，引导学生感知横着分的优势更明显：既美观又明晰，更方便把整个正方形平均分成100份。 三、多重关联，让学生实现“理解深刻”
哈佛大学威金斯教授认为，理解不是单方面的成就，而是多方面的，可以通过不同类型的证据表现出来。“真正的理解”可以在六个方面得以体现，即能结构、能解释、能应用、能洞察、能深入、能自知。这六个方面为评价学生的数学理解提供了多元指标的同时，也指出：数学教学不仅要关注知识的客观性标准，也要关注学生在理解数学时的个性化活动。
纳入结构。一般情况下，学习过程只能按时间顺序先后安排，但理解却并不是直线式的简单累积，相反，它是螺旋式地发展、结构式地建造出来的。对于数学来说，无论是一个概念的形成，还是整体认知结构的产生，都需要经历一个建构的过程。用皮亚杰的话说，就是 “每一个结构都是心理发生的结果，而心理发生就是一个从较初级的结构过渡到一个不那么初级的结构。”因此，理解不仅仅是把新知识与已有的旧知识产生联系，而是创建了一个丰富的、整合的知识结构。比如，让学生观察图3，填空并思考三个图之间的联系：
又如，通过将同一个正方体依次平均分成10份、100份、1000份后所得到一份的量（如图4），让学生感受不同计数单位1、0.1、0.01、0.001，感受一位小数、两位小数与三位小数的研究模型及其计数单位之间的关系。
促进阐释。面对不同的问题，人们通常会采取不同的思维方式。基于真实任务的问题解决将学生在学校的学习视为“现实世界中创造性社会实践中完整的一部分”，对促进学生的数学理解具有重要的作用。真实任务能为学生提供一个促进知识向日常生活转化的实践场。在这一实践场中，知识、思维和学习的情境是紧密联系的，学生的信念、经验和已有知识构成解决问题的概念工具。一位教师就设计了一道很有价值的现实问题：“正在上四年级的小马在学校参加了体检，回家后妈妈问他身高是多少，小马回忆了一会儿，说：‘我的身高是这样的一个小数，这个小数里，有数字9和4。’那小马的身高是多少呢？”学生在有趣且富有开放性的问题中，运用已经理解的小數意义进行解释和应用，自然有效地建立了数学与生活的紧密联系。还有一位教师在结课阶段围绕“有了分数为什么还要学习小数呢？”这一思辨性很强的问题，让学生用分数与小数两种表示方法进行计算，从而感受到用小数计算比用分数计算更加快捷与简单，进而领悟到小数诞生的必要性。
教学有法，但教无定法，诚如帕斯默尔所说：理解具有多种多样的表现方式，这些方式彼此相互独立又相互交融，相应地，也有许多不同的教“理解”的方法。期待数学教育因理解而拥有更多的变化与活力。
（责编 金 铃）
[关键词]为理解而教;原理;过程;关联
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）11-0013-03
认知心理学提出：“理解实质上就是一个学习者以信息的传输、编码为基础，根据已有的信息建构内部心理表征，进而获得心理意义的过程。”与一般的“理解”相比，数学理解具有典型的学科韵味。首先，理解的对象是数学的概念及其关系，理解意味着对数学概念的内涵和外延的准确把握，對概念之间相互关系的清晰认识。其次，数学理解是过程与结果的统一。从过程方面看，数学理解是学生与数学知识沟通对话，相互融合，不断成生新的认知结构的过程。从结果方面看，数学理解则可以看成是学生数学学习的一种“获得”，是外在的数学结构在个体心理上的投射。
基于以上认识，教师在教学中需要把握数学的本质要素，突出意义的建构过程，使得学生习得数学知识的关联与闭合，从而实现对数学的真正“理解”。
一、探明原理，让学生清楚“理解什么”
英国学者P·欧内斯特说过：“数学教学的问题并不在于寻找最好的教学方式，而在于明白数学是什么，如果不正视数学的本质问题，便永远解决不了教学上的争议。”一般认为，数学知识的本质，既表现为隐藏在客观事物背后的数学知识、数学规律，又表现为隐藏在数学知识背后的本质属性。数学教学教什么？毋庸置疑，摆在第一位的一定是教学内容的本质和内涵。
如小数的意义是什么？追根溯源，小数并不是因改写分数而产生的，而是自然数的十进位值计数规则加以扩展的结果，它是以10的n次幂为分母的另外一种表示形式，是十进制计数向相反方向衍生的结果，其本质就是十进制分数的另一种表现形式。小数和整数在形式上是统一的，小数的出现也使十进制计数法从整数扩展到分数，数的内涵更加丰富了。数的形式改变了，但其中不变的是相邻两个计数单位之间的进率还是10。
“小数的意义”怎么进入学生的视野呢？可以生活中常见的测量身高现象为载体构造情境串。第一则情境是 “小军的身高是1.4米”，让学生思考“这里的1和4分别表示什么”，使其明白，这里的“4”是4格，表示把1米平均分成10份，取了其中的4份，表示0.4米，接着以此为基点逐渐建立起一位小数的基本含义，即“一位小数表示十分之几”;第二则情境是“半个学期后，小军再一次量了身高，身高在1.4与1.5米之间，你能想出办法知道他现在的身高吗？”，引导学生进一步理解“可以把1.4与1.5之间继续平均分成10份，现在高出3小格，每一小格是0.01米，即现在的身高是1.43米”，并在对大量素材的比较中建立起两位小数的意义，即“两位小数表示百分之几”;然后，以大问题“你觉得还有几位小数？请你任选一个两位以上的小数，利用表格或纸片进行研究”驱动学生到达一个更大的空间之中，任学生的思维自由驰骋，使学生在自我感悟、全班共研的环境中理解更多位小数的意义。
“小数的意义”还可以怎么进入学生的视野呢？可以创设在图1中画“0.46”的大问题，让学生的思维一次又一次处于“悱愤”之中。对于画0.46，大多数学生都会想到要涂的是比4格多一点，但多多少呢？学生在深度探索中逐渐明白：可以将第5格再平均分成10份，涂其中的6份。教师进一步提出：“同一幅图中出现了两个计数单位，怎么才能统一计数单位呢？”从而得出更为精确的网格图——将正方形平均分成了100份，这样，计数单位悄悄变化，凸显了相邻十进制计数单位之间的关系，进而引出两位小数的意义。如此设计，学生在理解一位小数意义的基础上进行已有学习经验的正向迁移，通过一系列的追问，学生将已有的十进制知识进行再创造，经历“做”数学的过程，建构两位小数对应的概念表征，理解了两位小数的意义。
二、经历过程，让学生卷入“怎么理解”
让学生自己建构数学，既是教学的目标，也是学生理解数学的方式。若只有教师教，没有给学生学习关键思想和关联点的机会，学生的理解就无从谈起。因此，发展学生的数学理解，重要的是让学生经历学习的过程，让学生自己建构数学知识。弗赖登塔尔认为，数学的根源在于普通常识，数学实质上是人类常识的系统化。因此，每个学生都可以在一定的指导下，通过自己的实践活动来获得这些知识。
强化“变式”。比如，在学生初步理解了一位小数的意义后，可以让学生通过折一折、画一画正方形纸片等方法表示0.3;在学生深入理解了一位小数的意义后，再让学生拿出之前的那张正方形纸片，描绘想研究的一个两位小数。教师对学生作品进行逐一评析，让学生明白，无论画的是一维的线段还是二维的平面图形，只要把它们平均分成10份、100份，其中的几份都可以用小数来表示，促进学生进一步理解和深化小数意义。
又如，教学一位小数的意义之后，还可以编拟如下的练习题，使学生的理解“发生”。
第一幅图没有“老老实实”地按顺序涂三个格子，而是间隔着涂;第二幅图是线段，0.2是截取中间的一段，打破学生的思维定式;第三幅图是立体图形，拓展了“1”的外延，发展学生的空间思维;第四幅图不是平均分成10分，可启发学生思考：“如果看不到平均分成10份，还能用小数表示吗？”使学生打破思维定式，触及知识的本质，即无论看不看得到平均分成10份，涂色部分都可以用小数来表示。
丰富“表征”。每一个抽象的数学概念，都可以有不同的数学表征。不同表征之间的“互译”，可以丰富学生对概念内涵的把握和洞察。因此，教师要鼓励学生用“自定义”的形式表征他们的数学观点，让不同的表征方式之间产生丰富的联系，有利于学生形成丰富的概念意象，促进学生深入理解数学知识。比如，让学生在线段、长方形和长方体三种图形中任选一种来表示0.7、0.23和0.575，从而使其明白：数学知识内部的发展是有规律可循的，尽管每一种图形都可以表示多位小数，但是平均分成10份、100份、1000份，分别对应一维的线段图、二维的平面图和三维的立体图会显得更方便些。又如，让学生在方格纸上画出“0.46”。怎么将第5份平均分成10份？有学生横着分，也有学生竖着分，教师引导学生对两种表征方式进行对比，在肯定都有道理的前提下，引导学生感知横着分的优势更明显：既美观又明晰，更方便把整个正方形平均分成100份。 三、多重关联，让学生实现“理解深刻”
哈佛大学威金斯教授认为，理解不是单方面的成就，而是多方面的，可以通过不同类型的证据表现出来。“真正的理解”可以在六个方面得以体现，即能结构、能解释、能应用、能洞察、能深入、能自知。这六个方面为评价学生的数学理解提供了多元指标的同时，也指出：数学教学不仅要关注知识的客观性标准，也要关注学生在理解数学时的个性化活动。
纳入结构。一般情况下，学习过程只能按时间顺序先后安排，但理解却并不是直线式的简单累积，相反，它是螺旋式地发展、结构式地建造出来的。对于数学来说，无论是一个概念的形成，还是整体认知结构的产生，都需要经历一个建构的过程。用皮亚杰的话说，就是 “每一个结构都是心理发生的结果，而心理发生就是一个从较初级的结构过渡到一个不那么初级的结构。”因此，理解不仅仅是把新知识与已有的旧知识产生联系，而是创建了一个丰富的、整合的知识结构。比如，让学生观察图3，填空并思考三个图之间的联系：
又如，通过将同一个正方体依次平均分成10份、100份、1000份后所得到一份的量（如图4），让学生感受不同计数单位1、0.1、0.01、0.001，感受一位小数、两位小数与三位小数的研究模型及其计数单位之间的关系。
促进阐释。面对不同的问题，人们通常会采取不同的思维方式。基于真实任务的问题解决将学生在学校的学习视为“现实世界中创造性社会实践中完整的一部分”，对促进学生的数学理解具有重要的作用。真实任务能为学生提供一个促进知识向日常生活转化的实践场。在这一实践场中，知识、思维和学习的情境是紧密联系的，学生的信念、经验和已有知识构成解决问题的概念工具。一位教师就设计了一道很有价值的现实问题：“正在上四年级的小马在学校参加了体检，回家后妈妈问他身高是多少，小马回忆了一会儿，说：‘我的身高是这样的一个小数，这个小数里，有数字9和4。’那小马的身高是多少呢？”学生在有趣且富有开放性的问题中，运用已经理解的小數意义进行解释和应用，自然有效地建立了数学与生活的紧密联系。还有一位教师在结课阶段围绕“有了分数为什么还要学习小数呢？”这一思辨性很强的问题，让学生用分数与小数两种表示方法进行计算，从而感受到用小数计算比用分数计算更加快捷与简单，进而领悟到小数诞生的必要性。
教学有法，但教无定法，诚如帕斯默尔所说：理解具有多种多样的表现方式，这些方式彼此相互独立又相互交融，相应地，也有许多不同的教“理解”的方法。期待数学教育因理解而拥有更多的变化与活力。
（责编 金 铃）