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有关质点运动性问题近几年已成为中考命题的热点与焦点，由于这类题涉及的知识面较广，很多地方都把它作为中考的压轴题．常见的题型有单点动、双点动和多点动，而且动点可能在线段（射线、直线）或折线上运动，也可能在双曲线或抛物线上运动，还有可能出现前后往返或变速运动，由于“点”动带动“线”动，由此就会带来图形的不确定性，这些都给题目带来很大的思考余地和想象空间，能比较全面地考查学生的知识综合运用能力．为了能帮助大家提高解这类题的水平和能力，下面以几道中考题为例来说明解这类题的策略和方法，希望能对大家有所启发．
一、 单点动
例1 （2009•哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为(－3，4)，点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．(1) 求直线AC的解析式；(2) 连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S (S≠0)，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围)；(3) 在(2)的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角．
分析 本题由于动点P沿折线ABC方向运动，带来△PMB的面积和∠MPB的大小也随着而变化，而且都要分“段”讨论．
解 （1） 过点A作AE⊥x轴，垂足为E，如图3．
∵ A (－3，4)，∴ OC=OA=5． ∴ C(5，0)．故直线AC的解析式为：y=－x+．
（2） 当P点在AB边上运动时，如图3．有S=BP•MH=－t+(0≤t＜)．
当P（P）点在BC边上运动时，如图3．则∠MBC=∠MOC=90°，
有S=BP•MB=t－( （3）由∠MPB+∠BCO=90°，可得∠MPB=∠MBH．
当P点在AB边上运动时，如图3．由PA=1，得t=．
当P点在BC边上运动时，记为P，如图3．
由△MBH∽△MPB，得BP=．所以t=．
例2 （2009•江西省）如图4，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F． AB=4，BC=6，∠B=60°．(1) 点E到BC的距离为 ；(2) 点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EP=x．① 当点N在线段AD上时(如图5)，△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；② 当点N在线段DC上时(如图6)，是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
分析 本题点P在线段EF上运动，当点N在线段AD上时，△PMN的形状不变，周长为一定值；当点N在线段DC上时，△PMN的形状就不确定了，需对“边”进行讨论．
解：（1）过点E作EG⊥BC于点G，如图7．在Rt△EBG中，有EG=．
（2） ① 当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变．
过点P作PH⊥MN于H，如图8．可得△PMN的周长=++4．
② 当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角形．
当PM=PN时，如图9，作PR⊥MN于R，则MC=MN=2MR =3．此时，x=2．
当MP=MN时，如图10，这时MC=MN=MP=．此时，x=5－．
当NP=NM时，如图11，则点P与F重合．此时，x=4．
二、 双点动
例3 （2008•苏州）如图12，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12．
动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动．两点同时出发，当P点到达C点时，Q点随之停止运动．当P、Q、C三点构成直角三角形时，P点离开D点多少时间？
分析 题中两动点P、Q在运动，△PQC的形状与之变化．当△PQC构成直角三角形时，应对其角进行讨论．
解 设P点离开D点x秒，P、Q、C三点构成直角三角形．
① 当PQ⊥BC时，如图13，作DE⊥BC于E．则由△CPQ∽△CDE，可得：x=．
② 当QP⊥CD时，如图14，则由△QPC∽△DEC，可得：x=．
例4 （2011•舟山）已知直线y=kx+3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．当k=－1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图15）．若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．
分析 以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似时，要对其对应边进行讨论．
解：由题意得：P(t，0)，C(t，－ｔ＋3)，Q(3－t，0)．
当△AQC∽△AOB时，则点P与点Q重合，由OQ=OP，得t=1.5．
当△ACQ∽△AOB时，则△ACQ是等腰直角三角形，由AQ=2CP，得t=2．
三、 多点动
例5 （2010•红河自治州）如图16，在直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=12cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以2cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动.如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s．（1）求∠OAB的度数；（2）以OB为直径的⊙O′与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O′相切？（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求S的最小值及相应的t值；（4）是否存在△APQ为等腰三角形，若存在，求出相应的t值，若不存在请说明理由．
解 （1） 在Rt△AOB中：tan∠OAB==，∴∠OAB=30°．
（2） 如图17，连接O′P，O′M. 当PM与⊙O′相切时，有△PMO′≌△POO′．
此时△O′BM是等边三角形． ∴ OP=6．又OP=2t，所以t=3．
（3） 如图17，过点Q作QE⊥x于点E．则Q点的坐标为（12－2t，2t）．
S△PQR=S△OAB－S△OPR－S△APQ－S△BRQ=•12•12－•2t•(12－2t)－(12－2t)•2t－•2t(12－2t)=6(t－3)+18 （0＜t＜6）． 当t=3时，S△PQR最小=18．
（4） 分三种情况：如图18．
① 当AP=AQ=4t时，有2t+4t=12．所以t=12－18．
② 当PQ=AQ=4t时，过Q点作QD⊥x轴于D．有2t+4t =12，所以t=2．
③ 当PA=PQ时，过点P作PH⊥AB于点H．有36－6t=4t， ∴ t=3.6．
例6 （2009•淄博）如图19，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ = xcm (x≠0)，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x 为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
分析 本题图中由于四个动点的运动速度不同，所以首先要搞清它们谁运动最快、谁运动最慢，这样有利于分析题中以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形和等腰梯形各边的情况．
解 （1） ① 当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x=－1 符合题意．
② 当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5不符合题意．
（2） ① 当点P在点N的左侧时，由20－(x+3x)=20－(2x+x)，可解得x=2．
② 当点P在点N的右侧时，由20－(x+3x)=(2x+x)－20，可解得x=4．
（3） 过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为E，F．则由PE=NF，即2x－x=x－3x．
解得x=4时， 因为以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．
通过以上一组例题的解析，我们可以看到解有关质点运动性问题时，首先要分清题中有几个动点，它们分别在什么线上运动，前后速度有无变化等，然后画出各种情形的图形，找到各种情形的分界点，用时间来表示各个动点移动的距离，再根据题目要求列出方程或函数关系式，对一些不确定的图形要作为特殊图形或有特殊要求时，应进行分类讨论．只要我们对有关质点运动性问题多练习，就一定会掌握其解题方法和技巧，从而提高我们数学解题的能力和水平．
一、 单点动
例1 （2009•哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为(－3，4)，点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．(1) 求直线AC的解析式；(2) 连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S (S≠0)，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围)；(3) 在(2)的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角．
分析 本题由于动点P沿折线ABC方向运动，带来△PMB的面积和∠MPB的大小也随着而变化，而且都要分“段”讨论．
解 （1） 过点A作AE⊥x轴，垂足为E，如图3．
∵ A (－3，4)，∴ OC=OA=5． ∴ C(5，0)．故直线AC的解析式为：y=－x+．
（2） 当P点在AB边上运动时，如图3．有S=BP•MH=－t+(0≤t＜)．
当P（P）点在BC边上运动时，如图3．则∠MBC=∠MOC=90°，
有S=BP•MB=t－(
当P点在AB边上运动时，如图3．由PA=1，得t=．
当P点在BC边上运动时，记为P，如图3．
由△MBH∽△MPB，得BP=．所以t=．
例2 （2009•江西省）如图4，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F． AB=4，BC=6，∠B=60°．(1) 点E到BC的距离为 ；(2) 点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EP=x．① 当点N在线段AD上时(如图5)，△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；② 当点N在线段DC上时(如图6)，是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
分析 本题点P在线段EF上运动，当点N在线段AD上时，△PMN的形状不变，周长为一定值；当点N在线段DC上时，△PMN的形状就不确定了，需对“边”进行讨论．
解：（1）过点E作EG⊥BC于点G，如图7．在Rt△EBG中，有EG=．
（2） ① 当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变．
过点P作PH⊥MN于H，如图8．可得△PMN的周长=++4．
② 当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角形．
当PM=PN时，如图9，作PR⊥MN于R，则MC=MN=2MR =3．此时，x=2．
当MP=MN时，如图10，这时MC=MN=MP=．此时，x=5－．
当NP=NM时，如图11，则点P与F重合．此时，x=4．
二、 双点动
例3 （2008•苏州）如图12，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12．
动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动．两点同时出发，当P点到达C点时，Q点随之停止运动．当P、Q、C三点构成直角三角形时，P点离开D点多少时间？
分析 题中两动点P、Q在运动，△PQC的形状与之变化．当△PQC构成直角三角形时，应对其角进行讨论．
解 设P点离开D点x秒，P、Q、C三点构成直角三角形．
① 当PQ⊥BC时，如图13，作DE⊥BC于E．则由△CPQ∽△CDE，可得：x=．
② 当QP⊥CD时，如图14，则由△QPC∽△DEC，可得：x=．
例4 （2011•舟山）已知直线y=kx+3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．当k=－1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图15）．若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．
分析 以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似时，要对其对应边进行讨论．
解：由题意得：P(t，0)，C(t，－ｔ＋3)，Q(3－t，0)．
当△AQC∽△AOB时，则点P与点Q重合，由OQ=OP，得t=1.5．
当△ACQ∽△AOB时，则△ACQ是等腰直角三角形，由AQ=2CP，得t=2．
三、 多点动
例5 （2010•红河自治州）如图16，在直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=12cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以2cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动.如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s．（1）求∠OAB的度数；（2）以OB为直径的⊙O′与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O′相切？（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求S的最小值及相应的t值；（4）是否存在△APQ为等腰三角形，若存在，求出相应的t值，若不存在请说明理由．
解 （1） 在Rt△AOB中：tan∠OAB==，∴∠OAB=30°．
（2） 如图17，连接O′P，O′M. 当PM与⊙O′相切时，有△PMO′≌△POO′．
此时△O′BM是等边三角形． ∴ OP=6．又OP=2t，所以t=3．
（3） 如图17，过点Q作QE⊥x于点E．则Q点的坐标为（12－2t，2t）．
S△PQR=S△OAB－S△OPR－S△APQ－S△BRQ=•12•12－•2t•(12－2t)－(12－2t)•2t－•2t(12－2t)=6(t－3)+18 （0＜t＜6）． 当t=3时，S△PQR最小=18．
（4） 分三种情况：如图18．
① 当AP=AQ=4t时，有2t+4t=12．所以t=12－18．
② 当PQ=AQ=4t时，过Q点作QD⊥x轴于D．有2t+4t =12，所以t=2．
③ 当PA=PQ时，过点P作PH⊥AB于点H．有36－6t=4t， ∴ t=3.6．
例6 （2009•淄博）如图19，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ = xcm (x≠0)，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x 为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
分析 本题图中由于四个动点的运动速度不同，所以首先要搞清它们谁运动最快、谁运动最慢，这样有利于分析题中以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形和等腰梯形各边的情况．
解 （1） ① 当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x=－1 符合题意．
② 当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5不符合题意．
（2） ① 当点P在点N的左侧时，由20－(x+3x)=20－(2x+x)，可解得x=2．
② 当点P在点N的右侧时，由20－(x+3x)=(2x+x)－20，可解得x=4．
（3） 过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为E，F．则由PE=NF，即2x－x=x－3x．
解得x=4时， 因为以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．
通过以上一组例题的解析，我们可以看到解有关质点运动性问题时，首先要分清题中有几个动点，它们分别在什么线上运动，前后速度有无变化等，然后画出各种情形的图形，找到各种情形的分界点，用时间来表示各个动点移动的距离，再根据题目要求列出方程或函数关系式，对一些不确定的图形要作为特殊图形或有特殊要求时，应进行分类讨论．只要我们对有关质点运动性问题多练习，就一定会掌握其解题方法和技巧，从而提高我们数学解题的能力和水平．