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1 问题的提出
今年笔者有幸参加中考阅卷.在阅卷过程中，笔者时而为学生的创新证法拍案叫绝；时而为学生犯下的种种错误扼腕叹息.感慨之余，有反思，有展望，欲将胸中垒块倾注于笔底，以期得到同仁的共鸣.
题目：（2011年?徐州）如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F.
（1） 求证：△ABE≌△CDF； （2）若AC与BD交于点O.求证：AO=CO.
本题的设计有以下特点：
（1） 面向全体，注重考查空间与图形的核心内容
全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质是空间与图形的核心内容，是课标中要求学生掌握的内容.本题入口宽，坡度小，有利于对全体学生基础知识的考查.难能可贵的是本题没有把证明AO=CO放在狭隘的“全等三角形”的范围内，而是放在“四边形”框架下，不仅实现了知识与方法的有效整合，而且为学生对问题的解决预留了更大的思维空间（利用全等三角形的性质或平行四边形的性质），更有效地考查了学生的不同思维水平.
（2） 突出考查了学生的合情推理与演绎推理能力
本题突出考查了学生综合运用数学知识解决问题的能力及合情推理与演绎推理能力.特别是问题（2）的解决，学生首先要对图形及条件观察、实验、猜想、验证，选择正确的策略（证明哪两个三角形全等或证明哪一个四边形是平行四边形），最后利用演绎推理完成解答.
（3） 有利于学生认识自我、建立自信
对于问题（1）的解决，学生可利用“HL”，也可利用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；对于问题（2），学生可以证明四边形ABCD或四边形AECF是平行四边形，也可证明△ABO≌△CDO或△AEO≌△CFO.由于解决问题策略的多样化，易于让学生展示自己在数学学习方面的成就，有利于学生自我教育、自我进步、认识自我、建立自信.
阅卷过程中，我们欣喜地看到绝大多数学生都能给出圆满解答，特别是问题（1）的解决，部分学生突破了常规思路（利用“HL”证明Rt△AEB≌Rt△CFD）,创造性地利用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”证明△ABE≌△CDF.但是我们也看到个别学生出现判定两三角形全等时条件不充分、“SSA”、书写不规范等错误；在已经证明了四边形ABCD是平行四边形之后，不是利用平行四边形的性质证明AO=CO，而是继续证明△ADO≌△CBO.这不得不引起我们反思：是什么导致学生失误？是什么让学生舍近求远？总之，这是一道内涵丰富、意味隽永的题目，有很高的教学价值.为此，我打算以此题为平台做好全等三角形、平行四边形的复习，为进一步提高初三数学复习课教学效能，根据《课标》和《中考数学考试说明》作如下教学设计.
教学目标：
1. 以问题为载体全面复习全等三角形、平行四边形有关知识，帮助学生建构完整的认知结构；
2. 引导学生多角度思考问题，并优化其思维过程，培养学生思维的缜密性、灵活性、发散性、求异性、创新性和合情推理与演绎推理能力；
3. 经历分析问题、解决问题的过程中，进一步激发学生对数学的好奇心与求知欲；在数学活动过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信；体验数学活动充满探索与创造，感受数学的严谨性及结论的正确性；形成事实求是的态度和独立思考的习惯.
教学重点：全等三角形与平行四边形.
教学难点：灵活运用多种方法解决问题并优化解法.
教法、学法：自主探究、合作探究.
教学流程：
一、 学案点评，建构知识体系
课前一、两天发放学案，学案主要内容如下：
基础达人 谁与争锋
1. 如图2，点B、E、F、D在一条直线上，且BE=DF，AB=CD，添加一个条件，使△ABF≌△CDE.你添加的条件是 .
2. 如图3所示，∠BAC＝∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系,并给出证明．
3. 已知：如图4，E、F分别是ABCD的边AD、BC的中点．求证：（1） AF=CE（尽可能给出多个证法）；（2） 连接BE、DF，设BE、AF交于M，DF、CE交于N，求证：ME=FN．
4. 根据以上解答，填空：
5. 如图5，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F.
（1） 求证：△ABE≌△CDF； （2）若AC与BD交于点O.求证：AO=CO.
教师精心批改后，发给学生，学生于课前继续矫正自己的答案.上课伊始教师首先将作业中的问题集中投影到屏幕上，师生共同点评．然后板书课题：全等三角形与平行四边形复习.接着由三位学生汇报问题4的答案，教师出示投影.
设计意图：课前教师把经典习题做成学案发给学生，目的是充分发挥学生的主体作用，培养学生的自主学习能力.教师精心批改是了解学生的学习水平，使教学走在学生的前面，真正做到有的放矢；教师批改学案后重新发给学生是让学生有自省、自纠、交流、矫正的时空，让学生的听课更加高效；由于学生通过课前自主学习、合作学习完成了知识体系的建构，因此教师就可以在学生汇报后直接投影，提高学习效率.点评的内容主要是：① 作业中出现的问题；② 归纳问题解决的方法.既要体现解法的多样性，优化其解法，又要把点评的重点放在“为何这样思考”上.这个过程约5分钟.
二、 问题回眸，成就精彩过程
师：对于问题5（1），大家都是利用“HL” 证明Rt△AEB≌Rt△CFD的（如果学生有创新解法，教师可以将学生的精彩解答投影，让作者成为“教授”，主动介绍他的思维历程，让大家感受求异思维、创新思维和数学方法的魅力），是否还有其他方法？请大家认真思考后交流彼此的看法.
?摇?摇注意：（1）师生、生生的交流一定要在学生深入思考的基础上进行，这样的交流才有助于学生反思和完善自我认知方式，从而达到个性发展的目的；（2）即使这种思考一无所获，这也是学生个人成长必须付出的代价. 如果学生在深入思考和交流后仍然一无所获，这时教师可以这样点拨：“能否利用 “SSS”证明△AEB≌△CFD？在学生顿悟后，让两位学生板演，然后找学生批阅这两份作业，其他学生互相批阅，由学生对黑板上已经批阅过的作业集体点评.接着，教师将问题继续引向深入.
师：在不证明△AEB≌△CFD的情况下，能否证明∠ABE=∠CDF？
?摇?摇在学生独立思考、交流的过程中，教师可给学生适当“指点迷津”：“想一想，能用锐角函数的定义证明吗？”在学生豁然开朗后，一名学生口述，教师板书关键步骤：
∵ BF=DE，∴ BF－EF=DE－EF.即BE=DF.又AE⊥BD，CF⊥BD，∴ ∠AEB=∠CFD=90°.又AB=CD，cos∠ABE=,cos∠CDF=,
∴ ∠ABE=∠CDF.
师：现在你还有别的方法证明△AEB≌△CFD？
此时，证明的思路已经水到渠成，由学生完成接力.
对于利用“SSS”证明△AEB≌△CFD，学生经过交流后完全能够想到利用勾股定理可以证明AE=CF；对于利用“SAS”、“ASA”、“AAS”证明△ABE≌△CDF，学生很难想到，因为这是学生思维的“死角”、“盲点”，需要教师点拨.可见，只要教师充分挖掘问题本身潜在的价值（如思想方法、变式），不断制造课堂中的“意外”，就一定能够成就课堂中的精彩！培养学生思维的灵活性、发散性、求异性、创新性.整个过程约10分钟.
接着，教师投影问题5（2）学生可能给出的证法，比较不同方法的优劣.
证法（一） ∵△ABE≌△CDF，∴∠ABE=∠CDF. ∴ AB∥CD.又AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.?摇∴AO=CO.
证法（二）?摇∵△ABE≌△CDF，∴ AE=CF.又
∵ AE⊥BD，CF⊥BD，∴ ∠AEF=∠CFE，∴ AE∥CF．
∴四边形AECF是平行四边形. ∴AO=CO.
证法（三）∵△ABE≌△CDF，∴∠ABE=∠CDF.在△ABO和△CDO中，又∠AOB=∠COD，AB=CD，∴△ABO≌△CDO（AAS）.∴ AO=CO.
证法（四） ∵△ABE≌△CDF，∴ AE=CF.又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO=∠CFO.在△AEO与△CFO中，∠AOE=∠COF，∠AEO=∠CFO，AE=CF，
∴△AEO≌△CFO（AAS）.
学习认知理论认为：学生的数学学习过程是一个数学认知过程，即新的学习内容与学生原有数学认知结构相互作用，不断完善新的认知结构的过程，是一个扬弃的过程.在教师精心设计的问题解决过程中，学生通过不同数学方法的类比、碰撞，重新建构对知识的理解，形成多种解决问题的策略，并优化其解法，发展了他们的实践能力与创新精神．这个过程约3分钟.
三、 有效反思，优化认知结构
教师在设计教学时应充分发挥学生的主体性.不仅要让学生经历“做数学”的过程，而且要提供更多的机会，让他们能够积极主动地从事反思活动．荷兰著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔指出，“反思是数学活动的核心和动力”．多年的教学经验同样告诉我们：没有学生有效地反思，学生原有的活动经验、方法、解决问题的策略都将零散的、盲目的、低效的，学生也不可能形成真正意义的认知结构，更不要说创新精神和实践能力的培养了．因此，我们可以这样认为：没有学生真正意义的反思，就不会有学生真正意义的学习．反思的内容包括问题是如何突破的、方法的优化、解题过程是否有遗漏、问题能否变式、能否提出一个与之相关的问题、换一个角度看问题、是否有通性通法，等．
反思：
（1） 问题5（1）可以利用“SSS”证明，说明勾股定理除了用于在已知直角三角形的两边求第三边，还有何作用？
（2） 通过问题5（1）的解决，结合平时的解题经验，你认为锐角三角函数有何作用？
（3） 你认为问题5（1）的结论在整个问题中有何作用？
（4） 通过问题5（2）的解决，你积累了那些证明线段相等的思想方法？
（5） （创新思维）对于问题5（2），如果不证明三角形全等或四边形ABCD（或AECF）是平行四边形，利用锐角三角函数能否证明AO=CO？
（6） 通过问题5（1）或（2）的解决，哪种方法令你耳目一新、给你留下深刻的印象？为什么？
（7） 通过本题的解决，你以后怎样思考问题？
设计意图：（1）通过反思不断积累学生的解题经验（勾股定理可以证明线段相等；锐角三角函数不仅仅可以求角、边长，还可以证明角或线段相等、建立比例式；证明线段相等可以利用全等三角形的性质或平行四边形的性质，等），并将这些经验同化到原有的认知结构中；（2）问题（5）的设计是为了拓展学生的思维，品尝锐角三角函数在解题（证明）中的妙用，体验创新的快慰！成功的幸福！（3）通过反思，优化学生的认知结构（优化解法），使学生在以后的解题中更富智慧．这个过程约5分钟.
四、 错误剖析，防微杜渐
对于问题5（1）的证明，有下列常见错误，请指出其中的错误之处并加以订正.
第一种错误：∵BF=DE，∴BF－EF=DE－EF.即BE=DF.又AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°.又AB=CD，∴△ABE≌△CDF（SAS）.
第二种错误：∵BF=DE，∴BF－EF=DE－EF.即BE=DF.又AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠DFC.又∵AB=CD，∴△ABE≌△CDF（SSA）.
第三种错误：∵BF=DE，∴BF－EF=DE－EF.即BE=DF.又AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD.又∵AB=CD，∴Rt△AEB≌Rt△CFD（HL）
设计意图：第一种错误在于△ABE≌△CDF的理由不是“SAS”,而是“HL”；产生第二种错误的根本原因在于该生误认为“SSA”是判别两三角形全等的条件；第三种错误在于没有说明△ABE、△CDF是直角三角形.通过以上常见错误，强化基础知识，特别是通过反例说明“SSA”是假命题，让学生的认知结构更加澄明.这个过程约5分钟.
五、 潮题冲浪，牵手成功
1. 如图6，四边形ABCD是平行四边形，BD是对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F.求证：AE=CF.
2. 如图7，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连结EC．
（1） 求证：AD=EC；
（2） 当∠BAC=90°时，求证：四边形ADCE是菱形；
（3） 在（2）的条件下，若AB=AO，求tan∠OAD的值.
设计意图：问题1是本课所提问题的变式.本题既可以证明△ABE≌△CDF或△ADE≌△CBF，也可利用锐角三角函数；问题2（1）既可以证明四边形ADCE是平行四边形，也可证明△ADC≌△CEA或△ABD≌△EDC.问题2（2）既可以先证明四边形ADCE是平行四边形，再AD=DC或AC⊥DE，也可证明AD=DC=CE=EA；问题2（3）既可以先证明DO是△ABC的中位线，然后在Rt△AOD中求出tan∠OAD=，亦可证明∠DAC=∠DCA，在Rt△BAC中求出tan∠OAD=.总之，这两个问题均以空间与图形中的核心知识为背景，同时也是对本课知识点的补充，进一步体会优化思想、化归思想在解题中的作用，使解题方向更加明确.通过数学知识的内在联系有效考查学生灵活与综合运用知识解决问题的能力，有效考查学生的不同思维水平，促进教学相长．这个过程约14分钟.
六、 小结归纳，内化提升
1. 通过本课的学习，你认为勾股定理、全等三角形、平行四边形、菱形、锐角三角函数在解题过程中有何作用？
2. 你学到那些思想方法？
3. 问题解决后，要反思哪些内容？
七、 分层作业，人人成功
今年笔者有幸参加中考阅卷.在阅卷过程中，笔者时而为学生的创新证法拍案叫绝；时而为学生犯下的种种错误扼腕叹息.感慨之余，有反思，有展望，欲将胸中垒块倾注于笔底，以期得到同仁的共鸣.
题目：（2011年?徐州）如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F.
（1） 求证：△ABE≌△CDF； （2）若AC与BD交于点O.求证：AO=CO.
本题的设计有以下特点：
（1） 面向全体，注重考查空间与图形的核心内容
全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质是空间与图形的核心内容，是课标中要求学生掌握的内容.本题入口宽，坡度小，有利于对全体学生基础知识的考查.难能可贵的是本题没有把证明AO=CO放在狭隘的“全等三角形”的范围内，而是放在“四边形”框架下，不仅实现了知识与方法的有效整合，而且为学生对问题的解决预留了更大的思维空间（利用全等三角形的性质或平行四边形的性质），更有效地考查了学生的不同思维水平.
（2） 突出考查了学生的合情推理与演绎推理能力
本题突出考查了学生综合运用数学知识解决问题的能力及合情推理与演绎推理能力.特别是问题（2）的解决，学生首先要对图形及条件观察、实验、猜想、验证，选择正确的策略（证明哪两个三角形全等或证明哪一个四边形是平行四边形），最后利用演绎推理完成解答.
（3） 有利于学生认识自我、建立自信
对于问题（1）的解决，学生可利用“HL”，也可利用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；对于问题（2），学生可以证明四边形ABCD或四边形AECF是平行四边形，也可证明△ABO≌△CDO或△AEO≌△CFO.由于解决问题策略的多样化，易于让学生展示自己在数学学习方面的成就，有利于学生自我教育、自我进步、认识自我、建立自信.
阅卷过程中，我们欣喜地看到绝大多数学生都能给出圆满解答，特别是问题（1）的解决，部分学生突破了常规思路（利用“HL”证明Rt△AEB≌Rt△CFD）,创造性地利用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”证明△ABE≌△CDF.但是我们也看到个别学生出现判定两三角形全等时条件不充分、“SSA”、书写不规范等错误；在已经证明了四边形ABCD是平行四边形之后，不是利用平行四边形的性质证明AO=CO，而是继续证明△ADO≌△CBO.这不得不引起我们反思：是什么导致学生失误？是什么让学生舍近求远？总之，这是一道内涵丰富、意味隽永的题目，有很高的教学价值.为此，我打算以此题为平台做好全等三角形、平行四边形的复习，为进一步提高初三数学复习课教学效能，根据《课标》和《中考数学考试说明》作如下教学设计.
教学目标：
1. 以问题为载体全面复习全等三角形、平行四边形有关知识，帮助学生建构完整的认知结构；
2. 引导学生多角度思考问题，并优化其思维过程，培养学生思维的缜密性、灵活性、发散性、求异性、创新性和合情推理与演绎推理能力；
3. 经历分析问题、解决问题的过程中，进一步激发学生对数学的好奇心与求知欲；在数学活动过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信；体验数学活动充满探索与创造，感受数学的严谨性及结论的正确性；形成事实求是的态度和独立思考的习惯.
教学重点：全等三角形与平行四边形.
教学难点：灵活运用多种方法解决问题并优化解法.
教法、学法：自主探究、合作探究.
教学流程：
一、 学案点评，建构知识体系
课前一、两天发放学案，学案主要内容如下：
基础达人 谁与争锋
1. 如图2，点B、E、F、D在一条直线上，且BE=DF，AB=CD，添加一个条件，使△ABF≌△CDE.你添加的条件是 .
2. 如图3所示，∠BAC＝∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系,并给出证明．
3. 已知：如图4，E、F分别是ABCD的边AD、BC的中点．求证：（1） AF=CE（尽可能给出多个证法）；（2） 连接BE、DF，设BE、AF交于M，DF、CE交于N，求证：ME=FN．
4. 根据以上解答，填空：
5. 如图5，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F.
（1） 求证：△ABE≌△CDF； （2）若AC与BD交于点O.求证：AO=CO.
教师精心批改后，发给学生，学生于课前继续矫正自己的答案.上课伊始教师首先将作业中的问题集中投影到屏幕上，师生共同点评．然后板书课题：全等三角形与平行四边形复习.接着由三位学生汇报问题4的答案，教师出示投影.
设计意图：课前教师把经典习题做成学案发给学生，目的是充分发挥学生的主体作用，培养学生的自主学习能力.教师精心批改是了解学生的学习水平，使教学走在学生的前面，真正做到有的放矢；教师批改学案后重新发给学生是让学生有自省、自纠、交流、矫正的时空，让学生的听课更加高效；由于学生通过课前自主学习、合作学习完成了知识体系的建构，因此教师就可以在学生汇报后直接投影，提高学习效率.点评的内容主要是：① 作业中出现的问题；② 归纳问题解决的方法.既要体现解法的多样性，优化其解法，又要把点评的重点放在“为何这样思考”上.这个过程约5分钟.
二、 问题回眸，成就精彩过程
师：对于问题5（1），大家都是利用“HL” 证明Rt△AEB≌Rt△CFD的（如果学生有创新解法，教师可以将学生的精彩解答投影，让作者成为“教授”，主动介绍他的思维历程，让大家感受求异思维、创新思维和数学方法的魅力），是否还有其他方法？请大家认真思考后交流彼此的看法.
?摇?摇注意：（1）师生、生生的交流一定要在学生深入思考的基础上进行，这样的交流才有助于学生反思和完善自我认知方式，从而达到个性发展的目的；（2）即使这种思考一无所获，这也是学生个人成长必须付出的代价. 如果学生在深入思考和交流后仍然一无所获，这时教师可以这样点拨：“能否利用 “SSS”证明△AEB≌△CFD？在学生顿悟后，让两位学生板演，然后找学生批阅这两份作业，其他学生互相批阅，由学生对黑板上已经批阅过的作业集体点评.接着，教师将问题继续引向深入.
师：在不证明△AEB≌△CFD的情况下，能否证明∠ABE=∠CDF？
?摇?摇在学生独立思考、交流的过程中，教师可给学生适当“指点迷津”：“想一想，能用锐角函数的定义证明吗？”在学生豁然开朗后，一名学生口述，教师板书关键步骤：
∵ BF=DE，∴ BF－EF=DE－EF.即BE=DF.又AE⊥BD，CF⊥BD，∴ ∠AEB=∠CFD=90°.又AB=CD，cos∠ABE=,cos∠CDF=,
∴ ∠ABE=∠CDF.
师：现在你还有别的方法证明△AEB≌△CFD？
此时，证明的思路已经水到渠成，由学生完成接力.
对于利用“SSS”证明△AEB≌△CFD，学生经过交流后完全能够想到利用勾股定理可以证明AE=CF；对于利用“SAS”、“ASA”、“AAS”证明△ABE≌△CDF，学生很难想到，因为这是学生思维的“死角”、“盲点”，需要教师点拨.可见，只要教师充分挖掘问题本身潜在的价值（如思想方法、变式），不断制造课堂中的“意外”，就一定能够成就课堂中的精彩！培养学生思维的灵活性、发散性、求异性、创新性.整个过程约10分钟.
接着，教师投影问题5（2）学生可能给出的证法，比较不同方法的优劣.
证法（一） ∵△ABE≌△CDF，∴∠ABE=∠CDF. ∴ AB∥CD.又AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.?摇∴AO=CO.
证法（二）?摇∵△ABE≌△CDF，∴ AE=CF.又
∵ AE⊥BD，CF⊥BD，∴ ∠AEF=∠CFE，∴ AE∥CF．
∴四边形AECF是平行四边形. ∴AO=CO.
证法（三）∵△ABE≌△CDF，∴∠ABE=∠CDF.在△ABO和△CDO中，又∠AOB=∠COD，AB=CD，∴△ABO≌△CDO（AAS）.∴ AO=CO.
证法（四） ∵△ABE≌△CDF，∴ AE=CF.又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO=∠CFO.在△AEO与△CFO中，∠AOE=∠COF，∠AEO=∠CFO，AE=CF，
∴△AEO≌△CFO（AAS）.
学习认知理论认为：学生的数学学习过程是一个数学认知过程，即新的学习内容与学生原有数学认知结构相互作用，不断完善新的认知结构的过程，是一个扬弃的过程.在教师精心设计的问题解决过程中，学生通过不同数学方法的类比、碰撞，重新建构对知识的理解，形成多种解决问题的策略，并优化其解法，发展了他们的实践能力与创新精神．这个过程约3分钟.
三、 有效反思，优化认知结构
教师在设计教学时应充分发挥学生的主体性.不仅要让学生经历“做数学”的过程，而且要提供更多的机会，让他们能够积极主动地从事反思活动．荷兰著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔指出，“反思是数学活动的核心和动力”．多年的教学经验同样告诉我们：没有学生有效地反思，学生原有的活动经验、方法、解决问题的策略都将零散的、盲目的、低效的，学生也不可能形成真正意义的认知结构，更不要说创新精神和实践能力的培养了．因此，我们可以这样认为：没有学生真正意义的反思，就不会有学生真正意义的学习．反思的内容包括问题是如何突破的、方法的优化、解题过程是否有遗漏、问题能否变式、能否提出一个与之相关的问题、换一个角度看问题、是否有通性通法，等．
反思：
（1） 问题5（1）可以利用“SSS”证明，说明勾股定理除了用于在已知直角三角形的两边求第三边，还有何作用？
（2） 通过问题5（1）的解决，结合平时的解题经验，你认为锐角三角函数有何作用？
（3） 你认为问题5（1）的结论在整个问题中有何作用？
（4） 通过问题5（2）的解决，你积累了那些证明线段相等的思想方法？
（5） （创新思维）对于问题5（2），如果不证明三角形全等或四边形ABCD（或AECF）是平行四边形，利用锐角三角函数能否证明AO=CO？
（6） 通过问题5（1）或（2）的解决，哪种方法令你耳目一新、给你留下深刻的印象？为什么？
（7） 通过本题的解决，你以后怎样思考问题？
设计意图：（1）通过反思不断积累学生的解题经验（勾股定理可以证明线段相等；锐角三角函数不仅仅可以求角、边长，还可以证明角或线段相等、建立比例式；证明线段相等可以利用全等三角形的性质或平行四边形的性质，等），并将这些经验同化到原有的认知结构中；（2）问题（5）的设计是为了拓展学生的思维，品尝锐角三角函数在解题（证明）中的妙用，体验创新的快慰！成功的幸福！（3）通过反思，优化学生的认知结构（优化解法），使学生在以后的解题中更富智慧．这个过程约5分钟.
四、 错误剖析，防微杜渐
对于问题5（1）的证明，有下列常见错误，请指出其中的错误之处并加以订正.
第一种错误：∵BF=DE，∴BF－EF=DE－EF.即BE=DF.又AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°.又AB=CD，∴△ABE≌△CDF（SAS）.
第二种错误：∵BF=DE，∴BF－EF=DE－EF.即BE=DF.又AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠DFC.又∵AB=CD，∴△ABE≌△CDF（SSA）.
第三种错误：∵BF=DE，∴BF－EF=DE－EF.即BE=DF.又AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD.又∵AB=CD，∴Rt△AEB≌Rt△CFD（HL）
设计意图：第一种错误在于△ABE≌△CDF的理由不是“SAS”,而是“HL”；产生第二种错误的根本原因在于该生误认为“SSA”是判别两三角形全等的条件；第三种错误在于没有说明△ABE、△CDF是直角三角形.通过以上常见错误，强化基础知识，特别是通过反例说明“SSA”是假命题，让学生的认知结构更加澄明.这个过程约5分钟.
五、 潮题冲浪，牵手成功
1. 如图6，四边形ABCD是平行四边形，BD是对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F.求证：AE=CF.
2. 如图7，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连结EC．
（1） 求证：AD=EC；
（2） 当∠BAC=90°时，求证：四边形ADCE是菱形；
（3） 在（2）的条件下，若AB=AO，求tan∠OAD的值.
设计意图：问题1是本课所提问题的变式.本题既可以证明△ABE≌△CDF或△ADE≌△CBF，也可利用锐角三角函数；问题2（1）既可以证明四边形ADCE是平行四边形，也可证明△ADC≌△CEA或△ABD≌△EDC.问题2（2）既可以先证明四边形ADCE是平行四边形，再AD=DC或AC⊥DE，也可证明AD=DC=CE=EA；问题2（3）既可以先证明DO是△ABC的中位线，然后在Rt△AOD中求出tan∠OAD=，亦可证明∠DAC=∠DCA，在Rt△BAC中求出tan∠OAD=.总之，这两个问题均以空间与图形中的核心知识为背景，同时也是对本课知识点的补充，进一步体会优化思想、化归思想在解题中的作用，使解题方向更加明确.通过数学知识的内在联系有效考查学生灵活与综合运用知识解决问题的能力，有效考查学生的不同思维水平，促进教学相长．这个过程约14分钟.
六、 小结归纳，内化提升
1. 通过本课的学习，你认为勾股定理、全等三角形、平行四边形、菱形、锐角三角函数在解题过程中有何作用？
2. 你学到那些思想方法？
3. 问题解决后，要反思哪些内容？
七、 分层作业，人人成功