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分类讨论是一种常用的数学解题思想方法，历年中考中，分类讨论题不仅存在于低中档题中，而且还大量存在于高档和压轴题中。作为数学教师，既要对分类讨论思想有一个全面的了解，又要在教学中采取切实有效的措施，不断提高学生运用分类讨论思想解决数学问题的能力。中考复习中如何提高学生运用分类讨论思想解决数学问题的能力，笔者作以下尝试：
一、 分类讨论思想要点把握
1. 理解概念：所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.化整为零，逐一解决，再积零为整.
2. 遵循分类原则：分类对象确定，标准统一，不重不漏，分层次，不越级.
3. 掌握分类步骤：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论.
二、 分类讨论思想热点问题透析
初中数学涉及分类讨论的几类热点：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点所在象限等，多以低中档题出现；几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等；代数与几何类分类情况的综合运用，多以高档和压轴题出现.复习中可结合具体热点问题逐渐渗透.
热点1 数学概念及定义问题.
主要包括：绝对值、方程及根的定义、函数的定义，必须明确讨论对象及原因，进而确定其存在的条件和标准.
例1 已知方程|x|=ax+1有一个负根而且没有正根，那么a的取值范围是 .
点拔 由已知方程显然可知x≠0，故按x＞0和x＜0两种情况进行讨论.
例2 已知关于x的方程kx+2（k+4）x+（k－4）=0
（1） 若方程有实数根，求k的取值范围
（2） 若等腰三角形ABC的边长a=3，另两边b和c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.
点拔 根据方程定义确定方程到底是一次方程还是二次方程，同时应注意的是第（2）问中并无说明哪两边是△ABC的腰，故应考虑其所有可能情况.
例3 求函数y=（－k）x+（k－3）x+的图象与x轴的交点？
点拔 二次项系数中含有参数k，此函数可能是二次函数，也可能是一次函数，故应对－k分类讨论.
热点2 图形位置或形状的不确定问题.
主要包括：线段及端点的不确定；角的一边不确定；三角形形状不确定；等腰三角形腰或顶角不确定；直角三角形斜边不确定；圆的对称性等都需要我们正确地运用分类讨论的思想进行解决.
例4 已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长.
点拔 点C在线段AB上或点C在线段AB的延长线上.
例5 已知∠AOB=60°，过O作一条射线OC，射线OE平分∠AOC，射线OD平分∠BOC，求∠DOE的大小.
点拔 射线OC在∠AOB内或射线OC在∠AOB外.
例6 若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长.
点拔 已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，应有两种情形.
例7 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数.
点拔 依题意可画出图1和图2两种情形.图1中顶角为45°，图2中顶角为135°.
例8 若⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1与⊙O2的半径分别为2和，公共弦长为2，则∠O1AO2的度数为（ ）
A. 105° B. 75°或15°
C. 105°或15° D.15°
点拔 由圆的对称性，两圆的公共弦可在两圆心之间，也可以在两圆心同旁.
例9 已知一次函数y=－x+3与x轴、y轴交点分别为A、B，试在x轴上找一点P，使△PAB为等腰三角形.
点拔 本题中△PAB由于P点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定.我们可以按腰的可能情况加以分类：（1） PA=PB；（2） PA=AB；（3） PB=AB.
例10 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，圆A的半径为1，如图所示，若点O在BC边上运动，（与点B和C不重合），
设BO＝x，△AOC的面积为y.
（1） 求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域.
（2） 以点O为圆心，BO长为半径作圆O，求当圆O与圆A相切时△AOC的面积.
点拔 （2）由于圆与圆相切有两种情况：外切和内切，故解题中须分类讨论.
热点3 图形的对应关系不确定问题.
图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论.
例11 在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为 .
点拔 依据相似三角形的判定方法，过点P的直线PQ应有两种作法：一是过点P作PQ∥BC；二是过点P作∠APQ=∠ABC.
例12 已知抛物线y＝ax2+bx2+c的顶点坐标为（4，－1）与y轴交于点C（0，3），O是原点.
（1） 求这条抛物线的解析式.
（2） 设此抛物线与x轴的交点A、B（A在B的左边），问在y轴上是否存在点P，使以O，B，P为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
点拔 问题（2）三角形相似对应关系不明确，需分类.解决此类问题，必须对三角形全等或相似的性质烂熟于心，对两三角形的对应角（或边）进行分类讨论，逐步找到符合题意的结论.
例13 如图所示，抛物线y=－（x－m）2的顶点为A，直线l：y=x－m与y轴的交点为B，其中m＞0.
（1） 写出抛物线对称轴及顶点A的坐标
（用含有m的代数式表示）
（2） 证明点A在直线l上，并求∠OAB的度数.
（3） 动点Q在抛物线的对称轴上，则抛物线上是否存在点P，使以P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等？若存在，求出m的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，说明理由.
点拔 （3）因为全等的对应关系未明确，因而需进行分类论，找准对应关系，从而解决问题.
一、 分类讨论思想要点把握
1. 理解概念：所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.化整为零，逐一解决，再积零为整.
2. 遵循分类原则：分类对象确定，标准统一，不重不漏，分层次，不越级.
3. 掌握分类步骤：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论.
二、 分类讨论思想热点问题透析
初中数学涉及分类讨论的几类热点：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点所在象限等，多以低中档题出现；几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等；代数与几何类分类情况的综合运用，多以高档和压轴题出现.复习中可结合具体热点问题逐渐渗透.
热点1 数学概念及定义问题.
主要包括：绝对值、方程及根的定义、函数的定义，必须明确讨论对象及原因，进而确定其存在的条件和标准.
例1 已知方程|x|=ax+1有一个负根而且没有正根，那么a的取值范围是 .
点拔 由已知方程显然可知x≠0，故按x＞0和x＜0两种情况进行讨论.
例2 已知关于x的方程kx+2（k+4）x+（k－4）=0
（1） 若方程有实数根，求k的取值范围
（2） 若等腰三角形ABC的边长a=3，另两边b和c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.
点拔 根据方程定义确定方程到底是一次方程还是二次方程，同时应注意的是第（2）问中并无说明哪两边是△ABC的腰，故应考虑其所有可能情况.
例3 求函数y=（－k）x+（k－3）x+的图象与x轴的交点？
点拔 二次项系数中含有参数k，此函数可能是二次函数，也可能是一次函数，故应对－k分类讨论.
热点2 图形位置或形状的不确定问题.
主要包括：线段及端点的不确定；角的一边不确定；三角形形状不确定；等腰三角形腰或顶角不确定；直角三角形斜边不确定；圆的对称性等都需要我们正确地运用分类讨论的思想进行解决.
例4 已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长.
点拔 点C在线段AB上或点C在线段AB的延长线上.
例5 已知∠AOB=60°，过O作一条射线OC，射线OE平分∠AOC，射线OD平分∠BOC，求∠DOE的大小.
点拔 射线OC在∠AOB内或射线OC在∠AOB外.
例6 若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长.
点拔 已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，应有两种情形.
例7 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数.
点拔 依题意可画出图1和图2两种情形.图1中顶角为45°，图2中顶角为135°.
例8 若⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1与⊙O2的半径分别为2和，公共弦长为2，则∠O1AO2的度数为（ ）
A. 105° B. 75°或15°
C. 105°或15° D.15°
点拔 由圆的对称性，两圆的公共弦可在两圆心之间，也可以在两圆心同旁.
例9 已知一次函数y=－x+3与x轴、y轴交点分别为A、B，试在x轴上找一点P，使△PAB为等腰三角形.
点拔 本题中△PAB由于P点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定.我们可以按腰的可能情况加以分类：（1） PA=PB；（2） PA=AB；（3） PB=AB.
例10 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，圆A的半径为1，如图所示，若点O在BC边上运动，（与点B和C不重合），
设BO＝x，△AOC的面积为y.
（1） 求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域.
（2） 以点O为圆心，BO长为半径作圆O，求当圆O与圆A相切时△AOC的面积.
点拔 （2）由于圆与圆相切有两种情况：外切和内切，故解题中须分类讨论.
热点3 图形的对应关系不确定问题.
图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论.
例11 在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为 .
点拔 依据相似三角形的判定方法，过点P的直线PQ应有两种作法：一是过点P作PQ∥BC；二是过点P作∠APQ=∠ABC.
例12 已知抛物线y＝ax2+bx2+c的顶点坐标为（4，－1）与y轴交于点C（0，3），O是原点.
（1） 求这条抛物线的解析式.
（2） 设此抛物线与x轴的交点A、B（A在B的左边），问在y轴上是否存在点P，使以O，B，P为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
点拔 问题（2）三角形相似对应关系不明确，需分类.解决此类问题，必须对三角形全等或相似的性质烂熟于心，对两三角形的对应角（或边）进行分类讨论，逐步找到符合题意的结论.
例13 如图所示，抛物线y=－（x－m）2的顶点为A，直线l：y=x－m与y轴的交点为B，其中m＞0.
（1） 写出抛物线对称轴及顶点A的坐标
（用含有m的代数式表示）
（2） 证明点A在直线l上，并求∠OAB的度数.
（3） 动点Q在抛物线的对称轴上，则抛物线上是否存在点P，使以P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等？若存在，求出m的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，说明理由.
点拔 （3）因为全等的对应关系未明确，因而需进行分类论，找准对应关系，从而解决问题.