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函数是高考中永远的重点和热点.从全国和各自主命题的省市高考试题来看，2010年高考函数解答题总体设计上较为平稳.考查的类型主要集中在二、三次函数、分式函数、对数函数（尤其是lnx）、指数函数（尤其是ex）以及它们的复合形式，内容则主要集中在值域、不等式、单调性、根的分布，处理手段则以求导数为主和突出分类讨论的思想.但天津理科21题这道函数题出得较有新意，现不揣粗浅对之做一点简单的评述，写出来与大家同析共赏.
1． 高考题的解析与评述
［天津•理科•21］ 已知函数f(x)=xe-x（x∈R）.
(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间和极值；
(Ⅱ) 已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，f(x)>g(x)
(Ⅲ) 如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明x1+x2＞2
【解析】（Ⅰ） 解：f′(x)=(1-x)e-x，令f′(x)=0,解得x=1
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表
x(-∞,1)1(1+∞)
f′(x)+0-
f(x)极大值
所以f(x)在(-∞,1)内是增函数，在(1,+∞)内是减函数.
函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=1e
（Ⅱ） 证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)ex-2
令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=xe-x+(x-2)ex-2
于是F′(x)=(x-1)(e2x-2-1)e-x
当x>1时，2x-2>0,从而e2x-2-1＞0,又e-x＞0,所以F′(x)>0,从而函数F（x）在［1,+∞)是增函数.又F(1)=e-1-e-1=0,所以x＞1时，F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
（Ⅲ) 证明：（1）
若(x1-1)(x2-1)=0,由(Ⅰ)及f(x1)=f(x2),则x1=x2=1.与x1≠x2矛盾.
（2） 若（x1-1）(x2-1)＞0,由(Ⅰ)及f(x1)=f(x2),得x1=x2.与x1≠x2矛盾.
根据（1）（2）得（x1-1）(x2-1)＜0,不妨设x1＜1,x2＞1.
由（Ⅱ）可知，f(x2)>g(x2),则g(x2)=f(2-x2)，所以f(x2)>f(2-x2),从而f(x1)>f(2-x2).因为x2＞1，所以2-x2＜1，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以x1>2-x2,即x1+x2>2.
评述：这道题整体上呈现一定的梯度，第（Ⅰ）问处理方法常规学生都能应对，第（Ⅱ）问承上启下才是整个问题的核心.（Ⅱ）中对解析式的证明，对学生而言有一定的难度，思维方法比较常规，它要求对函数概念，尤其是函数自变量的理解必须深刻地领悟其本质，这是解题的关键.(Ⅲ)中的证明学生往往感到难以下手，把x1,x2直接代入解析式无法构造出x1+x2的形式，这对学生的能力要求较高，看不出第二问为第三问打下了伏笔，体现了知识迁移能力，对高校选拔人才尤其是高端人才有很好的作用.
如果我们用分析法只需证明x1＞2-x2，那么就需要和函数联系到一起，要考虑到函数单调的单调性，就是比较的大小，就是比较f(x2)与f(2-x2)的大小，利用f(x)与g(x)的草图，需要运用（Ⅱ）中的结论来处理即可.
2． 对教学启示
2．1关注课程改革，开发创新题型
随着新课程改革的不断深入，高考命题必然会结合新课程的指导思想进行命制.而新课程对学生的自主学习、探究学习提出了较高的要求，为了检验学生的自主学习能力，防止试题出现新的“模式化”倾向和落入新的“题海”，肯定会创设出一大批情景新颖、立意深刻、设问精巧但又贴近课本、遵循课标能力型试题，以考查学生对中学数学知识联系间的深层理解，以及对这些知识的领悟和在新情景下的应用能力.如江苏2010年高考数学的第12题就体现了专家的精心设计.因此，我们在教学中应当在创新题上做好分析、收集、编制工作，不时地穿插、进行有目的渗透，以逐步提高学生在这方面的分析和解决能力.
2．2 深化教材研究，贴紧命题方向
教材是数学知识和数学思想方法的载体，也是我们教学的依据，自然就成了高考命题的源头.近年所有自主命题的省市和全国卷都特别注重发挥教材的功能，每年都有部分试题就是以课本题为蓝本，通过变形、延伸、拓展来命制的.如我们所讨论这道题，就是在深化函数概念的基础上，突出对函数图象的深刻理解，真正领悟对称性神髓，而不能仅仅是对称性的形式.这就要求我们，要加强对概念、定义、定理的发生、发现过程的教学，尽量创造问题呈现的情景，让学生真正地参与到自主探究的学习中来；要加强对等价概念、相关概念的研究，体味概念所涉及的数学思想和解题方法的应用，特别要加强数形结合思想的领悟；要加强对典型例题所涉及的方法、结论、变式与引申的深刻理解，特别要加强对参数的引入、分类讨论和转化归纳、数形结合等数学思想的把握.
2．3 注重策略指导，提高应变能力
数学教学离不开解题教学，数学能力必须通过解题才来表达.对于解题我们更应当从策略指导学生，最好是经常通过具有一般性有用的问题来启发学生思考，如，这个问题见过吗？见过相似的问题吗？这类问题的处理方法有哪些？哪个方法可能更好？你能具体化吗？试着举几个简单的例子？你能体悟它的规律吗？能推广到更一般的情况吗？等等.我们所讨论的这道题，如果象评述的那样能熟练运用分析法，还是有章可循的.这就是分析法解题策略的重要作用.我们只有教给学生思考问题的方法，告诉他们那些具有启发性的想法，才能从根本上提高学生的应变能力和解题水平.
1． 高考题的解析与评述
［天津•理科•21］ 已知函数f(x)=xe-x（x∈R）.
(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间和极值；
(Ⅱ) 已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，f(x)>g(x)
(Ⅲ) 如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明x1+x2＞2
【解析】（Ⅰ） 解：f′(x)=(1-x)e-x，令f′(x)=0,解得x=1
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表
x(-∞,1)1(1+∞)
f′(x)+0-
f(x)极大值
所以f(x)在(-∞,1)内是增函数，在(1,+∞)内是减函数.
函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=1e
（Ⅱ） 证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)ex-2
令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=xe-x+(x-2)ex-2
于是F′(x)=(x-1)(e2x-2-1)e-x
当x>1时，2x-2>0,从而e2x-2-1＞0,又e-x＞0,所以F′(x)>0,从而函数F（x）在［1,+∞)是增函数.又F(1)=e-1-e-1=0,所以x＞1时，F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
（Ⅲ) 证明：（1）
若(x1-1)(x2-1)=0,由(Ⅰ)及f(x1)=f(x2),则x1=x2=1.与x1≠x2矛盾.
（2） 若（x1-1）(x2-1)＞0,由(Ⅰ)及f(x1)=f(x2),得x1=x2.与x1≠x2矛盾.
根据（1）（2）得（x1-1）(x2-1)＜0,不妨设x1＜1,x2＞1.
由（Ⅱ）可知，f(x2)>g(x2),则g(x2)=f(2-x2)，所以f(x2)>f(2-x2),从而f(x1)>f(2-x2).因为x2＞1，所以2-x2＜1，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以x1>2-x2,即x1+x2>2.
评述：这道题整体上呈现一定的梯度，第（Ⅰ）问处理方法常规学生都能应对，第（Ⅱ）问承上启下才是整个问题的核心.（Ⅱ）中对解析式的证明，对学生而言有一定的难度，思维方法比较常规，它要求对函数概念，尤其是函数自变量的理解必须深刻地领悟其本质，这是解题的关键.(Ⅲ)中的证明学生往往感到难以下手，把x1,x2直接代入解析式无法构造出x1+x2的形式，这对学生的能力要求较高，看不出第二问为第三问打下了伏笔，体现了知识迁移能力，对高校选拔人才尤其是高端人才有很好的作用.
如果我们用分析法只需证明x1＞2-x2，那么就需要和函数联系到一起，要考虑到函数单调的单调性，就是比较的大小，就是比较f(x2)与f(2-x2)的大小，利用f(x)与g(x)的草图，需要运用（Ⅱ）中的结论来处理即可.
2． 对教学启示
2．1关注课程改革，开发创新题型
随着新课程改革的不断深入，高考命题必然会结合新课程的指导思想进行命制.而新课程对学生的自主学习、探究学习提出了较高的要求，为了检验学生的自主学习能力，防止试题出现新的“模式化”倾向和落入新的“题海”，肯定会创设出一大批情景新颖、立意深刻、设问精巧但又贴近课本、遵循课标能力型试题，以考查学生对中学数学知识联系间的深层理解，以及对这些知识的领悟和在新情景下的应用能力.如江苏2010年高考数学的第12题就体现了专家的精心设计.因此，我们在教学中应当在创新题上做好分析、收集、编制工作，不时地穿插、进行有目的渗透，以逐步提高学生在这方面的分析和解决能力.
2．2 深化教材研究，贴紧命题方向
教材是数学知识和数学思想方法的载体，也是我们教学的依据，自然就成了高考命题的源头.近年所有自主命题的省市和全国卷都特别注重发挥教材的功能，每年都有部分试题就是以课本题为蓝本，通过变形、延伸、拓展来命制的.如我们所讨论这道题，就是在深化函数概念的基础上，突出对函数图象的深刻理解，真正领悟对称性神髓，而不能仅仅是对称性的形式.这就要求我们，要加强对概念、定义、定理的发生、发现过程的教学，尽量创造问题呈现的情景，让学生真正地参与到自主探究的学习中来；要加强对等价概念、相关概念的研究，体味概念所涉及的数学思想和解题方法的应用，特别要加强数形结合思想的领悟；要加强对典型例题所涉及的方法、结论、变式与引申的深刻理解，特别要加强对参数的引入、分类讨论和转化归纳、数形结合等数学思想的把握.
2．3 注重策略指导，提高应变能力
数学教学离不开解题教学，数学能力必须通过解题才来表达.对于解题我们更应当从策略指导学生，最好是经常通过具有一般性有用的问题来启发学生思考，如，这个问题见过吗？见过相似的问题吗？这类问题的处理方法有哪些？哪个方法可能更好？你能具体化吗？试着举几个简单的例子？你能体悟它的规律吗？能推广到更一般的情况吗？等等.我们所讨论的这道题，如果象评述的那样能熟练运用分析法，还是有章可循的.这就是分析法解题策略的重要作用.我们只有教给学生思考问题的方法，告诉他们那些具有启发性的想法，才能从根本上提高学生的应变能力和解题水平.