论文部分内容阅读
数学思想是数学的灵魂，贯穿于数学学习和研究的始终，数形结合是数学的一种重要思想，数抽象，形直观，数形结合“形”“神”兼备，让我们解决问题时，可看可想，为我们顺利解决问题创造了极大的可能性，线性规划的思想是数形结合思想运用的具体体现.
线性规划问题其实质就是在线性约束条件下求目标函数的最大值或最小值的问题.规划意即利用条件合理安排使之达到理想状态，生活中的规划问题处处可见，数学问题很多也属于规划问题，只不过不一定是线性的.
一 条件非线性、目标线性型
例题1 设实数x,y满足x+y＞0x2+y2 1，则2x+y的取值范围是( ).
A. 32,5
B. -22,22
C. -22,5
D. ［-5,5］
解析：画出约束条件所表示的图形如图3，令t=2x+y，当直线过点A-22,22时，tmin=-22，当t=2x+y与图形相切时，tmax=5;故选C.
此型与线性规划问题的形式完全一样，解题思路明显，只要理解条件的几何意义，最小值，在解决此型问题时要深刻理解可行域中的“域”的概念，它可以是直线、可以是曲线、可以是曲线围成的区域，并不一定要是直线围成的图形才可以作为“域”.
二 条件线性、目标非线性型
例题2 设实数x,y满足x-y-2≤0x+2y-5≥0y-2≤0,求u=x2+y2xy的取值范围.
解析：根据线性约束条件，作出可行域△ABC，如图4所示.
∵u=x2+y2xy=xy+yx,令t=xy，则12≤xy≤3，∴u=t+1t,其中12≤t≤3而在12≤t≤1时，u(t)是一个单调递减函数；在1≤t≤3时，u(t)是一个单调递增函数，∴umin=u(1)=2,又u12=52,u(3)=103 ∴umax=103 故u=x2+y2xy的取值范围为2,103.
例题3 已知a≥0,b≥0,且当x≥0y≥0x+y≤0时，不等式ax+by≤1恒成立，则以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积为（ ）.
解析：画出可行域如图5所示，令Z=ax+by时,
（1） 当b=0时，Z=ax，又0≤x≤1，故只需a≤1即可；
（2） 当a=0时，Z=by，又0≤y≤1，故只需b≤1即可；
故只需线性目标函数过点A(1,0)或B(0,1)两点时Z不大于1即可，即0≤a≤10≤b≤1综上所述a,b应满足的线性约束条件为0≤a≤10≤b≤1，故可行域如图6所，所以a,b为坐标点P(a,b)所形成的面积区域面积为1.
例2中，目标函数为u=x2+y2xy，为非线性关系，将其转化为u=xy+yx，由线性规划中的“斜率型”问题的处理方法先求出xy的范围，令t=xy，将其转化为一元函数，根据其单调性求出u的范围，充分体现了规划思想在解题中的应用；例3中，目标为求点P(a,b)所形成的平面区域的面积，其实质就是求a,b满足的约束条件，此题从形式上让我们很容易想到用线性规划的思想来求解，但若对线性规划的原理不透、思想不通，生搬硬套，解决时却难以下手.
三 条件、目标均非线性型
例题4 已知函数f(x)=13x3+a2x2+2bx+C,当x∈(0,1)时，函数f(x)取得极大值，当x∈(1,2)时，函数f(x)取得极小值时，则u=b-2a-1的范围为（ ）
解析：f′(x)=x2+ax+2b，∵当x∈(0,1)时，函数f(x)取得极大值，当x∈(1,2)时，函数f(x)取得极小值时.
∴f′(0)＞0f′(1)＜0f′(2)＞02b＞01+a+2b＜01+2a+2b＞0 u=b-2a-1的几何意义是点A与B(1,2)连线的斜率结合图7得14＜u＜1
例题5 已知函数f(x)=x2+ax+1x2+ax+b(x∈R且x≠0)若对实数a,b使f(x)=0有实根，求a2+b2的最小值.
解析：利用换元法将函数f(x)=x2+ax+1x2+ax+b转化为二次函数，令x+1x=t，设g(t)=t2+at+b-2，问题转化为“实数a,b使方程t2+at+b-2=0有实根，求a2+b2的最小值”.解｜t｜=｜x｜+1｜x｜≥2，则t≥2或t≤-2.
(1) 若t2+at+b-2=0仅存在一个大于等于2或小于等于-2的实数根，则由g(2)=2a+b+2≤0，或g(-2)=-2a+b+2≤0
2a+b+2≤0在直角坐标系内表示平面如图8所示，a2+b2=［(a-0)2+(b-0)2］2，求a2+b2的最小值转化为在线性约束条件下原点到直线2a+b+2=0的距离的平方，可得d2=0+0+252=45
同理可得原点到直线-2a+b+2=0的距离的平方为45.
(2) 若方程t2+at+b-2=0存在两个大于等于2或小于等于-2的实数根，则由g(2)=2a+b+2≤0，或g(-2)=-2a+b+2≤0，则g(2)≥0Δ≥0-a2＞0或g(2)≥0Δ≥0-a2＜-2解得a＜-4或a＞4，显然a2+b2＞16
综合（1）（2）可知，a2+b2的最小值为45.
例6 若正数a,b满足ab=a+b+3，求ab的取值范围.
解析：由ab=a+b+3，变形为(a-1)(b-1)=4，又因为a＞0,b＞0.ab＞3所以a-1＞0,b-1＞0.
令x=a-1，y=b-1,即xy=4，于是ab=(x+1)(y+1)=5+x+y
构造目标函数为Z=5+x+y,约束条件为xy=4x＞0y＞0
如图9可知，当直线与双曲线相切时，直线的纵截距最小，Z有最小值，此时由xy=x(x+Z-5)=4,设x2+(5-Z)x+4=0,在由方程由两个相等的实根，设Δ=(5-Z)2-16=0，解得Z=9
综上可知，Z≥9,即ab的取值范围是［9,+∞).
例4、例5为线性规划问题中的“距离型”、“斜率型”，但约束条件不是明显的线性关系，需根据现有条件将其转化为线性关系，再利用线性规划的思想求解，其间综合性较强，必须具备较强的转化能力，才能实现非线性向线性转化，解题实思想中，转化的数学思想占有主导地位；例6解法较多，采用此法，使问题从另一角度得以解决，给人以一种“曲径通幽”的亲切感受.
线性规划问题的解题思想，给我们提供了一种求二元函数最值的思想，简单的线性规划问题作为高中数学的新增内容从2004年起在高考试卷中出现，随着教学和试题研究的不断深入，试题的难度一直在提高，综合性越来越强，灵活性越来越大，高考试题追求创新，注重思想方法的考查，逐步从知识立意向能力立意转化，可以猜想，线性规划问题越来越不会以单纯的小题出现，而是穿插于其它题型中来考查，要让学生在高考中取胜，仅仅靠题型演练来提高数学能力是跟不上高考要求的，只有让学生深刻领会其思想，才可能跟上不断发展的高考试题的要求.
“问渠哪得清如许，为有源头活水来”.数学思想是数学方法的源泉，没有思想的源泉，方法的小溪终会干涸，一道题也许是一首清新隽永的诗，也许是一条源远流长的河，正因为人们给它注入了鲜活的思想，它才给人们产生不同的感受，要使学生解决问题的能力不断提高，教师要适时点激、诱发学生思考，唤醒学生“沉睡”的思维，使之能在不同的问题情境中创造性地解决问题.
参考文献
王勉，例谈转化与化归思想在解题中的应用，中国数学教育，2009第1—2期.
线性规划问题其实质就是在线性约束条件下求目标函数的最大值或最小值的问题.规划意即利用条件合理安排使之达到理想状态，生活中的规划问题处处可见，数学问题很多也属于规划问题，只不过不一定是线性的.
一 条件非线性、目标线性型
例题1 设实数x,y满足x+y＞0x2+y2 1，则2x+y的取值范围是( ).
A. 32,5
B. -22,22
C. -22,5
D. ［-5,5］
解析：画出约束条件所表示的图形如图3，令t=2x+y，当直线过点A-22,22时，tmin=-22，当t=2x+y与图形相切时，tmax=5;故选C.
此型与线性规划问题的形式完全一样，解题思路明显，只要理解条件的几何意义，最小值，在解决此型问题时要深刻理解可行域中的“域”的概念，它可以是直线、可以是曲线、可以是曲线围成的区域，并不一定要是直线围成的图形才可以作为“域”.
二 条件线性、目标非线性型
例题2 设实数x,y满足x-y-2≤0x+2y-5≥0y-2≤0,求u=x2+y2xy的取值范围.
解析：根据线性约束条件，作出可行域△ABC，如图4所示.
∵u=x2+y2xy=xy+yx,令t=xy，则12≤xy≤3，∴u=t+1t,其中12≤t≤3而在12≤t≤1时，u(t)是一个单调递减函数；在1≤t≤3时，u(t)是一个单调递增函数，∴umin=u(1)=2,又u12=52,u(3)=103 ∴umax=103 故u=x2+y2xy的取值范围为2,103.
例题3 已知a≥0,b≥0,且当x≥0y≥0x+y≤0时，不等式ax+by≤1恒成立，则以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积为（ ）.
解析：画出可行域如图5所示，令Z=ax+by时,
（1） 当b=0时，Z=ax，又0≤x≤1，故只需a≤1即可；
（2） 当a=0时，Z=by，又0≤y≤1，故只需b≤1即可；
故只需线性目标函数过点A(1,0)或B(0,1)两点时Z不大于1即可，即0≤a≤10≤b≤1综上所述a,b应满足的线性约束条件为0≤a≤10≤b≤1，故可行域如图6所，所以a,b为坐标点P(a,b)所形成的面积区域面积为1.
例2中，目标函数为u=x2+y2xy，为非线性关系，将其转化为u=xy+yx，由线性规划中的“斜率型”问题的处理方法先求出xy的范围，令t=xy，将其转化为一元函数，根据其单调性求出u的范围，充分体现了规划思想在解题中的应用；例3中，目标为求点P(a,b)所形成的平面区域的面积，其实质就是求a,b满足的约束条件，此题从形式上让我们很容易想到用线性规划的思想来求解，但若对线性规划的原理不透、思想不通，生搬硬套，解决时却难以下手.
三 条件、目标均非线性型
例题4 已知函数f(x)=13x3+a2x2+2bx+C,当x∈(0,1)时，函数f(x)取得极大值，当x∈(1,2)时，函数f(x)取得极小值时，则u=b-2a-1的范围为（ ）
解析：f′(x)=x2+ax+2b，∵当x∈(0,1)时，函数f(x)取得极大值，当x∈(1,2)时，函数f(x)取得极小值时.
∴f′(0)＞0f′(1)＜0f′(2)＞02b＞01+a+2b＜01+2a+2b＞0 u=b-2a-1的几何意义是点A与B(1,2)连线的斜率结合图7得14＜u＜1
例题5 已知函数f(x)=x2+ax+1x2+ax+b(x∈R且x≠0)若对实数a,b使f(x)=0有实根，求a2+b2的最小值.
解析：利用换元法将函数f(x)=x2+ax+1x2+ax+b转化为二次函数，令x+1x=t，设g(t)=t2+at+b-2，问题转化为“实数a,b使方程t2+at+b-2=0有实根，求a2+b2的最小值”.解｜t｜=｜x｜+1｜x｜≥2，则t≥2或t≤-2.
(1) 若t2+at+b-2=0仅存在一个大于等于2或小于等于-2的实数根，则由g(2)=2a+b+2≤0，或g(-2)=-2a+b+2≤0
2a+b+2≤0在直角坐标系内表示平面如图8所示，a2+b2=［(a-0)2+(b-0)2］2，求a2+b2的最小值转化为在线性约束条件下原点到直线2a+b+2=0的距离的平方，可得d2=0+0+252=45
同理可得原点到直线-2a+b+2=0的距离的平方为45.
(2) 若方程t2+at+b-2=0存在两个大于等于2或小于等于-2的实数根，则由g(2)=2a+b+2≤0，或g(-2)=-2a+b+2≤0，则g(2)≥0Δ≥0-a2＞0或g(2)≥0Δ≥0-a2＜-2解得a＜-4或a＞4，显然a2+b2＞16
综合（1）（2）可知，a2+b2的最小值为45.
例6 若正数a,b满足ab=a+b+3，求ab的取值范围.
解析：由ab=a+b+3，变形为(a-1)(b-1)=4，又因为a＞0,b＞0.ab＞3所以a-1＞0,b-1＞0.
令x=a-1，y=b-1,即xy=4，于是ab=(x+1)(y+1)=5+x+y
构造目标函数为Z=5+x+y,约束条件为xy=4x＞0y＞0
如图9可知，当直线与双曲线相切时，直线的纵截距最小，Z有最小值，此时由xy=x(x+Z-5)=4,设x2+(5-Z)x+4=0,在由方程由两个相等的实根，设Δ=(5-Z)2-16=0，解得Z=9
综上可知，Z≥9,即ab的取值范围是［9,+∞).
例4、例5为线性规划问题中的“距离型”、“斜率型”，但约束条件不是明显的线性关系，需根据现有条件将其转化为线性关系，再利用线性规划的思想求解，其间综合性较强，必须具备较强的转化能力，才能实现非线性向线性转化，解题实思想中，转化的数学思想占有主导地位；例6解法较多，采用此法，使问题从另一角度得以解决，给人以一种“曲径通幽”的亲切感受.
线性规划问题的解题思想，给我们提供了一种求二元函数最值的思想，简单的线性规划问题作为高中数学的新增内容从2004年起在高考试卷中出现，随着教学和试题研究的不断深入，试题的难度一直在提高，综合性越来越强，灵活性越来越大，高考试题追求创新，注重思想方法的考查，逐步从知识立意向能力立意转化，可以猜想，线性规划问题越来越不会以单纯的小题出现，而是穿插于其它题型中来考查，要让学生在高考中取胜，仅仅靠题型演练来提高数学能力是跟不上高考要求的，只有让学生深刻领会其思想，才可能跟上不断发展的高考试题的要求.
“问渠哪得清如许，为有源头活水来”.数学思想是数学方法的源泉，没有思想的源泉，方法的小溪终会干涸，一道题也许是一首清新隽永的诗，也许是一条源远流长的河，正因为人们给它注入了鲜活的思想，它才给人们产生不同的感受，要使学生解决问题的能力不断提高，教师要适时点激、诱发学生思考，唤醒学生“沉睡”的思维，使之能在不同的问题情境中创造性地解决问题.
参考文献
王勉，例谈转化与化归思想在解题中的应用，中国数学教育，2009第1—2期.