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伟大的德国古典哲学家康德曾经说过：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比，这个思想方法往往能指导我们前进.
所谓类比，是通过对两个研究对象的比较，根据他们在某些方面（属性、关系、特征、形式等）的相同或相似之处，推断出它们在其它方面也可能相同或相似的一种推理方法.”
在数学教学中，类比作为一种信息转移的桥梁，不仅是一种良好的学习方法，能使学生巩固旧知识、掌握新知识；而且也是一种理智的解题策略，能使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题形象化.因此，在数学教学和解题中，教师要有意识地对学生进行类比能力的训练.
1. 类比为建构新知搭桥
数学中的许多概念之间有类似的地方，在新概念的提出、新知识的讲授过程中，如能利用类比思想把新旧概念结合起来考虑，则可大大降低理解的难度.
1.1 类比为抽象概念与生活实例搭桥，建立数学与生活间的网络结构
数学来源于生活，且最终的目的是应用到我们的生活实际中去，因此，我们在平时的教学中要尽可能将抽象的概念具体化、形象化、生活化.只要我们细心留意，就会发现我们平时的学习与生活实际处处充满着类比
比如，直线的斜率概念的构建，过两点的斜率公式的推导是本节课的重点也是难点，因此怎样突出这个重点，突破难点是本节课的关键.我采用类比的思想，层层逼近的方法，从具体的生活实例到抽象的数学问题.先从学生最最熟悉且天天接触的楼梯入手，先直观比较其陡峭程度并从数学的角度进一步给出解释，学生不难想到用级高比级宽；然后把学生的思绪带到童年，我们的最爱—滑滑梯，长大后我们从数学的角度重新再来认识它，进一步激起学生的兴趣，为什么说这个坡陡点，那个平缓些？类比楼梯借助滑滑梯的高与宽作一个直角三角形，还是用高与宽之比来刻画，这实际上就是我们熟悉的坡度；最后才回到最抽象的任给一条直线，怎样刻画它的倾斜程度呢？这样有了前面两个作铺垫，便很容易想出在直线上任取两点，构造直角三角形，同样用两直角边比，难题便迎刃而解.由楼梯的现成的直角三角形→滑滑梯借助其高与宽作直角三角形→任一条直线任取两点构造直角三角形，层层逼近，过渡很自然.
1.2 类比为新概念与已有知识搭桥，建立数学相关知识间的网络结构
比如：类比已有的运算，猜想对数运算的存在性
加法：a+b=c，减法：a=c-b；
乘法：a×b=c，除法：a=c÷bb≠0；
乘方：an=b，开方：a=nba≥0.
指数：ab=Na>0，a≠1，b=？
通过对已知互逆运算的类比，猜想指数运算也应该有逆运算存在，从而很自然地引入对数的概念，同时还建立了数学各种运算之间的网络结构.
再如：类比函数单调性的概念引出函数的其它重要性质：函数的奇偶性、周期性，再将函数、函数单调性、函数奇偶性、函数周期性四个概念放在一起来体会“每一个”的意思，再到后面的全称命题、存在性命题，以及恒成立问题都可以放到一起比较分析；点沿某一方向平移形成线，通过类比得到线沿某一方向平移形成面，再到后来的平行四边形、五边形沿某一方向平移形成棱柱，圆沿某一方向平移形成圆柱；学习等比数列的定义及性质可以类比等差数列来理解，并将其放在一起分析比较它们的异同……
1.3 类比为新公式与已有公式搭桥，建立数学公式推导间的网络结构
法国数学家、天文学家拉普拉斯说：“在数学里，发现真理的主要工具就是归纳和类比.”因此，我们不但可以通过类比认识新概念，还可以通过类比推导新公式.
比如：① 怎样求等差数列前n项和？类比高斯10岁时快速地计算出1+2+3+…+100=50×（1+100）的方法，提取其思想我们可以运用到求等差数列的前n项和公式的推导上，结构形式很相似，首项与末项和等于第二项与倒数第二项和，等于第三项与倒数第三项和……然后再进一步改进为倒序相加法，从而得出等差数列前n项和的推导公式.② 怎样求等比数列的前n项和？等比数列的前n项与等差数列前n项和也有类似的结构，都是有一定规律的n项和，直接求和没有办法，因此，也类似地用两个Sn等式相加，行不通怎么办？看来我们需要再下点功夫，又根据等比数列的特点想到变形第二个式子qSn，两等式放一起比较发现错位相同，从而得到错位相减法.
③ 怎样求数列{an·bn}（其中an为等差数列bn为等比数列）的前n项和？结构类似等比数列前n项和，因此仍然用错位相减法解决该问题.④ 怎样求任一数列的前n项和？分析：都是数列求和也有其相似的地方，通过对比发现，它们的共同目标都是将前n项和变成仅有的几项，方法可以是构造相同的项，也可以是化归成等差或等比数列求和.因此，通过类比我们便得到求数列前n项和的通用思想.
再如：我们根据等差数列的特点，用累加法推导其通项公式，类似地，可以用累乘法推导等比数列的通项公式，还可进一步类比推广到求an+1-an=f（n）an+1an=f（n）这类题的通项公式上来；点与圆的位置关系可以通过点到圆心的距离d与圆半径r的关系来判定，类似的，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系都可以通过比较d与r来判定；立方和公式的推导可类比平方和a2+b2=（a+b）2-2ab……
2. 类比为探求新题搭桥
经常听学生讲，“老师，我上课都能听得懂，但就是不会做题”，我认为，这种情况主要是因为学生没有将教师讲解过的例题的解题方法、思路类比地移植到要做的题上.
2.1 类比为新题与条件相似的简单题搭桥，来探寻题目解法
比如：等比数列an的首项为a1=2008，公比q=12，（1） 设f（n）表示该数列的前n项积，求f（n）的表达式；（2） 当n为何值时，f（n）有最大值？
解析 等比数列的前n项积我们不太熟悉，但等比数列的前n项和我们非常熟悉，因此，我们应类比等比数列的求前n项和的常用方法：① 直接求函数最值；② 找正负分界线；③ 借助不等式组an≥an+1an≥an-1，类比得出求等比数列的求前n项积的常用方法：① 直接求函数最值；② 找“1”的分界线；③ 借助不等式组an≥an+1an≥an-1，从而轻松解决此题.有条件的相同或相似一般都有解答上的相同或相似. 2.2 类比为新题与目标相似的简单题搭桥，来探寻题目解法
比如：已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的图象与直线y=b（0 解析 该题看似很难，要求函数f（x）的单调区间，就是求函数f（x）=Asin（ωx+φ）的表达式，而这一模型我们是非常熟悉，ω一般通过周期确定；A由最大、最小值就可以得出；求φ是最难了，但一般也只需要带入最值点即可.因此要想突破该题的难点只需要找出函数的最值点即可.由三个相邻交点的横坐标分别为2，4，8这一条件可以快速得出周期T=6，结合函数图形，又由0 2.3 类比为新题与条件、结论颠倒的简单题搭桥，来探寻题目解法
同类型的题型在其解法上有相同或相似的地方，条件与结论颠倒的反面类型的题型在其解法上也有相同或相似的地方.
比如：已知A={x|1 析：如果条件与结论调换一下：已知A、B两个集合，求A∩B，解法再简单不过，借助数轴找A与B的公共部分即可，因此，我们同样可以借助数轴解决此类问题.
2.4 类比为新题与特殊情况的简单题搭桥，来探寻题目解法
比如：已知函数f（x）的定义域为（0，+
SymboleB@ ），求函数f（x+1）的定义域.
析：求抽象函数定义域这一类题一直是学生理解上的一个难点，如果我们能举一些特例便很容易突破这个难点，如：令f（x）=lgx，则f（x+1）=lg（x+1），令x+1>0，得x>-1，即函数f（x+1）的定义域为：（-1，+
SymboleB@ ）；再如：f（x+1）中的x可以取0？2？-2？3.1？-5.1？……因此，不难得到结论：对于函数f（g（x）），g（x）的取值范围始终不变，且函数的定义域指的是其中x的取值范围.
2.5 类比为新题与结构相似的简单题搭桥，来探寻题目解法
比如：设x∈R，a为非零常数，且f（x+a）=1+f（x）1-f（x），试问：f（x）是周期函数吗？
析：提到周期函数我们会想到三角函数，而f（x+a）=1+f（x）1-f（x）的结构特点跟两角和的正切公式tan（α+β）=tanα+tanβ1-tanαtanβ很类似，所以想到假设f（x）=tanx，得到tanx+π4=tanα+tanπ41-tanαtanπ4=1+tanα1-tanα，因此取a=π4，而正切函数的周期为π，即4a，猜想函数f（x）是周期函数，且周期为4a，有了大概的猜想，便有了证明的思路.
3.类比为完善难题搭桥
通过调查，我发现大多数同学解难题很难得全分，究其原因，主要还是不会将一些基础知识、基本题型、常见思想及时类比过来.
比如：已知函数f（x）=lnx-12ax2+bx，且f′（1） =0.
（1） 试用含有a的式子表示b；（2） 求f（x）的单调区间.
析：该题学生都可以下手但很难得满分，由（1） 易得b=a-1，令f（x）>0得-ax2+ax-x+1x>0且x>0，怎样完整地解这个不等式是该题的难点，我是这样设计的：
问题1.你能解出下列不等式吗？
（1） -2x-3+x2>0；（2） -x2+2x+3>0；（3） a（x-1）（x+2）>0；（4） （x-a）（x-1）<0，（这些题对大部分学生都不存在问题）
问题2：你能从中总结出解一元二次不等式的步骤吗？
① 化标准形式ax2+bx+c>0（<0），同时二次项系数化正；② 求对应的一元二次方程的根；③ 若Δ>0，且两根为x1，x2（x10（<0）解集为{x|x>x2或x 问题3：二次项系数a不确定怎么办？（讨论）
问题4：讨论几种情况？为什么？（a=0，a>0，a<0三种）
问题5：怎样求一元二次方程的根？（十字相乘法、配方、求根公式.）
问题6：（4） 的解集是（a，1）（1，a）（讨论a与1两根谁大谁小三种情况.）
类比一些简单的一元二次不等式的解题过程，从中总结规律及注意点，接下来让学生再独立解决应该不成问题，老师很轻松，学生也很开心，老师只是稍作提示学生便可以轻松完成这么难的一道题，学生很有成就感，同时还学到了解难题的一个好方法：类比几个相似的简单题并总结规律.
4. 类比为零碎的知识与灵活的题型搭桥
高中数学题浩如烟海，面对一个个数学问题如何着手求解？有些学生做了大量的题目，但考试遇到新题型或只是稍微变换一下，就不知所措，有时甚至是一模一样的题，也很难从凌乱的记忆空间找出来对号入座，原因在于他们平时的学习中，缺少对这些知识的再加工，缺少知识间的纵向联系，类比思想是将零碎的知识捆绑起来的一个很好的工具.
比如4.1：已知椭圆x2a2+y2b2=1的左右焦点分别为F1、F2，|F1F2|=2c，点A在椭圆上，且AF1·F1F2=0，AF1·AF2=c2，则椭圆的离心率为
解析 不难发现解决该题的关键是：AF1·AF2=c2这一条件该怎样处理？
思路一：从最原始的向量数量积的定义入手，AF1·AF2=|AF1|·|AF2|cos∠F1AF2=|AF1|2=c2，再由椭圆的定义AF1+AF2=c+5c=2a，得椭圆的离心率e=5-12；思路二：从向量数量积的坐标表示入手，F1（-c，0），F2（c，0），A-c，±b2a，AF1=0，b2a，AF2=2c，b2a，AF1·AF2=b4a2=c2；思路三：因为已知条件给的是|F1F2|=2c，AF1·F1F2=0，而AF1，F1F2给的条件更多一点，因此想到可以用向量加法的三角形法则将AF2往AF1，F1F2上转化，即AF1·AF2=AF1·（AF1+F1F2）=AF12=c2.从该题中我们可以归纳出向量数量积这一知识点的常用处理方法：① 定义法（夹角已知或很容易求出时用该方法）；② 坐标法（已有坐标系或很方便建系时用，用起来较简单）；③ 转化法（往已知条件方向转化，若能找准方向，该方法计算量最小）
再如4.2：等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=2，AD是BC边上的高，P为AD的中点，点M、N分别是AB边和AC边上的点，且M、N关于直线AD对称，当PM·PN=-12时，AMMB=.
析：该题看上去难度明显比上一题要大，但当我们看到PM·PN=-12这一条件时就应该发现，其实该题与上一题是同一类型题，可能有三条路可走，三条路试试看就可以完美地解决.但也并不是每一个这种题型都有三条路可走，要由题目给的具体条件来定.
如4.3.在ΔABC中，AB=3，AC=2，BC=7，O为ΔABC的垂心，则AO·AC=
分析 因为该三角形没什么特殊性，AO，AC的夹角也不好表示，只能选择转化向量好点，怎么转化一直是学生的一个难点，其实，你只要掌握转化的原则即可.一、转化未知向量，因此应化AO，而保留AC；二、将未知向量往条件充足的已知向量上来转化，且能出现与AC垂直的向量最好，因此AO·AC=（AB+BO）·AC=AB·AC=3
变1：在ΔABC中，AB=3，AC=2，BC=7，O为ΔABC的外心，则AO·AC的值为
变2：在ΔABC中，AB=3，AC=2，BC=7，O为ΔABC的重心，则AO·AC的值为
将一些考察同一知识点的题放在一起归纳思想、总结规律、比较异同，才能更好地理解该模型，从而达到把书读“薄”的目的.
数学家波利亚说，“类比是一个伟大的引路人”.无论在知识的建构，还是在问题的探究，或是在规律的总结上都少不了它的指引.因此，在数学教学中，我们要有意识地渗透类比思想，它不仅可以促进学生对所学知识的理解，还可以激发学生学习的积极性.
所谓类比，是通过对两个研究对象的比较，根据他们在某些方面（属性、关系、特征、形式等）的相同或相似之处，推断出它们在其它方面也可能相同或相似的一种推理方法.”
在数学教学中，类比作为一种信息转移的桥梁，不仅是一种良好的学习方法，能使学生巩固旧知识、掌握新知识；而且也是一种理智的解题策略，能使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题形象化.因此，在数学教学和解题中，教师要有意识地对学生进行类比能力的训练.
1. 类比为建构新知搭桥
数学中的许多概念之间有类似的地方，在新概念的提出、新知识的讲授过程中，如能利用类比思想把新旧概念结合起来考虑，则可大大降低理解的难度.
1.1 类比为抽象概念与生活实例搭桥，建立数学与生活间的网络结构
数学来源于生活，且最终的目的是应用到我们的生活实际中去，因此，我们在平时的教学中要尽可能将抽象的概念具体化、形象化、生活化.只要我们细心留意，就会发现我们平时的学习与生活实际处处充满着类比
比如，直线的斜率概念的构建，过两点的斜率公式的推导是本节课的重点也是难点，因此怎样突出这个重点，突破难点是本节课的关键.我采用类比的思想，层层逼近的方法，从具体的生活实例到抽象的数学问题.先从学生最最熟悉且天天接触的楼梯入手，先直观比较其陡峭程度并从数学的角度进一步给出解释，学生不难想到用级高比级宽；然后把学生的思绪带到童年，我们的最爱—滑滑梯，长大后我们从数学的角度重新再来认识它，进一步激起学生的兴趣，为什么说这个坡陡点，那个平缓些？类比楼梯借助滑滑梯的高与宽作一个直角三角形，还是用高与宽之比来刻画，这实际上就是我们熟悉的坡度；最后才回到最抽象的任给一条直线，怎样刻画它的倾斜程度呢？这样有了前面两个作铺垫，便很容易想出在直线上任取两点，构造直角三角形，同样用两直角边比，难题便迎刃而解.由楼梯的现成的直角三角形→滑滑梯借助其高与宽作直角三角形→任一条直线任取两点构造直角三角形，层层逼近，过渡很自然.
1.2 类比为新概念与已有知识搭桥，建立数学相关知识间的网络结构
比如：类比已有的运算，猜想对数运算的存在性
加法：a+b=c，减法：a=c-b；
乘法：a×b=c，除法：a=c÷bb≠0；
乘方：an=b，开方：a=nba≥0.
指数：ab=Na>0，a≠1，b=？
通过对已知互逆运算的类比，猜想指数运算也应该有逆运算存在，从而很自然地引入对数的概念，同时还建立了数学各种运算之间的网络结构.
再如：类比函数单调性的概念引出函数的其它重要性质：函数的奇偶性、周期性，再将函数、函数单调性、函数奇偶性、函数周期性四个概念放在一起来体会“每一个”的意思，再到后面的全称命题、存在性命题，以及恒成立问题都可以放到一起比较分析；点沿某一方向平移形成线，通过类比得到线沿某一方向平移形成面，再到后来的平行四边形、五边形沿某一方向平移形成棱柱，圆沿某一方向平移形成圆柱；学习等比数列的定义及性质可以类比等差数列来理解，并将其放在一起分析比较它们的异同……
1.3 类比为新公式与已有公式搭桥，建立数学公式推导间的网络结构
法国数学家、天文学家拉普拉斯说：“在数学里，发现真理的主要工具就是归纳和类比.”因此，我们不但可以通过类比认识新概念，还可以通过类比推导新公式.
比如：① 怎样求等差数列前n项和？类比高斯10岁时快速地计算出1+2+3+…+100=50×（1+100）的方法，提取其思想我们可以运用到求等差数列的前n项和公式的推导上，结构形式很相似，首项与末项和等于第二项与倒数第二项和，等于第三项与倒数第三项和……然后再进一步改进为倒序相加法，从而得出等差数列前n项和的推导公式.② 怎样求等比数列的前n项和？等比数列的前n项与等差数列前n项和也有类似的结构，都是有一定规律的n项和，直接求和没有办法，因此，也类似地用两个Sn等式相加，行不通怎么办？看来我们需要再下点功夫，又根据等比数列的特点想到变形第二个式子qSn，两等式放一起比较发现错位相同，从而得到错位相减法.
③ 怎样求数列{an·bn}（其中an为等差数列bn为等比数列）的前n项和？结构类似等比数列前n项和，因此仍然用错位相减法解决该问题.④ 怎样求任一数列的前n项和？分析：都是数列求和也有其相似的地方，通过对比发现，它们的共同目标都是将前n项和变成仅有的几项，方法可以是构造相同的项，也可以是化归成等差或等比数列求和.因此，通过类比我们便得到求数列前n项和的通用思想.
再如：我们根据等差数列的特点，用累加法推导其通项公式，类似地，可以用累乘法推导等比数列的通项公式，还可进一步类比推广到求an+1-an=f（n）an+1an=f（n）这类题的通项公式上来；点与圆的位置关系可以通过点到圆心的距离d与圆半径r的关系来判定，类似的，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系都可以通过比较d与r来判定；立方和公式的推导可类比平方和a2+b2=（a+b）2-2ab……
2. 类比为探求新题搭桥
经常听学生讲，“老师，我上课都能听得懂，但就是不会做题”，我认为，这种情况主要是因为学生没有将教师讲解过的例题的解题方法、思路类比地移植到要做的题上.
2.1 类比为新题与条件相似的简单题搭桥，来探寻题目解法
比如：等比数列an的首项为a1=2008，公比q=12，（1） 设f（n）表示该数列的前n项积，求f（n）的表达式；（2） 当n为何值时，f（n）有最大值？
解析 等比数列的前n项积我们不太熟悉，但等比数列的前n项和我们非常熟悉，因此，我们应类比等比数列的求前n项和的常用方法：① 直接求函数最值；② 找正负分界线；③ 借助不等式组an≥an+1an≥an-1，类比得出求等比数列的求前n项积的常用方法：① 直接求函数最值；② 找“1”的分界线；③ 借助不等式组an≥an+1an≥an-1，从而轻松解决此题.有条件的相同或相似一般都有解答上的相同或相似. 2.2 类比为新题与目标相似的简单题搭桥，来探寻题目解法
比如：已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的图象与直线y=b（0
同类型的题型在其解法上有相同或相似的地方，条件与结论颠倒的反面类型的题型在其解法上也有相同或相似的地方.
比如：已知A={x|1
2.4 类比为新题与特殊情况的简单题搭桥，来探寻题目解法
比如：已知函数f（x）的定义域为（0，+
SymboleB@ ），求函数f（x+1）的定义域.
析：求抽象函数定义域这一类题一直是学生理解上的一个难点，如果我们能举一些特例便很容易突破这个难点，如：令f（x）=lgx，则f（x+1）=lg（x+1），令x+1>0，得x>-1，即函数f（x+1）的定义域为：（-1，+
SymboleB@ ）；再如：f（x+1）中的x可以取0？2？-2？3.1？-5.1？……因此，不难得到结论：对于函数f（g（x）），g（x）的取值范围始终不变，且函数的定义域指的是其中x的取值范围.
2.5 类比为新题与结构相似的简单题搭桥，来探寻题目解法
比如：设x∈R，a为非零常数，且f（x+a）=1+f（x）1-f（x），试问：f（x）是周期函数吗？
析：提到周期函数我们会想到三角函数，而f（x+a）=1+f（x）1-f（x）的结构特点跟两角和的正切公式tan（α+β）=tanα+tanβ1-tanαtanβ很类似，所以想到假设f（x）=tanx，得到tanx+π4=tanα+tanπ41-tanαtanπ4=1+tanα1-tanα，因此取a=π4，而正切函数的周期为π，即4a，猜想函数f（x）是周期函数，且周期为4a，有了大概的猜想，便有了证明的思路.
3.类比为完善难题搭桥
通过调查，我发现大多数同学解难题很难得全分，究其原因，主要还是不会将一些基础知识、基本题型、常见思想及时类比过来.
比如：已知函数f（x）=lnx-12ax2+bx，且f′（1） =0.
（1） 试用含有a的式子表示b；（2） 求f（x）的单调区间.
析：该题学生都可以下手但很难得满分，由（1） 易得b=a-1，令f（x）>0得-ax2+ax-x+1x>0且x>0，怎样完整地解这个不等式是该题的难点，我是这样设计的：
问题1.你能解出下列不等式吗？
（1） -2x-3+x2>0；（2） -x2+2x+3>0；（3） a（x-1）（x+2）>0；（4） （x-a）（x-1）<0，（这些题对大部分学生都不存在问题）
问题2：你能从中总结出解一元二次不等式的步骤吗？
① 化标准形式ax2+bx+c>0（<0），同时二次项系数化正；② 求对应的一元二次方程的根；③ 若Δ>0，且两根为x1，x2（x1
问题4：讨论几种情况？为什么？（a=0，a>0，a<0三种）
问题5：怎样求一元二次方程的根？（十字相乘法、配方、求根公式.）
问题6：（4） 的解集是（a，1）（1，a）（讨论a与1两根谁大谁小三种情况.）
类比一些简单的一元二次不等式的解题过程，从中总结规律及注意点，接下来让学生再独立解决应该不成问题，老师很轻松，学生也很开心，老师只是稍作提示学生便可以轻松完成这么难的一道题，学生很有成就感，同时还学到了解难题的一个好方法：类比几个相似的简单题并总结规律.
4. 类比为零碎的知识与灵活的题型搭桥
高中数学题浩如烟海，面对一个个数学问题如何着手求解？有些学生做了大量的题目，但考试遇到新题型或只是稍微变换一下，就不知所措，有时甚至是一模一样的题，也很难从凌乱的记忆空间找出来对号入座，原因在于他们平时的学习中，缺少对这些知识的再加工，缺少知识间的纵向联系，类比思想是将零碎的知识捆绑起来的一个很好的工具.
比如4.1：已知椭圆x2a2+y2b2=1的左右焦点分别为F1、F2，|F1F2|=2c，点A在椭圆上，且AF1·F1F2=0，AF1·AF2=c2，则椭圆的离心率为
解析 不难发现解决该题的关键是：AF1·AF2=c2这一条件该怎样处理？
思路一：从最原始的向量数量积的定义入手，AF1·AF2=|AF1|·|AF2|cos∠F1AF2=|AF1|2=c2，再由椭圆的定义AF1+AF2=c+5c=2a，得椭圆的离心率e=5-12；思路二：从向量数量积的坐标表示入手，F1（-c，0），F2（c，0），A-c，±b2a，AF1=0，b2a，AF2=2c，b2a，AF1·AF2=b4a2=c2；思路三：因为已知条件给的是|F1F2|=2c，AF1·F1F2=0，而AF1，F1F2给的条件更多一点，因此想到可以用向量加法的三角形法则将AF2往AF1，F1F2上转化，即AF1·AF2=AF1·（AF1+F1F2）=AF12=c2.从该题中我们可以归纳出向量数量积这一知识点的常用处理方法：① 定义法（夹角已知或很容易求出时用该方法）；② 坐标法（已有坐标系或很方便建系时用，用起来较简单）；③ 转化法（往已知条件方向转化，若能找准方向，该方法计算量最小）
再如4.2：等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=2，AD是BC边上的高，P为AD的中点，点M、N分别是AB边和AC边上的点，且M、N关于直线AD对称，当PM·PN=-12时，AMMB=.
析：该题看上去难度明显比上一题要大，但当我们看到PM·PN=-12这一条件时就应该发现，其实该题与上一题是同一类型题，可能有三条路可走，三条路试试看就可以完美地解决.但也并不是每一个这种题型都有三条路可走，要由题目给的具体条件来定.
如4.3.在ΔABC中，AB=3，AC=2，BC=7，O为ΔABC的垂心，则AO·AC=
分析 因为该三角形没什么特殊性，AO，AC的夹角也不好表示，只能选择转化向量好点，怎么转化一直是学生的一个难点，其实，你只要掌握转化的原则即可.一、转化未知向量，因此应化AO，而保留AC；二、将未知向量往条件充足的已知向量上来转化，且能出现与AC垂直的向量最好，因此AO·AC=（AB+BO）·AC=AB·AC=3
变1：在ΔABC中，AB=3，AC=2，BC=7，O为ΔABC的外心，则AO·AC的值为
变2：在ΔABC中，AB=3，AC=2，BC=7，O为ΔABC的重心，则AO·AC的值为
将一些考察同一知识点的题放在一起归纳思想、总结规律、比较异同，才能更好地理解该模型，从而达到把书读“薄”的目的.
数学家波利亚说，“类比是一个伟大的引路人”.无论在知识的建构，还是在问题的探究，或是在规律的总结上都少不了它的指引.因此，在数学教学中，我们要有意识地渗透类比思想，它不仅可以促进学生对所学知识的理解，还可以激发学生学习的积极性.