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高考数学年年岁岁均相似，但岁岁年年题不同.紧张激烈的考试在悄无声息中已落下了帷幕，高考似乎已离我们而去.探讨最近几年的全国卷高考试题，有以下几个显著的特点，写将出来，供同行们研究参考.
一、 推陈出新
今年的高考数学试题，较好地体现出了推陈出新的特点.所谓“陈”是指沉淀和积累下来的精华，是重要的数学概念和重要的数学思想方法.“陈”是对高中数学主干知识地位认可的体现.然而主干知识、基本知识年年考，反复考，如何避免重复考查呢？那就推陈出新，适度变换.比如对同一个知识点，可以从立意、知识的综合、方法、载体、设问方式等等加以改造和变形，从而达到出新的目的.当考生在考场见到该试题时，有既在意料之中，又在意料之外的感觉.
1． 以三角函数为载体全面考查图象变换
题1 （2009年全国乙卷理科8题）若将函数y=tanωx+π4(ω>0)的图像向右平移π6个单位长度后，与函数y=tanωx+π6的图像重合，则ω的最小值为（ ）
A． 16
B. 14
C. 13
D. 12
根据三角函数的周期性，其图像经过平移变换后的新图与原图可以刚好重合，也就是说在变换T下，图形Г符合：T(Г)=Г.这是变化中的不变性，而这正是数学的规律和本质，是高考经久不衰的热点.
其次，由于三角函数图像几乎涵盖了函数的所有性质，如单调性、对称性、周期性等等，从而三角函数图像是考查图像变换的最好载体，因而也备受命题专家的青睐.
2． 以“两条（互相垂直的）异面线段及其公垂线”为线索考查位置关系及相关计算
题2 （2011年全国乙卷理科6题）已知直二面角αlβ，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于（ ）
A． 23
B． 33
C． 63
D． 1
题3 （2011年全国乙卷理科16题）已知点E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 ．
题4 （2009年全国甲卷理10题）已知二面角αlβ为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为3，Q到α的距离为23，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）
A． 2
B． 2
C． 23
D． 4
不难看出，“两条（互相垂直的）异面线段及其公垂线”是这3道考题共同的问题增长点，其设问角度新颖多变，内涵也很丰富.特别地，如果我们再过两异面直线中的一条直线上一点作另一直线的平行线时，立体几何中的几个非常重要的位置关系便凸显出来了.例如线线平行、线面平行、线面垂直、面面垂直.其次，异面直线所成角、直线与平面所成的角、二面角、点线距、点面距等问题便跃然纸上.
从以上分析不难看出，“两条（互相垂直的）异面线段及其公垂线”几乎涵盖了立体几何中的所有问题，因而也应该成为立体几何教学中的一个重要模型和重要内容.
3． 以球为载体，通过球的3条性质全面考查考生的空间想象能力、逻辑思维能力
从近几年的试题可以看出，以球的两个相交截面圆的位置关系为基础的计算问题成了高考常考常新的内容.其中这两个小圆可以是等圆，也可以是非等圆，问题的解决涉及作图、逻辑推理和相关计算，对考生的空间想象力和逻辑思维能力要求较高.
题5 (11年全国乙卷理科11题）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N．若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆的面积为（ ）
A． 4π
B． 9π
C． 11π
D． 13π
题6 （10年全国乙卷理科16题）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB=4．若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN= ．
本题考查了符号的含义及复数的四则运算.然而在全国高考卷中直接出现符号而不作说明，这在当时是令笔者相当愕然的一件事，因为教材中并没有出现过共轭复数这个符号.这是不是命题者的一个重大失误呢？《数学•第三册（选修Ⅱ）》167页正文中写道“在进行复数除法运算时，通常先把(a+bi)÷(c+di)写成a+bic+di的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数(c-di)，化简后，得出上面的结果”，之后在页脚给出了注释：① 当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.
题7 （2011年全国乙卷理科1题）复数z=1+i，为z的共轭复数，则z-z-1=（ ）
A． -2i
B． -i
C． i
D． 2i
在11年的全国高考乙卷中，又考查了，但是题目中交代了这个符号的含义，应该说这是科学的.即便是学生没有学过这个符号，也不会再有任何问题了.
二、 在向量、解析几何问题中深刻考查平面几何图形的有关性质
1． 重视三角形内角平分线性质定理的桥梁和纽带作用
三角形内角平分线定理：在△ABC中，D为边BC上一点，且AD平分∠BAC，则ABAC=BDDC.
众所周知，应用三角形内角平分线性质定理可以“使用尺规把一条线段按要求分割成任意比例”，这是这个定理的价值之一.2010年和2011年的全国乙卷都有试题涉及这个定理.
题8 （2011年全国乙卷理科15题）已知F1、F2分别为双曲线C:x29-y227=1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2,0)，AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|= ．
三角形内角平分线定理是实现“共线的两条线段之比”向“不共线的两条线段（即三角形两边）之比进行转化”的一个依据.分析以上试题，不难看出：角平分线定理的桥梁转化作用对解答本题很是关键.这也说明在我们的教学中，要较好地运用“转化思想”解决问题，必须搭建一个较高的知识和方法的平台，即以掌握重要的数学事实和数学知识为前提，也只有这样才能走的更远，飞得更高.
2． 重视圆的性质，重视几何直观
11年全国乙卷中有两道试题涉及到四点共圆.关于圆有很多重要而基本的数学事实和结论.同时，圆在初中的平面几何和高中的解析几何中都占有重要的位置.另一方面，学生在数学解题中往往迷失在数学的形式变换和演绎中，而忘却或忽视了它们的几何直观和数学本质.
题9 （11年全国乙卷理科21题）已知O为坐标原点，F为椭圆C：x2+y22=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-2的直线l与C交于A、B两点，点满足OA+OB+OP=0．
（Ⅰ） 证明：点P在C上；
（Ⅱ） 设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
三、 创新
除了推陈出新外，创新更是高考试题避免猜题押题的不二选择，也是高考命题的永恒追求.比如在压轴题布局上，21题为解析几何题，22题为导数题，这一特点保持了全国卷的稳定性，具有鲜明的全国卷特色（这与一些省的压轴题，经常考查不等式的放缩证明形成了鲜明的对比）.虽然22题第1问比较常规，考查不等式的恒成立.但第二问却完全在意料之外：第18题已经用大题的形式对概率统计进行了考查，此处又再次考查了概率p的计算，并且要证明：p<910<1e2．这里涉及函数与导数、概率、不等式等知识之间的综合.这也启示我们要注意知识和方法上的综合，这是创新的一个重要源泉.
一、 推陈出新
今年的高考数学试题，较好地体现出了推陈出新的特点.所谓“陈”是指沉淀和积累下来的精华，是重要的数学概念和重要的数学思想方法.“陈”是对高中数学主干知识地位认可的体现.然而主干知识、基本知识年年考，反复考，如何避免重复考查呢？那就推陈出新，适度变换.比如对同一个知识点，可以从立意、知识的综合、方法、载体、设问方式等等加以改造和变形，从而达到出新的目的.当考生在考场见到该试题时，有既在意料之中，又在意料之外的感觉.
1． 以三角函数为载体全面考查图象变换
题1 （2009年全国乙卷理科8题）若将函数y=tanωx+π4(ω>0)的图像向右平移π6个单位长度后，与函数y=tanωx+π6的图像重合，则ω的最小值为（ ）
A． 16
B. 14
C. 13
D. 12
根据三角函数的周期性，其图像经过平移变换后的新图与原图可以刚好重合，也就是说在变换T下，图形Г符合：T(Г)=Г.这是变化中的不变性，而这正是数学的规律和本质，是高考经久不衰的热点.
其次，由于三角函数图像几乎涵盖了函数的所有性质，如单调性、对称性、周期性等等，从而三角函数图像是考查图像变换的最好载体，因而也备受命题专家的青睐.
2． 以“两条（互相垂直的）异面线段及其公垂线”为线索考查位置关系及相关计算
题2 （2011年全国乙卷理科6题）已知直二面角αlβ，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于（ ）
A． 23
B． 33
C． 63
D． 1
题3 （2011年全国乙卷理科16题）已知点E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 ．
题4 （2009年全国甲卷理10题）已知二面角αlβ为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为3，Q到α的距离为23，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）
A． 2
B． 2
C． 23
D． 4
不难看出，“两条（互相垂直的）异面线段及其公垂线”是这3道考题共同的问题增长点，其设问角度新颖多变，内涵也很丰富.特别地，如果我们再过两异面直线中的一条直线上一点作另一直线的平行线时，立体几何中的几个非常重要的位置关系便凸显出来了.例如线线平行、线面平行、线面垂直、面面垂直.其次，异面直线所成角、直线与平面所成的角、二面角、点线距、点面距等问题便跃然纸上.
从以上分析不难看出，“两条（互相垂直的）异面线段及其公垂线”几乎涵盖了立体几何中的所有问题，因而也应该成为立体几何教学中的一个重要模型和重要内容.
3． 以球为载体，通过球的3条性质全面考查考生的空间想象能力、逻辑思维能力
从近几年的试题可以看出，以球的两个相交截面圆的位置关系为基础的计算问题成了高考常考常新的内容.其中这两个小圆可以是等圆，也可以是非等圆，问题的解决涉及作图、逻辑推理和相关计算，对考生的空间想象力和逻辑思维能力要求较高.
题5 (11年全国乙卷理科11题）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N．若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆的面积为（ ）
A． 4π
B． 9π
C． 11π
D． 13π
题6 （10年全国乙卷理科16题）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB=4．若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN= ．
本题考查了符号的含义及复数的四则运算.然而在全国高考卷中直接出现符号而不作说明，这在当时是令笔者相当愕然的一件事，因为教材中并没有出现过共轭复数这个符号.这是不是命题者的一个重大失误呢？《数学•第三册（选修Ⅱ）》167页正文中写道“在进行复数除法运算时，通常先把(a+bi)÷(c+di)写成a+bic+di的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数(c-di)，化简后，得出上面的结果”，之后在页脚给出了注释：① 当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.
题7 （2011年全国乙卷理科1题）复数z=1+i，为z的共轭复数，则z-z-1=（ ）
A． -2i
B． -i
C． i
D． 2i
在11年的全国高考乙卷中，又考查了，但是题目中交代了这个符号的含义，应该说这是科学的.即便是学生没有学过这个符号，也不会再有任何问题了.
二、 在向量、解析几何问题中深刻考查平面几何图形的有关性质
1． 重视三角形内角平分线性质定理的桥梁和纽带作用
三角形内角平分线定理：在△ABC中，D为边BC上一点，且AD平分∠BAC，则ABAC=BDDC.
众所周知，应用三角形内角平分线性质定理可以“使用尺规把一条线段按要求分割成任意比例”，这是这个定理的价值之一.2010年和2011年的全国乙卷都有试题涉及这个定理.
题8 （2011年全国乙卷理科15题）已知F1、F2分别为双曲线C:x29-y227=1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2,0)，AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|= ．
三角形内角平分线定理是实现“共线的两条线段之比”向“不共线的两条线段（即三角形两边）之比进行转化”的一个依据.分析以上试题，不难看出：角平分线定理的桥梁转化作用对解答本题很是关键.这也说明在我们的教学中，要较好地运用“转化思想”解决问题，必须搭建一个较高的知识和方法的平台，即以掌握重要的数学事实和数学知识为前提，也只有这样才能走的更远，飞得更高.
2． 重视圆的性质，重视几何直观
11年全国乙卷中有两道试题涉及到四点共圆.关于圆有很多重要而基本的数学事实和结论.同时，圆在初中的平面几何和高中的解析几何中都占有重要的位置.另一方面，学生在数学解题中往往迷失在数学的形式变换和演绎中，而忘却或忽视了它们的几何直观和数学本质.
题9 （11年全国乙卷理科21题）已知O为坐标原点，F为椭圆C：x2+y22=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-2的直线l与C交于A、B两点，点满足OA+OB+OP=0．
（Ⅰ） 证明：点P在C上；
（Ⅱ） 设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
三、 创新
除了推陈出新外，创新更是高考试题避免猜题押题的不二选择，也是高考命题的永恒追求.比如在压轴题布局上，21题为解析几何题，22题为导数题，这一特点保持了全国卷的稳定性，具有鲜明的全国卷特色（这与一些省的压轴题，经常考查不等式的放缩证明形成了鲜明的对比）.虽然22题第1问比较常规，考查不等式的恒成立.但第二问却完全在意料之外：第18题已经用大题的形式对概率统计进行了考查，此处又再次考查了概率p的计算，并且要证明：p<910<1e2．这里涉及函数与导数、概率、不等式等知识之间的综合.这也启示我们要注意知识和方法上的综合，这是创新的一个重要源泉.