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笔者在翻阅数学资料和期刊时，发现文①中所提“问题”的解法还有多种.
因为遇到数学问题时，不仅要想到用常规方法解决，而且更为重要的是把知识迁移、等价转换到数学情境中去，减少运算量，化繁为简，达到培养思维品质之目的.
一、 再探函数f(x)=ax+b+c+dx(a≠0,d≠0,a⊥b⊥c⊥d∈R)值域的求法.
解：根据题意知，由ax+b≥0
c+dx≥0得出函数的定义域D
（1） 当ad＞0时，即当a＞0，d＞0函数f(x)在定义域D内是增函数，容易求出f(x)的最值；当a＜0，d＜0时，函数f(x)在定义域D内是减函数，易求f(x)的最值.
（2） 当ad＜0时
当a＞0，d＜0时,函数f(x)的定义域为D=x|-ba≤x≤-Cd
法一（线性规划法）：令m=ax+b0≤m≤bd-acd，n=c+dx0≤n≤ac-bda则转化为y=m+n在（m，n）满足线性条件下
0≤m≤bd-acd
0≤n≤ac-bda
m2+n2=bd-acd+ac-bda
的最优解的问题，用数形结合的知识，可以解出函数f(x)的范围:
法二（函数与方程思想方法）：对y=ax+b+c+dx移项得y-c+dx=ax+b两边平方得y2-2yc+dx+c+dx=ax+b令t=c+dx0≤t≤ac-bda∴d-adt2-2yt+ac-bdd+y2=0
Δ≥0
t1,t2∈0,ac-bda
解不等式组可得y的范围.
法三（向量数量积法）：设p=(1,1),q=(ax+b)(c+dx)
∴y=p•q|p||q|cosβ=2(a+d)x+b+ccosβ
讨论：① 当a+d=0时y=2(b+c)cosβ，由β的范围易求cosβ，从而得到y的值域.
② 当a+d≠0时，在定义城D内应用有关性质易求函数的值域.
法四（等差数列法）：将c+dx>y2>ax+b看成等差数列，设c+dx=y2-d，y2-dax+b=y2+d消x得关于d1为未知量的一元二次方程(d-a)d21+(a+d)yd1+d-a4y2-bd+ac=0
由Δ≥0可求出y的范围，从而得出y的最值
当a＜0，d＞0时 解题方法同上.
二、 方法的应用
借用文②中的第（1）题说明解法.即求（1）f(x)=x-2+3-x的值域.
法一（线性规划法）：
根据题意知函数的定义域为［2，3］
设m=2-x，n=3-x从而转化点（m，n）满足线性约束
条件0≤m≤1
0≤n≤1
m2+n2=1下目标函数y=m+n的最值问题.
如图
由图示可知
在点（0 ，1）或（1，0）处f(x)取得最小值1，在点22,22处f(x)取得最大值2，故函数的值域为［1，2］
法二（函数与方程的思想方法）：对y=x-2+3-x移项平方化简得y2-2yx-2+2x-5=0
令t=x-2，（0≤t≤1）得关于t的方程
2t2-2yt+y2-1=0.
方程存在实根须满足条件Δ≥0
0≤t1+t2≤2
0≤t1t2≤1
即-2≤y≤2
0≤y≤2
1≤y≤3或-3≤y≤-1∴1≤y≤2.
故函数的值域为［1，2］
法三（向量数量积法）：设p=(1,1),q=(x-2,3-x),x∈［2,3］，有y=p•q=|p||q|cosβ
∵|q|=1 ∴以原点为始点的向量q的终点在第一象限和x、y轴非负半轴区域运动.
∵q与p的夹角β的范围为0,π4∴22≤cosβ≤1 ，从而y∈［1,2］
法四（等差数列法）：将x-2,y2,3-x其中x∈［2,3］看成等差数列，设公差为 d，则x-2=y2-d,3-x=y2+d消去x得关于d的一元二次方程4d2+y2-2=0方程存在实根须Δ≥0即得-2≤y≤2……①
又因为y=x-2+3-x得y2≥1+2(x-2)(3-x)≥1且y>0所以y≥1……②，由①②得函数值域［1,2］
反思：此题型虽然形式简单，但可考查“双基”又可引导学生探究知识联系，把函数、导数、方程、向量、解析几何，数列等知识有效地运用.
使我们进一步深刻认识到“数学高考选拔的特点是以解题能力的高低为核心标准一次性闭卷测试来决定胜负，因此，高考复习要以解题训练为中心，并最终表现为学生解题能力的提高” ② .
应用数学公或结论解决问题固然简捷，但通过奇思妙想、寻根追源、幽谷探秘、锲而不舍探究得到的数学“花果”，才能香飘四溢，魅力永存，深植学生头脑中.
参考文献：
1. 王改珍•巧用三角函数解函数的值域问题［J］中学数学教学参考（上旬）2011年第12期
2. 罗衾、罗增儒•高考改革与陕西自主命题［J］•中学数学教学参考（上旬）•2009年第5期.
因为遇到数学问题时，不仅要想到用常规方法解决，而且更为重要的是把知识迁移、等价转换到数学情境中去，减少运算量，化繁为简，达到培养思维品质之目的.
一、 再探函数f(x)=ax+b+c+dx(a≠0,d≠0,a⊥b⊥c⊥d∈R)值域的求法.
解：根据题意知，由ax+b≥0
c+dx≥0得出函数的定义域D
（1） 当ad＞0时，即当a＞0，d＞0函数f(x)在定义域D内是增函数，容易求出f(x)的最值；当a＜0，d＜0时，函数f(x)在定义域D内是减函数，易求f(x)的最值.
（2） 当ad＜0时
当a＞0，d＜0时,函数f(x)的定义域为D=x|-ba≤x≤-Cd
法一（线性规划法）：令m=ax+b0≤m≤bd-acd，n=c+dx0≤n≤ac-bda则转化为y=m+n在（m，n）满足线性条件下
0≤m≤bd-acd
0≤n≤ac-bda
m2+n2=bd-acd+ac-bda
的最优解的问题，用数形结合的知识，可以解出函数f(x)的范围:
法二（函数与方程思想方法）：对y=ax+b+c+dx移项得y-c+dx=ax+b两边平方得y2-2yc+dx+c+dx=ax+b令t=c+dx0≤t≤ac-bda∴d-adt2-2yt+ac-bdd+y2=0
Δ≥0
t1,t2∈0,ac-bda
解不等式组可得y的范围.
法三（向量数量积法）：设p=(1,1),q=(ax+b)(c+dx)
∴y=p•q|p||q|cosβ=2(a+d)x+b+ccosβ
讨论：① 当a+d=0时y=2(b+c)cosβ，由β的范围易求cosβ，从而得到y的值域.
② 当a+d≠0时，在定义城D内应用有关性质易求函数的值域.
法四（等差数列法）：将c+dx>y2>ax+b看成等差数列，设c+dx=y2-d，y2-dax+b=y2+d消x得关于d1为未知量的一元二次方程(d-a)d21+(a+d)yd1+d-a4y2-bd+ac=0
由Δ≥0可求出y的范围，从而得出y的最值
当a＜0，d＞0时 解题方法同上.
二、 方法的应用
借用文②中的第（1）题说明解法.即求（1）f(x)=x-2+3-x的值域.
法一（线性规划法）：
根据题意知函数的定义域为［2，3］
设m=2-x，n=3-x从而转化点（m，n）满足线性约束
条件0≤m≤1
0≤n≤1
m2+n2=1下目标函数y=m+n的最值问题.
如图
由图示可知
在点（0 ，1）或（1，0）处f(x)取得最小值1，在点22,22处f(x)取得最大值2，故函数的值域为［1，2］
法二（函数与方程的思想方法）：对y=x-2+3-x移项平方化简得y2-2yx-2+2x-5=0
令t=x-2，（0≤t≤1）得关于t的方程
2t2-2yt+y2-1=0.
方程存在实根须满足条件Δ≥0
0≤t1+t2≤2
0≤t1t2≤1
即-2≤y≤2
0≤y≤2
1≤y≤3或-3≤y≤-1∴1≤y≤2.
故函数的值域为［1，2］
法三（向量数量积法）：设p=(1,1),q=(x-2,3-x),x∈［2,3］，有y=p•q=|p||q|cosβ
∵|q|=1
∵q与p的夹角β的范围为0,π4∴22≤cosβ≤1 ，从而y∈［1,2］
法四（等差数列法）：将x-2,y2,3-x其中x∈［2,3］看成等差数列，设公差为 d，则x-2=y2-d,3-x=y2+d消去x得关于d的一元二次方程4d2+y2-2=0方程存在实根须Δ≥0即得-2≤y≤2……①
又因为y=x-2+3-x得y2≥1+2(x-2)(3-x)≥1且y>0所以y≥1……②，由①②得函数值域［1,2］
反思：此题型虽然形式简单，但可考查“双基”又可引导学生探究知识联系，把函数、导数、方程、向量、解析几何，数列等知识有效地运用.
使我们进一步深刻认识到“数学高考选拔的特点是以解题能力的高低为核心标准一次性闭卷测试来决定胜负，因此，高考复习要以解题训练为中心，并最终表现为学生解题能力的提高” ② .
应用数学公或结论解决问题固然简捷，但通过奇思妙想、寻根追源、幽谷探秘、锲而不舍探究得到的数学“花果”，才能香飘四溢，魅力永存，深植学生头脑中.
参考文献：
1. 王改珍•巧用三角函数解函数的值域问题［J］中学数学教学参考（上旬）2011年第12期
2. 罗衾、罗增儒•高考改革与陕西自主命题［J］•中学数学教学参考（上旬）•2009年第5期.