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我们先回顾一下单调性的定义:一般地,设函数f(x)的定义域为A:
（1） 如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1 （2） 如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1 现找出其中的核心内容:① x1 本文就三种情形分别谈谈函数单调性定义的简单应用.
1． ①②③,即根据定义判断或证明函数的单调性
例1 确定函数f(x)=11-2x的单调性.
简解:由1-2x＞0,得x＜12.
设x1＜x2＜12,由f(x1)-f(x2)=11-2x1-11-2x2=1-2x2-1-2x11-2x1•1-2x2
=(1-2x2-1-2x1)(1-2x2+1-2x1)1-2x1•1-2x2•(1-2x2+1-2x1)=2(x1-x2)1-2x1•1-2x2•(1-2x2+1-2x1)＜0,得f(x1)＜f(x2).
∴f(x)在-∞,12上是增函数.
点评:根据定义判断或证明单调性的一般步骤:设数→作差→变形→判号→结论.关键是“变形”要到位.本例中变形运用了“分子有理化”这一运算方法.
2． ①③②,即利用单调性比较函数值大小
例2 若偶函数f(x)在［0,π］上单调递增,则f(-π),f-π2,flog214的大小关系为 .
简解:∵f(-π)=f(π),f-π2=fπ2,flog214=f(-2)=f(2),
而fπ2＜f(2)＜f(π),
∴f-π2＜flog214＜f(-π).
点评:此应用是三种应用中最简单的一种.
3． ②③①,即利用单调性“脱去”f,将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系
例3 已知定义在［-1,1］上的函数f(x)是减函数,且是奇函数,若f(a2-a-1)+f(4a-5)>0,求实数a的取值范围.
简解:易得f(a2-a-1)＞-f(4a-5)=f(5-4a)
∴-1≤a2-a-1≤1-1≤5-4a≤1a2-a-1＜5-4a,解之得,1≤a＜-3+332.
点评:（1） 要将f(a2-a-1)+f(4a-5)>0标准化为单调性定义中f(x1)＞f(x2)的形式;
（2） 不要遗忘函数的定义域要求.
例4 已知函数f(x)对任意的a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当x＞0时,f(x)＞1.（1） 求证:f(x)是R上的增函数;（2） 若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.
简解:（1） 设x1＜x2,由f(a+b)=f(a)+f(b)-1,可得
f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1
∵x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1,
∴f(x2)-f(x1)＞0,即f(x2)＞f(x1).∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
（2） 令a=b=2,∴f(2)=3.
∵f(x)在R上是增函数
∴当且仅当x=2时f(2)=3.
∴f(3m2-m-2)＜f(2)
∴3m2-m-2＜2,解之得-1＜m＜43.
点评:在将f(3m2-m-2)＜3标准化为f(x1)＜f(x2)的过程中,标注了着重号的一步不可少.为什么？因为这一步解决了函数值3对应的自变量为2的唯一性.
（1） 如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1
1． ①②③,即根据定义判断或证明函数的单调性
例1 确定函数f(x)=11-2x的单调性.
简解:由1-2x＞0,得x＜12.
设x1＜x2＜12,由f(x1)-f(x2)=11-2x1-11-2x2=1-2x2-1-2x11-2x1•1-2x2
=(1-2x2-1-2x1)(1-2x2+1-2x1)1-2x1•1-2x2•(1-2x2+1-2x1)=2(x1-x2)1-2x1•1-2x2•(1-2x2+1-2x1)＜0,得f(x1)＜f(x2).
∴f(x)在-∞,12上是增函数.
点评:根据定义判断或证明单调性的一般步骤:设数→作差→变形→判号→结论.关键是“变形”要到位.本例中变形运用了“分子有理化”这一运算方法.
2． ①③②,即利用单调性比较函数值大小
例2 若偶函数f(x)在［0,π］上单调递增,则f(-π),f-π2,flog214的大小关系为 .
简解:∵f(-π)=f(π),f-π2=fπ2,flog214=f(-2)=f(2),
而fπ2＜f(2)＜f(π),
∴f-π2＜flog214＜f(-π).
点评:此应用是三种应用中最简单的一种.
3． ②③①,即利用单调性“脱去”f,将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系
例3 已知定义在［-1,1］上的函数f(x)是减函数,且是奇函数,若f(a2-a-1)+f(4a-5)>0,求实数a的取值范围.
简解:易得f(a2-a-1)＞-f(4a-5)=f(5-4a)
∴-1≤a2-a-1≤1-1≤5-4a≤1a2-a-1＜5-4a,解之得,1≤a＜-3+332.
点评:（1） 要将f(a2-a-1)+f(4a-5)>0标准化为单调性定义中f(x1)＞f(x2)的形式;
（2） 不要遗忘函数的定义域要求.
例4 已知函数f(x)对任意的a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当x＞0时,f(x)＞1.（1） 求证:f(x)是R上的增函数;（2） 若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.
简解:（1） 设x1＜x2,由f(a+b)=f(a)+f(b)-1,可得
f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1
∵x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1,
∴f(x2)-f(x1)＞0,即f(x2)＞f(x1).∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
（2） 令a=b=2,∴f(2)=3.
∵f(x)在R上是增函数
∴当且仅当x=2时f(2)=3.
∴f(3m2-m-2)＜f(2)
∴3m2-m-2＜2,解之得-1＜m＜43.
点评:在将f(3m2-m-2)＜3标准化为f(x1)＜f(x2)的过程中,标注了着重号的一步不可少.为什么？因为这一步解决了函数值3对应的自变量为2的唯一性.