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众所周知,用导数知识求函数f(x)的最大值与最小值,可按以下的程序去处理:
1. 确定函数的定义域；2. 求出函数f(x)的导数f′(x)；3. 求出f(x)在定义域内的驻点（f′(x)=0的根称为驻点）；4. 研究在驻点左右附近的单调性得出求出函数f(x)的极值点； 5. 将极值点处的函数值与定义域闭区间端点处的函数值比较大小，得出函数的最值.（其中第4、5两个步骤可通过列表解决）
同时我们也知道，用导数求含参数的函数的最值问题一般要用分类讨论思想去解决问题，但从何处着手讨论？根据参数的什么标准进行分类？即如何寻求讨论的切入点？通过对这类题的求解，笔者进行了一些反思和总结,觉得深有裨益.为此拿来与读者分享.
例1 已知函数f(x)=ax3-6ax2+b在［-1,2］上的最大值为3，最小值为-29，求a、b的值.
分析:本题关键是求出含参数a、b的函数f(x)的最大值与最小值,但对两个参数a、b根据什么进行分类讨论呢?首先我们根据用导数求最值的一般程序将此题解下去.
解:f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令f′(x)=0,得x=0或x=4(舍去),显然无论当x∈(-1,0),还是当x∈(0,2),f(x)的单调性,即f′(x)的符号取决于a的正负号,此即为分类讨论的标准.
由题意知a≠0,当a>0时,列表如下:
x-1(-1,0)0(0，2)2
f′(x)+0-
f(x)-7a+b增函数b减函数-16a+b
通过比较f(-1)、f(0)、f(2)的大小，得
f(x)max=f(0)=b;f(x)min=f(2)=-16a+b，由条件得b=3
-16a+b=-29，
解得a=2,b=3.
当a<0时,列表如下:
x-1(-1,0)0(0,2)2
f′(x)-0+
f(x)-7a+b减函数b增函数-16a+b
通过比较f(-1)、f(0)、f(2)的大小，得
f(x)max=f(2)=-16a+b;f(x)min=f(0)=b，由条件得b=-29
-16a+b=3，
解得a=-2,b=-29.
综上,所求a、b的值为a=2,b=3,或a=-2,b=-29.
反思:本题根据用导数求最值的一般程序时,将f′(x)导数的符号（即函数的单调性）作为讨论参数a、b的切入点.
2. 本题也可通过研究函数f(x)在R上的单调性,作出f(x)在R上的草图而得解.
例2 已知a是实数，函数f(x)=x(x-a).
设g(a)为f(x)在区间［0,2］上的最小值, 写出g(a)的表达式.
分析：本题中的参数a含在解析式中，如何寻求讨论的切入点？仿前面两例, 根据用导数求最值的一般程序将此题解下去.
解：函数的定义域为［0,2］，f′（x）=x+x-a2x=3x-a2x(x>0),
令f′(x)=0,得x=a3,显然a3是否在定义域［0,2］内成为我们分类讨论的标准.
1. 若a3≤0，即a≤0，f(x)在［0,2］上单调递增，所以g(a)=f(0)=0．
2. 若0 所以g(a)=fa3=-2a3a3．
3. 若a3≥2,即a≥6，f(x)在［0,2］上单调递减，所以g(a)=f(2)=2(2-a)．
综上所述，g(a)=0,a≤0,
-2a3a3,0 2(2-a),a≥6.
反思：本题根据用导数求最值的一般程序时,将驻点x=a3和定义域区间［0,2］的关系作为讨论参数的切入点.
例3 已知函数f(x)=x4-2ax2.当x∈［0,1］时，关于x的不等式|f′(x)|>1解集为空集，
求所有满足条件的实数a的值.
解:由题设知，当x∈［0,1］时，|4x3-4ax|≤1恒成立，即|4x3-4ax|max≤1，所以必须求出函数|4x3-4ax|的最大值，但此时可转化为函数4x3-4ax的最值问题.
记F(x)=4x3-4ax,
由于F′(x)=12x2-4a=12x2-13a,令F′(x)=0,根据方程F′(x)=0的根存在与否及方程根与区间［0,1］的关系进行分层次讨论.
1. 当a≤0,F′(x)≥0,得到F(x)在区间［0,1］上是增函数,F(x)≥F(0)=0,所以|F(x)|=F(x),|F(x)|,max=F(1)=4-4a≥4,不满足条件;
2. 当a>0,因为F′(x)=12x2-4a=12x-a3x+a3,再根据a3和区间［0,1］的关系讨论,
（1） 当a3<1即0 又F(0)=0,不难想象F(x)的图像为以下两种情形：
借助于图像的翻转变换，可得对应的|F(x)|图像为以下两种情形：
于是|F(x)|max=max-Fa3,F(1)=max83aa3,4-4a，
由|F(x)|max≤1，得-Fa3=83aa3≤1 ①
F(1)≤4-4a≤1 ②
解①得：a≤34，解②得：a≥34，故a=34.
（2） 当a3≥1即a≥3时，x∈［0,1］,F′(x)≤0,F(x)在［0,1］上递减，F(x)≤F(0)=0
于是|F(x)|max=-F(1)=4a-4≥8
与题意矛盾.
综上所述：a=34.
反思：1. 本题根据用导数求最值的一般程序时,将方程F′(x)=0的根存在与否及方程根与区间［0,1］的关系分别作为讨论参数a的切入点（分层次讨论）；同时可将步骤2（1）中
-Fa3与F(1)的大小作为讨论的切入点，但此处用数形结合的思想避免了讨论.
2. 本题也可用分离参数法，避免对参数a分类讨论：
|4x3-4ax|≤1,所以-1≤4x3-4ax≤1，
x=0时显然成立；
所以只需对任意的0 而g(x)=x2-14x在(0,1］上单调递增，g(x)max=34；h(x)=x2+14x，用求导法（或均值不等式）可求得h(x)min=34，由（*）得，34≤a≤34,∴a=34.
通过以上的讨论可以看到，我们要审时度势，适时适宜地根据用导数求最大值与最小值的解题程序在必要处来确定分类讨论的切入点.说得具体些：在求驻点时f′(x)=0，的根是否存在，是否在函数的定义域内；在确定函数的单调性时，f′(x)的符号是否确定；在确定函数的极值与闭区间端点处的函数值的大小时，这些函数值的大小关系等等都是我们要考虑的切入点，但要切忌漫无目的去讨论.正所谓“火候正当处”才是“分类讨论时”.分类讨论是求解含参数问题的基本数学思想，但与此同时，简化讨论甚至避免讨论也要求我们在解题时做到警钟长鸣.
1. 确定函数的定义域；2. 求出函数f(x)的导数f′(x)；3. 求出f(x)在定义域内的驻点（f′(x)=0的根称为驻点）；4. 研究在驻点左右附近的单调性得出求出函数f(x)的极值点； 5. 将极值点处的函数值与定义域闭区间端点处的函数值比较大小，得出函数的最值.（其中第4、5两个步骤可通过列表解决）
同时我们也知道，用导数求含参数的函数的最值问题一般要用分类讨论思想去解决问题，但从何处着手讨论？根据参数的什么标准进行分类？即如何寻求讨论的切入点？通过对这类题的求解，笔者进行了一些反思和总结,觉得深有裨益.为此拿来与读者分享.
例1 已知函数f(x)=ax3-6ax2+b在［-1,2］上的最大值为3，最小值为-29，求a、b的值.
分析:本题关键是求出含参数a、b的函数f(x)的最大值与最小值,但对两个参数a、b根据什么进行分类讨论呢?首先我们根据用导数求最值的一般程序将此题解下去.
解:f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令f′(x)=0,得x=0或x=4(舍去),显然无论当x∈(-1,0),还是当x∈(0,2),f(x)的单调性,即f′(x)的符号取决于a的正负号,此即为分类讨论的标准.
由题意知a≠0,当a>0时,列表如下:
x-1(-1,0)0(0，2)2
f′(x)+0-
f(x)-7a+b增函数b减函数-16a+b
通过比较f(-1)、f(0)、f(2)的大小，得
f(x)max=f(0)=b;f(x)min=f(2)=-16a+b，由条件得b=3
-16a+b=-29，
解得a=2,b=3.
当a<0时,列表如下:
x-1(-1,0)0(0,2)2
f′(x)-0+
f(x)-7a+b减函数b增函数-16a+b
通过比较f(-1)、f(0)、f(2)的大小，得
f(x)max=f(2)=-16a+b;f(x)min=f(0)=b，由条件得b=-29
-16a+b=3，
解得a=-2,b=-29.
综上,所求a、b的值为a=2,b=3,或a=-2,b=-29.
反思:本题根据用导数求最值的一般程序时,将f′(x)导数的符号（即函数的单调性）作为讨论参数a、b的切入点.
2. 本题也可通过研究函数f(x)在R上的单调性,作出f(x)在R上的草图而得解.
例2 已知a是实数，函数f(x)=x(x-a).
设g(a)为f(x)在区间［0,2］上的最小值, 写出g(a)的表达式.
分析：本题中的参数a含在解析式中，如何寻求讨论的切入点？仿前面两例, 根据用导数求最值的一般程序将此题解下去.
解：函数的定义域为［0,2］，f′（x）=x+x-a2x=3x-a2x(x>0),
令f′(x)=0,得x=a3,显然a3是否在定义域［0,2］内成为我们分类讨论的标准.
1. 若a3≤0，即a≤0，f(x)在［0,2］上单调递增，所以g(a)=f(0)=0．
2. 若0
3. 若a3≥2,即a≥6，f(x)在［0,2］上单调递减，所以g(a)=f(2)=2(2-a)．
综上所述，g(a)=0,a≤0,
-2a3a3,0
反思：本题根据用导数求最值的一般程序时,将驻点x=a3和定义域区间［0,2］的关系作为讨论参数的切入点.
例3 已知函数f(x)=x4-2ax2.当x∈［0,1］时，关于x的不等式|f′(x)|>1解集为空集，
求所有满足条件的实数a的值.
解:由题设知，当x∈［0,1］时，|4x3-4ax|≤1恒成立，即|4x3-4ax|max≤1，所以必须求出函数|4x3-4ax|的最大值，但此时可转化为函数4x3-4ax的最值问题.
记F(x)=4x3-4ax,
由于F′(x)=12x2-4a=12x2-13a,令F′(x)=0,根据方程F′(x)=0的根存在与否及方程根与区间［0,1］的关系进行分层次讨论.
1. 当a≤0,F′(x)≥0,得到F(x)在区间［0,1］上是增函数,F(x)≥F(0)=0,所以|F(x)|=F(x),|F(x)|,max=F(1)=4-4a≥4,不满足条件;
2. 当a>0,因为F′(x)=12x2-4a=12x-a3x+a3,再根据a3和区间［0,1］的关系讨论,
（1） 当a3<1即0
借助于图像的翻转变换，可得对应的|F(x)|图像为以下两种情形：
于是|F(x)|max=max-Fa3,F(1)=max83aa3,4-4a，
由|F(x)|max≤1，得-Fa3=83aa3≤1 ①
F(1)≤4-4a≤1 ②
解①得：a≤34，解②得：a≥34，故a=34.
（2） 当a3≥1即a≥3时，x∈［0,1］,F′(x)≤0,F(x)在［0,1］上递减，F(x)≤F(0)=0
于是|F(x)|max=-F(1)=4a-4≥8
与题意矛盾.
综上所述：a=34.
反思：1. 本题根据用导数求最值的一般程序时,将方程F′(x)=0的根存在与否及方程根与区间［0,1］的关系分别作为讨论参数a的切入点（分层次讨论）；同时可将步骤2（1）中
-Fa3与F(1)的大小作为讨论的切入点，但此处用数形结合的思想避免了讨论.
2. 本题也可用分离参数法，避免对参数a分类讨论：
|4x3-4ax|≤1,所以-1≤4x3-4ax≤1，
x=0时显然成立；
所以只需对任意的0
通过以上的讨论可以看到，我们要审时度势，适时适宜地根据用导数求最大值与最小值的解题程序在必要处来确定分类讨论的切入点.说得具体些：在求驻点时f′(x)=0，的根是否存在，是否在函数的定义域内；在确定函数的单调性时，f′(x)的符号是否确定；在确定函数的极值与闭区间端点处的函数值的大小时，这些函数值的大小关系等等都是我们要考虑的切入点，但要切忌漫无目的去讨论.正所谓“火候正当处”才是“分类讨论时”.分类讨论是求解含参数问题的基本数学思想，但与此同时，简化讨论甚至避免讨论也要求我们在解题时做到警钟长鸣.