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【摘要】二次函数是初中数学的重要内容，它的图象是一条开口向上或者向下的抛物线，而初中阶段全等的图形变换有平移、轴对称、旋转.抛物线的平移、轴对称、旋转只改变图形位置,不改变其大小、形状.一般研究抛物线的平移、轴对称、旋转所引起的变化规律,可以归结为研究抛物线上点的变化情况，这个点可以是特殊的点——抛物线的顶点，与x轴的交点，与y轴的交点等等，还可以是抛物线上任意一点；也可以从解析式的形式入手，考虑顶点式、交点式的特征，当然也可以从一般式入手来解决。下面是笔者执教九年级复习专题课“抛物线变换后解析式的确定”的教学简录和粗浅的认识, “抛砖”之语，以飨同行！
【关键词】抛物线；图形变换；解析
二、 教学简录
1. 抛物线的平移
在抛物线平移变换中，不论上下还是左右平移，抛物线的大小和形状、开口方向均不变，所以二次项系数 不变.
例 将抛物线 向右平移3个单位，请写出所得抛物线的解析式.
方法1 化为顶点式，平移后的抛物线顶点是 ，而且开口方向、大小不变，所得新解析式是 .這也是目前最常用的方法.
方法2 化成交点式，平移后与x轴的交点是 和 ，所以抛物线解析式是 .这也是对抛物线上特殊点的利用.
方法3 设平移后抛物线上任意一点的坐标为 ，那么平移之前的对应点的坐标是 ，在原抛物线的上，所以代入得 ，化简得到 .这种参数法在直线平移求解析式的过程当中，如果已经渗透的话，就不难类比到抛物线的平移当中.
变式1 将抛物线 向下平移3个单位，请写出所得抛物线的解析式.
方法1 用顶点式得到平移后抛物线解析式是 .
方法2 因为平移过程中二次项系数 不变，又向下平移的时候对称轴也不变，所以一次项系数 也不变，但是抛物线与y轴的交点向下平移了3个单位，就是常数项 要减去3，得到 .
关于方法2的理解也可用参数法去阐释——设平移后抛物线上任意一点的坐标为 ，那么它平移之前的对应点的坐标是 ，代入得 .或者直接类比直线的上下平移，在x不变的情况下，y减去3，得到 ，即 .
方法3 抛物线与x轴的交点平移后的坐标为 和 ，所以抛物线解析式是 ，这也是基于抛物线对称性的一种表达方式.
2. 抛物线的轴对称
在关于x轴（y轴）对称变换中，抛物线的大小和形状不变，抛物线开口方向上(下)，所以二次项系数不变（互为相反数）.
变式2将抛物线 关于x轴对称，请写出所得抛物线的解析式.
方法1 顶点变为 ，所以解析式是 .
方法2 抛物线与x轴的交点未发生改变，开口方向相反，所以抛物线解析式为 .
方法3根据轴对称性质，在x不变的情况下，y变成原来的相反数，所以 ，得到 .此法也能用参数法解释.
方法4 抛物线关于x轴对称，开口向下，对称轴不变，所以一次项系数 也变成原来的相反数，抛物线与y轴的交点也关于x轴对称，常数项 也变成原来的相反数，因此得到解析式 .
变式3 将抛物线 关于y轴对称，请写出所得抛物线的解析式.
方法1顶点式： .
方法2与x轴的交点对称后变成 和 ，所以抛物线解析式是 .
方法3根据轴对称性质，在y不变的情况下，x变成原来的相反数，所以 ，得到 .此法也能用参数法解释.
方法4因为抛物线的对称轴关于y轴对称，所以一次项系数 变成原来的相反数，而抛物线与y轴的交点不变，常数项 不变，因此得到解析式 .
3.抛物线的旋转
在绕某个点的旋转变换中，抛物线的大小和形状不变，但抛物线的开口方向由向上变成向下，所以二次项系数 变为原来的相反数.
变式4 将抛物线 绕顶点旋转180°，请写出所得抛物线的解析式.
方法1 绕顶点旋转，顶点不变，所以解析式为 .
方法2 旋转后原来与x轴的交点变成（-1，-2）和（-3，-2），所以解析式为 ，即 .
方法3 设旋转后抛物线上任意一点的坐标为 ，那么抛物线顶点是它与旋转之前的对应点连线段的中点，则旋转之前的对应点坐标是 ，所以代入得 .
方法4 绕顶点旋转180°等价于抛物线关于直线 轴对称，可类比变式2得到.
方法5因为抛物线关于顶点旋转180°，因此对称轴不变，所以一次项系数 变成原来的相反数，而常数项 变为-5，因此得到解析式 .
变式5 将抛物线 绕坐标原点旋转180°，请写出所得抛物线的解析式.
方法1 顶点式： .
方法2旋转后原来与x轴的交点变成（3，0），和（1，0），所以解析式为 .
方法3 设旋转后抛物线上任意一点的坐标为 ，那么抛物线旋转之前的对应点坐标是 ，所以代入得 ，化简为 .
方法4 旋转后开口方向改变，二次项系数 变成原来的相反数，对称轴关于y轴对称，反而一次项系数 不变，与y轴的交点也关于y轴对称，所以常数项 变成原来的相反数，得到 .
4.小结
从顶点式考虑我们总结出以上的规律，当然在前面的例题和变式中同样蕴含着一般解法——参数法，以及特殊解法.
5.练习体验
抛物线 可由抛物线 向平移个单位得到.
将抛物线,则变换后的抛物线经过原点.
6.应用拓展
将抛物线y=x2向下平移若干个单位，平移后交x轴于A、B两点，交y轴于点C,若△ABC是等边三角形.求出平移后的抛物线的解析式.
三、教学后记
苏联数学教育家弗利得曼指出：数学教学的目的，是要使每个学生科学地、正确地了解数学反映自然、社会和生活中数量关系和空间形式的最简单的法则的特点，并对这些知识的历史来源和发展有清楚的认识，要清楚地懂得数学中采用的科学研究和证明的基本方法的实质，解决这些问题.当抛物线“遇上”图形的变换，“平移、旋转、轴对称”，用运动变化的眼光看待图形变换中变与不变的关系，理解图形变换中的不变的本质，探究和归纳抛物线图形的变换规律。是在平面直角坐标系中，用坐标表示平移、轴对称、旋转变换，体现从数的角度刻画平移、轴对称、旋转，以及点的坐标的变化引起图形的变换，把“形”和“数”紧密结合在一起，把坐标思想和图形变换思想联系起来。
【关键词】抛物线；图形变换；解析
二、 教学简录
1. 抛物线的平移
在抛物线平移变换中，不论上下还是左右平移，抛物线的大小和形状、开口方向均不变，所以二次项系数 不变.
例 将抛物线 向右平移3个单位，请写出所得抛物线的解析式.
方法1 化为顶点式，平移后的抛物线顶点是 ，而且开口方向、大小不变，所得新解析式是 .這也是目前最常用的方法.
方法2 化成交点式，平移后与x轴的交点是 和 ，所以抛物线解析式是 .这也是对抛物线上特殊点的利用.
方法3 设平移后抛物线上任意一点的坐标为 ，那么平移之前的对应点的坐标是 ，在原抛物线的上，所以代入得 ，化简得到 .这种参数法在直线平移求解析式的过程当中，如果已经渗透的话，就不难类比到抛物线的平移当中.
变式1 将抛物线 向下平移3个单位，请写出所得抛物线的解析式.
方法1 用顶点式得到平移后抛物线解析式是 .
方法2 因为平移过程中二次项系数 不变，又向下平移的时候对称轴也不变，所以一次项系数 也不变，但是抛物线与y轴的交点向下平移了3个单位，就是常数项 要减去3，得到 .
关于方法2的理解也可用参数法去阐释——设平移后抛物线上任意一点的坐标为 ，那么它平移之前的对应点的坐标是 ，代入得 .或者直接类比直线的上下平移，在x不变的情况下，y减去3，得到 ，即 .
方法3 抛物线与x轴的交点平移后的坐标为 和 ，所以抛物线解析式是 ，这也是基于抛物线对称性的一种表达方式.
2. 抛物线的轴对称
在关于x轴（y轴）对称变换中，抛物线的大小和形状不变，抛物线开口方向上(下)，所以二次项系数不变（互为相反数）.
变式2将抛物线 关于x轴对称，请写出所得抛物线的解析式.
方法1 顶点变为 ，所以解析式是 .
方法2 抛物线与x轴的交点未发生改变，开口方向相反，所以抛物线解析式为 .
方法3根据轴对称性质，在x不变的情况下，y变成原来的相反数，所以 ，得到 .此法也能用参数法解释.
方法4 抛物线关于x轴对称，开口向下，对称轴不变，所以一次项系数 也变成原来的相反数，抛物线与y轴的交点也关于x轴对称，常数项 也变成原来的相反数，因此得到解析式 .
变式3 将抛物线 关于y轴对称，请写出所得抛物线的解析式.
方法1顶点式： .
方法2与x轴的交点对称后变成 和 ，所以抛物线解析式是 .
方法3根据轴对称性质，在y不变的情况下，x变成原来的相反数，所以 ，得到 .此法也能用参数法解释.
方法4因为抛物线的对称轴关于y轴对称，所以一次项系数 变成原来的相反数，而抛物线与y轴的交点不变，常数项 不变，因此得到解析式 .
3.抛物线的旋转
在绕某个点的旋转变换中，抛物线的大小和形状不变，但抛物线的开口方向由向上变成向下，所以二次项系数 变为原来的相反数.
变式4 将抛物线 绕顶点旋转180°，请写出所得抛物线的解析式.
方法1 绕顶点旋转，顶点不变，所以解析式为 .
方法2 旋转后原来与x轴的交点变成（-1，-2）和（-3，-2），所以解析式为 ，即 .
方法3 设旋转后抛物线上任意一点的坐标为 ，那么抛物线顶点是它与旋转之前的对应点连线段的中点，则旋转之前的对应点坐标是 ，所以代入得 .
方法4 绕顶点旋转180°等价于抛物线关于直线 轴对称，可类比变式2得到.
方法5因为抛物线关于顶点旋转180°，因此对称轴不变，所以一次项系数 变成原来的相反数，而常数项 变为-5，因此得到解析式 .
变式5 将抛物线 绕坐标原点旋转180°，请写出所得抛物线的解析式.
方法1 顶点式： .
方法2旋转后原来与x轴的交点变成（3，0），和（1，0），所以解析式为 .
方法3 设旋转后抛物线上任意一点的坐标为 ，那么抛物线旋转之前的对应点坐标是 ，所以代入得 ，化简为 .
方法4 旋转后开口方向改变，二次项系数 变成原来的相反数，对称轴关于y轴对称，反而一次项系数 不变，与y轴的交点也关于y轴对称，所以常数项 变成原来的相反数，得到 .
4.小结
从顶点式考虑我们总结出以上的规律，当然在前面的例题和变式中同样蕴含着一般解法——参数法，以及特殊解法.
5.练习体验
抛物线 可由抛物线 向平移个单位得到.
将抛物线,则变换后的抛物线经过原点.
6.应用拓展
将抛物线y=x2向下平移若干个单位，平移后交x轴于A、B两点，交y轴于点C,若△ABC是等边三角形.求出平移后的抛物线的解析式.
三、教学后记
苏联数学教育家弗利得曼指出：数学教学的目的，是要使每个学生科学地、正确地了解数学反映自然、社会和生活中数量关系和空间形式的最简单的法则的特点，并对这些知识的历史来源和发展有清楚的认识，要清楚地懂得数学中采用的科学研究和证明的基本方法的实质，解决这些问题.当抛物线“遇上”图形的变换，“平移、旋转、轴对称”，用运动变化的眼光看待图形变换中变与不变的关系，理解图形变换中的不变的本质，探究和归纳抛物线图形的变换规律。是在平面直角坐标系中，用坐标表示平移、轴对称、旋转变换，体现从数的角度刻画平移、轴对称、旋转，以及点的坐标的变化引起图形的变换，把“形”和“数”紧密结合在一起，把坐标思想和图形变换思想联系起来。