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【摘要】数学概念的知识结构是数学概念体系中各知识点间一种比较稳定的联系形式。在概念教学中，教师要着眼于整体知识结构的建构，把握概念生长的脉络。根据知识点之间的内在联系和学生的实际认知水平，在合适的时机进行适度开放，可使学生触类旁通地理解概念，从而呈现出一个自然生长的状态。
【关键词】数学概念;知识结构;用字母表示数;开放;生长
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1005-6009（2015）21-0011-02
【作者简介】范艳华，江苏省无锡市锡山区教育局教研室（江苏无锡，214101），一级教师，无锡市数学学科带头人。
一、课前思考：着眼于整体知识结构，把握概念生长的脉络
“用字母表示数”是学生在代数领域学习的起点。我们应该着眼于这一概念专题的整体知识结构，让学生能对这一概念专题有一个贯通性的理解。
1.“用字母表示数”中的“数”的内涵理解。
在小学数学教学中，教师常常把用字母表示的“数”分为“特定的数”与“变化的数”，如扑克牌中的字母J、K、A等都表示特定的数，而例题中“摆一个三角形用3根小棒，摆a个三角形用3a根小棒”，这里的a就表示一个变化的数。这样的教学其实是粗糙的，在学生头脑中形成的认知也是模糊的。
首先，扑克牌中的字母属于生活数学，和代数中的字母有一定的区别。其次，如果只说用字母表示变化的数，只说明了其一，这里的“变”与“定”是辩证统一的，随着自变量的确定，应变量的值也就确定了。另一方面，自变量的“变”也是在一定取值范围内的变化，并不是广泛意义上的“变”。
在代数领域，用字母表示的“数”的内涵可以理解为在函数领域的“变量”、不等式领域里在一定范围内的未知量和方程领域里确定的未知量。
2.“用字母表示数”在中小衔接中的整体贯通。
学习了“用字母表示数”之后，就小学阶段而言，将会学习方程的意义以及方程的初步应用，初中阶段则会进一步学习方程、不等式、函数等相关知识，这些知识的学习都将以此概念为基础。
二、课中新探：切准合适的开放点，拓宽概念生长的视野
小学阶段对于“用字母表示数”这一概念教学的知识技能目标主要是：让学生理解并学会用字母表示数，能用含有字母的式子表示数量关系或计算公式;会用数代替字母求出含有字母的式子的值。
除此以外，在这一概念的教学中，还可以在一些适当的点上进行合理的开放，做到渗透、贯通而不越位，让学生的思维自然而然向更高层次生长。现以苏教版五上《用字母表示数》第二课时为例谈几点思考和尝试。
1.正反求值，开放理解“变量”与“定量”的关系。
对于代入求值，如果仅仅通过代入几个零散的数，学生对“变”与“定”的关系是没有深刻的理解的。因此，在教学中涉及代入求值时，可以以此作为一个开放点，让学生比较深刻地体会“变量”与“定量”的关系。
师：我们已经知道在3 2a这个式子中，a表示增加的三角形的个数，3 2a表示对应的共需小棒的根数，只要确定了a的值，也就知道3 2a的值了。反过来，如果知道了3 2a的值，也就知道a的值了，大家来试着填一填。
上述教学中，通过一组顺向思维的代入求值，让学生深刻地感受到：在3 2a这个式子中，只要a的值确定了，这个式子的值也就随之确定了;a的取值不同，这个式子的值也就不同，并且3 2a这个式子所反映的数量间的关系总是不变的。反过来，通过逆向思维，已知式子的值求这个字母的值，让学生进一步强烈地感受其中蕴含的自变量和应变量之间的一一对应关系。同时，在逆向求值的过程中，其实已经蕴含了方程的思想。
2.一式联想，开放理解数量关系结构。
教学这一概念时，教师往往会让学生根据所提供的数学信息用含有字母的式子表示相关的数量关系，而对于在不同的数学情境中一个含有字母的式子可以表示符合相同结构的一系列不同的数量关系很少涉及。在教学中，可以作如下尝试：
教师出示1200-3x，让学生根据已知信息将问题补充完整，并具体说说这个式子在题目中的含义。
（1）一冷水壶中有1200毫升果汁，已经倒满了3杯， ？
（2）甲、乙两地相距1200千米，一列火车从甲地开往乙地， ？
（3）商店运进1200千克西瓜， ？
…………
“1200-3x”在不同的情境中可以表示不同的含义，在同一情境中也可以表示不同的含义。但是在这些不同中始终蕴含着一个相同的本质：数量关系结构是相同的。在这一过程中，学生经历了“同→不同→同”的思维过程，从而贯通地理解了式子的数学本质。
3.提前渗透，开放理解取值范围。
对于含有字母的式子的取值范围，在小学阶段，只是让学生初步了解这里字母的取值是有一定范围的，对此，学生常常处于似懂非懂的状态。综观知识的生长脉络，这一知识实际上和不等式有着直接的联系。因此，与其讲得模糊不清，不如在适当的时候用适当的方法渗透，让学生早一点想通。
根据“一冷水壶中有1200毫升橙汁，已经倒满了3杯，每杯x毫升，还剩多少毫升？”讨论1200-3x的取值范围。
生1：可以是任意数。
生2：不对，总共只有1200毫升橙汁，如果取任意数的话有可能会超出1200毫升。
师：也就是说式子1200-3x的值在这里一定大于或者等于0，对吗？
生：对的。
师：那么这时候，x的范围应该是怎样的呢？讨论一下。
学生通过讨论得出：x小于或等于400（根据学生的情况也可以引入“≤”这个数学符号）。
原本一个教师想讲又不敢深涉的点，其实对于学生而言并没有那么深奥难懂，与其遮遮掩掩，不如将其点透。通过这样一个取值范围的讨论，实际上学生已经自然而然地接触到了更高的数学思想——不等式的思想。而且学生已经在进行分类讨论了，在这里，尽管学生还不知道这就是不等式中的字母取值讨论，但是他们已经到达了下一个知识的生长节点。
三、课后悟得：概念教学，没有不可超越的绝对界限
数学概念的知识结构，是数学概念体系中各知识点间一种比较稳定的联系形式，不是各部分的简单组合，受其内在规律的支配。因此，在数学概念教学中，没有绝对的界限，不能将数学概念的知识点进行人为的绝对分割，而应根据知识的内在联系和学生的实际认知水平在合适的时机进行适度开放。上述几个教学片段中，都是在适度开放中将学生的思维延伸到了下一个知识的生长节点，在这样的学习过程中，学生对概念的理解不再是单向封闭的，而处于一种贯通性理解的状态。在以后的概念学习中，学生将会进行触类旁通的联想与衔接，从而呈现出一个自然生长的状态。
【关键词】数学概念;知识结构;用字母表示数;开放;生长
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1005-6009（2015）21-0011-02
【作者简介】范艳华，江苏省无锡市锡山区教育局教研室（江苏无锡，214101），一级教师，无锡市数学学科带头人。
一、课前思考：着眼于整体知识结构，把握概念生长的脉络
“用字母表示数”是学生在代数领域学习的起点。我们应该着眼于这一概念专题的整体知识结构，让学生能对这一概念专题有一个贯通性的理解。
1.“用字母表示数”中的“数”的内涵理解。
在小学数学教学中，教师常常把用字母表示的“数”分为“特定的数”与“变化的数”，如扑克牌中的字母J、K、A等都表示特定的数，而例题中“摆一个三角形用3根小棒，摆a个三角形用3a根小棒”，这里的a就表示一个变化的数。这样的教学其实是粗糙的，在学生头脑中形成的认知也是模糊的。
首先，扑克牌中的字母属于生活数学，和代数中的字母有一定的区别。其次，如果只说用字母表示变化的数，只说明了其一，这里的“变”与“定”是辩证统一的，随着自变量的确定，应变量的值也就确定了。另一方面，自变量的“变”也是在一定取值范围内的变化，并不是广泛意义上的“变”。
在代数领域，用字母表示的“数”的内涵可以理解为在函数领域的“变量”、不等式领域里在一定范围内的未知量和方程领域里确定的未知量。
2.“用字母表示数”在中小衔接中的整体贯通。
学习了“用字母表示数”之后，就小学阶段而言，将会学习方程的意义以及方程的初步应用，初中阶段则会进一步学习方程、不等式、函数等相关知识，这些知识的学习都将以此概念为基础。
二、课中新探：切准合适的开放点，拓宽概念生长的视野
小学阶段对于“用字母表示数”这一概念教学的知识技能目标主要是：让学生理解并学会用字母表示数，能用含有字母的式子表示数量关系或计算公式;会用数代替字母求出含有字母的式子的值。
除此以外，在这一概念的教学中，还可以在一些适当的点上进行合理的开放，做到渗透、贯通而不越位，让学生的思维自然而然向更高层次生长。现以苏教版五上《用字母表示数》第二课时为例谈几点思考和尝试。
1.正反求值，开放理解“变量”与“定量”的关系。
对于代入求值，如果仅仅通过代入几个零散的数，学生对“变”与“定”的关系是没有深刻的理解的。因此，在教学中涉及代入求值时，可以以此作为一个开放点，让学生比较深刻地体会“变量”与“定量”的关系。
师：我们已经知道在3 2a这个式子中，a表示增加的三角形的个数，3 2a表示对应的共需小棒的根数，只要确定了a的值，也就知道3 2a的值了。反过来，如果知道了3 2a的值，也就知道a的值了，大家来试着填一填。
上述教学中，通过一组顺向思维的代入求值，让学生深刻地感受到：在3 2a这个式子中，只要a的值确定了，这个式子的值也就随之确定了;a的取值不同，这个式子的值也就不同，并且3 2a这个式子所反映的数量间的关系总是不变的。反过来，通过逆向思维，已知式子的值求这个字母的值，让学生进一步强烈地感受其中蕴含的自变量和应变量之间的一一对应关系。同时，在逆向求值的过程中，其实已经蕴含了方程的思想。
2.一式联想，开放理解数量关系结构。
教学这一概念时，教师往往会让学生根据所提供的数学信息用含有字母的式子表示相关的数量关系，而对于在不同的数学情境中一个含有字母的式子可以表示符合相同结构的一系列不同的数量关系很少涉及。在教学中，可以作如下尝试：
教师出示1200-3x，让学生根据已知信息将问题补充完整，并具体说说这个式子在题目中的含义。
（1）一冷水壶中有1200毫升果汁，已经倒满了3杯， ？
（2）甲、乙两地相距1200千米，一列火车从甲地开往乙地， ？
（3）商店运进1200千克西瓜， ？
…………
“1200-3x”在不同的情境中可以表示不同的含义，在同一情境中也可以表示不同的含义。但是在这些不同中始终蕴含着一个相同的本质：数量关系结构是相同的。在这一过程中，学生经历了“同→不同→同”的思维过程，从而贯通地理解了式子的数学本质。
3.提前渗透，开放理解取值范围。
对于含有字母的式子的取值范围，在小学阶段，只是让学生初步了解这里字母的取值是有一定范围的，对此，学生常常处于似懂非懂的状态。综观知识的生长脉络，这一知识实际上和不等式有着直接的联系。因此，与其讲得模糊不清，不如在适当的时候用适当的方法渗透，让学生早一点想通。
根据“一冷水壶中有1200毫升橙汁，已经倒满了3杯，每杯x毫升，还剩多少毫升？”讨论1200-3x的取值范围。
生1：可以是任意数。
生2：不对，总共只有1200毫升橙汁，如果取任意数的话有可能会超出1200毫升。
师：也就是说式子1200-3x的值在这里一定大于或者等于0，对吗？
生：对的。
师：那么这时候，x的范围应该是怎样的呢？讨论一下。
学生通过讨论得出：x小于或等于400（根据学生的情况也可以引入“≤”这个数学符号）。
原本一个教师想讲又不敢深涉的点，其实对于学生而言并没有那么深奥难懂，与其遮遮掩掩，不如将其点透。通过这样一个取值范围的讨论，实际上学生已经自然而然地接触到了更高的数学思想——不等式的思想。而且学生已经在进行分类讨论了，在这里，尽管学生还不知道这就是不等式中的字母取值讨论，但是他们已经到达了下一个知识的生长节点。
三、课后悟得：概念教学，没有不可超越的绝对界限
数学概念的知识结构，是数学概念体系中各知识点间一种比较稳定的联系形式，不是各部分的简单组合，受其内在规律的支配。因此，在数学概念教学中，没有绝对的界限，不能将数学概念的知识点进行人为的绝对分割，而应根据知识的内在联系和学生的实际认知水平在合适的时机进行适度开放。上述几个教学片段中，都是在适度开放中将学生的思维延伸到了下一个知识的生长节点，在这样的学习过程中，学生对概念的理解不再是单向封闭的，而处于一种贯通性理解的状态。在以后的概念学习中，学生将会进行触类旁通的联想与衔接，从而呈现出一个自然生长的状态。