有关圆锥曲线的中点弦问题

• 作 者: 黄燕英
• 出 处: 中国基础教育研究
• 发表日期: 2014年5期

　　与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。中点弦问题是高中解析几何模块中的一类重要题型，也是高考的一个热点问题之一。身为高中数学教师，研究好其解法及常见类型很有必要。
　　1.中点弦问题的主要解法
　　解法一：解方程组法
　　例1过点A(2,1)的直线与椭圆x216+y29=1相交于P,Q两点，若点A恰好是线段PQ的中点，求直线PQ的方程。
　　解：设P（x1,y1 ）, Q( x2,y2),
　　设直线PQ的斜率为k,则直线PQ的方程为：y-1 = k(x-2) ,
　　解方程组y=k(x－2)+1
　　x216+y29=1 ，将直线方程代入椭圆方程，消去y并整理得
　　（16k2+9）x2+(-64 k2+32k)x+(64k2-64k-128)=0
　　因为直线与椭圆有两个交点，所以△＞0，由根与系数的关系，有
　　x1+x2=64k2－32k16k2+9， ∵点A恰好是线段PQ的中点，
　　由中点坐标公式，有x1+x22=2
　　∴64k2－32k16k2+9=4
　　解之得，k=-98,将k=-98代入直线方程y-1 = k(x-2)得所求直线方程为
　　9x+ 8y-26=0
　　解法二：点差法
　　例2过点A(2,1)的直线与椭圆x216+y29=1相交于P,Q两点，若点A恰好是线段PQ的中点，求直线PQ的方程。
　　解：设P（x1, y1）, Q(x2,y2),因为直线PQ与椭圆x216+y29=1相交于P,Q两点，所以P,Q两点在椭圆上，所以有x21 16 + y21 9=1
　　x22 16 + y22 9=1
　　
　　两式相减得：
　　(x1－x2)(x1+x2)16+(y1－y2)(y1+y2)9=0
　　∴(x1－x2)(x1+x2)16=-(y1－y2)(y1+y2)9
　　∴ y2－y1x2－x1=－9(x1+x2)16(y1+y2)
　　又 ∵k =y2－y1x2－x1, x1+x22=2,y1+y22=1
　　∴k=-98
　　由点斜式，得直线PQ的方程为：y-1=-98(x-2)即9x+8y-26=0
　　解法三：中点转移法
　　例3过点A(2,1)的直线与椭圆x216+y29=1相交于P,Q两点，若点A恰好是线段PQ的中点，求直线PQ的方程。
　　解：设P（x,y），∵A(2,1)点是线段PQ的中点，∴由中点坐标公式可得Q（4-x,2-y）,
　　由题意可知，P,Q两点在椭圆上，将P,Q两点坐标代入椭圆方程，得x216+y29=1
　　(4－x)216+(2－y)29=1
　　两式相减并整理得：9x+8y-26=0
　　∵过P,Q两点的直线只有一条，
　　∴直线PQ方程为9x+ 8y-26=0
　　2.常见的中点弦问题的类型
　　2.1求中点弦所在直线方程问题
　　例1过点A(2,1)的直线与椭圆x216+y29=1相交于P,Q两点，若点A恰好是线段PQ的中点，求直线PQ的方程。
　　解：设P（x1, y1）, Q( x2, y2), 因为直线PQ与椭圆x216+y29=1相交于P,Q两点，所以P,Q两点在椭圆上，所以有x21 16 + y21 9 = 1
　　x22 16 + y22 9 = 1
　　两式相减得：
　　(x1－x2)(x1+x2)16 + (y1－y2)(y1+y2)9 = 0
　　∴(x1－x2)(x1+x2)16 = - (y1－y2)(y1+y2)9
　　∴ y2－y1x2－x1 = －9(x1+x2)16(y1+y2)
　　 又 ∵k=y2－y1x2－x1 , x1+x22=2, y1+y22=1
　　∴k=-98
　　由点斜式，得直线PQ的方程为：y-1 =-98(x-2) 即9x+8y-26=0
　　2.2求圆锥曲线的方程问题
　　例2已知双曲线中心在坐标原点，且一个焦点为F（7 ，0），直线y=x — 1与其相交M,N两点，MN中点的横坐标为 -23，则此双曲线的方程是()
　　A . x23－y24=1B.x24－y23=1
　　C.x25－y22=1D.x22－y25=1
　　解：由题意，设双曲线的方程为x2a2－y2b2=1，由已知线段MN的中点的横坐标x0 = -23, 可得中点纵坐标y0 =x0 -1=-53,
　　设M（x1 ,y1）,N( x2,y2 ),则有x21 a2-y21 b2 = 1
　　x22 a2-y22 b2 = 1
　　两式相减得：
　　(x1－x2)(x1+x2)a2 - (y1－y2)(y1+y2)b2 = 0
　　∴(x1－x2)(x1+x2)a2=(y1－y2)(y1+y2)b2
　　∴b2a2=(y1－y2)(y1+y2)(x1－x2)(x1+x2)，
　　又1 =y2－y1x2－x1，x1+x22=－23, y1+y22= -53
　　∴b2a2 = 52，故选D.
　　2.3求弦中点的坐标问题
　　例3求直线y = x-1被抛物线y2=4x截得的弦的中点坐标。
　　解：设直线y=x-1与抛物线y2=4x相交于M （x1,y1）,N( x2,y2),其中点为P(x0，y0)，解方程组y=x－1
　　y2=4x
　　消y整理得x2-6x + 1 = 0 ,由跟与系数的关系有x1+ x2=6,
　　又由中点坐标公式，有x0=x1+x22=3，
　　∴y0=x0-1=2
　　∴所求中点坐标为P(3，2)
　　2.4求弦中点的轨迹方程问题
　　例4已知抛物线y2=2x，过点M（2,1）做一条直线交抛物线于A,B两点，试求弦AB的中点P的轨迹方程.
　　解：设P(x，y)，A （x1,y1）,B( x2,y2),
　　把A,B两点的坐标分别代入抛物线方程，得：y21=2x1，y22=2x2，两式相减得：
　　（y1+y2）（y1-y2）=2（x1-x2）
　　当x1≠x2时，y2－y1x2－x1=2y1+y2，
　　又y2－y1x2－x1=y－1x－2，y1+y22=y
　　∴y－1x－2=22y,整理得
　　(y－12)2=x－74
　　当x1=x2时，AB与抛物线的对称轴垂直，此时其中点为（2，0）也满足上式。
　　∴所求的轨迹方程为(y－12)2=x－74
　　点评：中点弦问题求解的关键是，充分利用好“中点”这一条件，善于把斜率和中点联系起来，要会灵活运用中点坐标公式和一元二次方程根与系数的关系。