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考点一 向量的概念、向量的基本定理
【例 1 】 如图所示,△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM的值．
点拨 本题考查平面向量的基本定理,向量OC 用向量OA 与向量OB 作为基底表示出来后,求相应的系数,也考查了平行四边形法则。
变式 在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,且AC =λAE +μAF ,其中λ,μ∈ R ,则λ+μ= .
解析 设BC = b 、BA = a ，
则AF = 1 2 b - a ,AE = b - 1 2 a ,AC = b - a ,
代入条件得λ=μ= 2 3 ,∴λ+μ= 4 3 .
点拨 对于高考中向量的线性表示问题,解决此类问题的通解通法为：在平面中选定一组基底,所求向量均用基底来表示,最后通过比较系数可得到答案。(即利用如果 e 1和 e 2是同一平面内的两个 不共线 向量,那么对该平面内的任一向量 a 有且只有一对实数λ1、λ2,使 a =λ1 e 1+λ2 e 2。注意：若 e 1和 e 2是同一平面内的两个 不共线 向量)
答案 5 2
点拨 此题主要考查了平面向量数量积的定义运算,所求向量均转化为已知向量,即向量运算的基底化。
方法技巧 对于高考中向量数量积的计算问题,解决此类问题的通解通法为：(1) 在平面中选定一组基底,所求向量均用基底来表示,即基底化；(2) 在平面中建立直角坐标系,将所有向量坐标化。一般情况下能坐标化尽量坐标化。
考点三 向量综合应用
【例 5 】 已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那么PA •PB 的最小值为 .
【例 1 】 如图所示,△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM的值．
点拨 本题考查平面向量的基本定理,向量OC 用向量OA 与向量OB 作为基底表示出来后,求相应的系数,也考查了平行四边形法则。
变式 在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,且AC =λAE +μAF ,其中λ,μ∈ R ,则λ+μ= .
解析 设BC = b 、BA = a ，
则AF = 1 2 b - a ,AE = b - 1 2 a ,AC = b - a ,
代入条件得λ=μ= 2 3 ,∴λ+μ= 4 3 .
点拨 对于高考中向量的线性表示问题,解决此类问题的通解通法为：在平面中选定一组基底,所求向量均用基底来表示,最后通过比较系数可得到答案。(即利用如果 e 1和 e 2是同一平面内的两个 不共线 向量,那么对该平面内的任一向量 a 有且只有一对实数λ1、λ2,使 a =λ1 e 1+λ2 e 2。注意：若 e 1和 e 2是同一平面内的两个 不共线 向量)
答案 5 2
点拨 此题主要考查了平面向量数量积的定义运算,所求向量均转化为已知向量,即向量运算的基底化。
方法技巧 对于高考中向量数量积的计算问题,解决此类问题的通解通法为：(1) 在平面中选定一组基底,所求向量均用基底来表示,即基底化；(2) 在平面中建立直角坐标系,将所有向量坐标化。一般情况下能坐标化尽量坐标化。
考点三 向量综合应用
【例 5 】 已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那么PA •PB 的最小值为 .