关注数列项的重组问题

• 作 者: 熊如佐
• 出 处: 高考进行时·高三数学
• 发表日期: 2011年11期

　　从数列中抽出部分项或插入一些项或原有项重新排列组成一个新的数列,称为数列项的重组.解决该类问题,需在掌握等差数列与等比数列基础知识的前提下,理清原数列与新数列间的内在联系.才能顺利解决问题.下面举例说明。 
　　
　　 一、 关注数列原有项的重组 
　　
　　 【例 1】 一个数列中的数均为奇数时,称之为“奇数数列”. 我们给定以下法则来构造一个奇数数列｛an｝,对于任意正整数n,当n为奇数时,an=n；当n为偶数时,an=a n 2 .求该数列的前2n项的和Tn．
　　 分析 由题可知数列｛an｝所有奇数项和其序号相等, 当n为偶数时,an=a n 2 。故把数列｛an｝的所有项重组,分成两个数列再求和。 
　　
　　点拨 该问题头绪比较多,关系比较复杂,看起来有一定的难度,解决问题的关键是：利用条件把数列为奇偶项分开重组,从而建起内部联系的纽带。最后用累加法求得。 
　　
　　 锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——《荀子•劝学》
　　 二、 关注插入一些项后的重组 
　　
　　 【例 2 】 已知数列{bn}的通项公式为bn=n.在bk和bk+1(k∈ N *)之间插入3k-1个3得到一个新数列{dn},问是否存在这样的正整数m,使得数列{dn}的前m项和Sm=2 008,如果存在求出m的值,如果不存在请说明理由？
　　 分析 插入新项后得到的数列前面部分是等差数列,最后一项为k,新数列的后部分为等比数列,首项为3,末项为3k-1。注意数列的项数不能搞错。 
　　 解 数列{dn}中,bk(含bk项)前的所有项的和是
　　(1+2+…+k)+(31+32+…+3k-1)= k k+1 2 + 3k-3 2 ，
　　估算知,当k=7时,其和是28+ 37-3 2 =1 120<2 008,当k=8时,其和是36+ 38-3 2 =3 315>2 008,又∵2 008-1 120=888=296×3,是3的倍数,
　　故存在这样的m,使得Sm=2 008,此时m=7+(1+3+32+…+35)+296=667.
　　 点拨 插入项后组成新数列,对新数列项的构成要作具体分析。具体做法仍然是化归为用基本量解决问题。本题在具体计算的过程中用到估算思想,这一点望同学们给予关注。 
　　
　　 三、 关注抽出一些项后的重组 
　　
　　 【例 3】 在公差不为零的等差数列{an}中,a5=7,且三个数a1,a4,a3依次成等比数列．抽出数列{an}的第1,2,22,…,2n项重新构成新数列{bn},求数列{bn}的前n项和Sn．
　　 分析 注意到数列{an}中2n项是数列{bn}的第n项。不难求出数列{bn}的通项公式,进而求出数列{bn}的前n项和Sn。 
　　 解 (1) 设数列{an}的公差为d,由数a1,a4,a3构造成的等比数列的公比为q．