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数列就是函数,本质的共性决定其思想与方法的承继;数列的定义域是自然数集或其子集,一般中的特殊又必然使得数列问题有异于函数的思路,深刻反思数列定义的内涵,从不同的角度理解数列是灵活解决问题的关键。
数列的通项公式及求和公式都是关于n的函数,特别地,d≠0时等差数列an是一次函数,Sn是二次函数。如果能够作出数列对应的函数图象,或者可以通过运算、类比、证明等明确相关函数的性质,运用这些性质是解决数列问题的首选方法。
【例 1 】 数列 n+a 2n-17 中的第８项最大而第９项最小,求常数a的取值范围．
分析 an=f(n)对应函数f(x)= x+a 2x-17 (x>0)图象上的散点是本题关键。
解 an= n+a 2n-17 = 1 2 1+ a+ 17 2 n- 17 2 ，
由y= 1 2 a+ 17 2 n 按 m = 17 2 , 1 2 平移得到,
根据图象只能a+ 17 2 <0,∴a∈ -∞,- 17 2 .
【例 2 】 等差数列｛an｝前n项和Sn,公差d<0,若Sm=am(常数m>3),则n>m时,判断Sn与an 大小关系(m为常数)．
解析 本题隐含条件是S1＝a1,故g(n)=Sn－an的两个零点为１和m,又g(n)为二次函数. 由d<0,其开口向下,∴n>m时,g(n)<0,Sn<an.
点拨 等差数列an=a1+(n-1)d可简记为an=dn+b,同样Sn=na1+ n(n-1)d 2 可简记为Sn= d 2 n2+Bn(注意无常数项)。这种对形式结构的透彻理解不仅可简化填空题的推证过程。对多字母运算题型尤其简便。
综上所述,仅存在an=n+1为“封闭数列”．
点拨 对任何数列,首项是重要的基本量；步骤①②③运用了归纳思想(这是教材起始内容着力渗透的数学思想)：当a1增大时,Sn增大,Tn相应减小.此外,②中Tn=g(n)作为函数对n递增,也可用Tn+1-Tn>0说明{Tn}递增,这是本题关键。
2 . 从数列的特殊性探究解决数列问题的方法
数列的特殊性表现在“自变量n从小到大依次取值”即数列是有序的,因而对同一数列,相邻项关系反映数列的特征(等差等比数列的定义都是基于这一指导思想),对不同数列,比较对应项是常用的方法。
数列的通项公式及求和公式都是关于n的函数,特别地,d≠0时等差数列an是一次函数,Sn是二次函数。如果能够作出数列对应的函数图象,或者可以通过运算、类比、证明等明确相关函数的性质,运用这些性质是解决数列问题的首选方法。
【例 1 】 数列 n+a 2n-17 中的第８项最大而第９项最小,求常数a的取值范围．
分析 an=f(n)对应函数f(x)= x+a 2x-17 (x>0)图象上的散点是本题关键。
解 an= n+a 2n-17 = 1 2 1+ a+ 17 2 n- 17 2 ，
由y= 1 2 a+ 17 2 n 按 m = 17 2 , 1 2 平移得到,
根据图象只能a+ 17 2 <0,∴a∈ -∞,- 17 2 .
【例 2 】 等差数列｛an｝前n项和Sn,公差d<0,若Sm=am(常数m>3),则n>m时,判断Sn与an 大小关系(m为常数)．
解析 本题隐含条件是S1＝a1,故g(n)=Sn－an的两个零点为１和m,又g(n)为二次函数. 由d<0,其开口向下,∴n>m时,g(n)<0,Sn<an.
点拨 等差数列an=a1+(n-1)d可简记为an=dn+b,同样Sn=na1+ n(n-1)d 2 可简记为Sn= d 2 n2+Bn(注意无常数项)。这种对形式结构的透彻理解不仅可简化填空题的推证过程。对多字母运算题型尤其简便。
综上所述,仅存在an=n+1为“封闭数列”．
点拨 对任何数列,首项是重要的基本量；步骤①②③运用了归纳思想(这是教材起始内容着力渗透的数学思想)：当a1增大时,Sn增大,Tn相应减小.此外,②中Tn=g(n)作为函数对n递增,也可用Tn+1-Tn>0说明{Tn}递增,这是本题关键。
2 . 从数列的特殊性探究解决数列问题的方法
数列的特殊性表现在“自变量n从小到大依次取值”即数列是有序的,因而对同一数列,相邻项关系反映数列的特征(等差等比数列的定义都是基于这一指导思想),对不同数列,比较对应项是常用的方法。