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摘要：数学是一门逻辑和思维并重的学科，在进行数学知识探究的过程中，既要培养学生的动手操作能力，也要培养学生数学思维的表达能力。这就需要培养学生在操作探究中进行说理，揭示数学本质，把学习引向深入。在本文中我们将围绕数学教学中的操作与说理从数学分析认知分析及教学分析这三个角度来谈圆锥的体积这一内容的教学。
关键词：小学数学;操作;说理能力
关于圆锥体积的计算方法，不同版本的小学数学教材中比较一致地给出以下证明方法：用圆锥形的容器装满沙子或水倒入与它等底等高的圆柱形容器中从而发现圆锥的体积是和它等底等高的圆柱的体积的三分之一。
一、小学数学教学中学生说理能力培养的重要性
1.说理能力的培养可以全面提高数学能力
说理能力不但要求学生能够准确地理清问题解决的思路，还要求能够流畅的表达，从数学的角度给出准确的答案。 就小学生的普遍特征来说，他们的思维具有一定的跳跃性，在学习数学知识时常出现不连贯的现象。 对学生的说理能力进行培养，能够教会学生更好地抓住问题的本质，用数学的语言来进行推理，从数学的角度对题目进行剥茧抽丝，有利于促进学生逻辑思维能力的发展。
2.几何直观是提高说理能力的重要途径
几何直观，顾名思义，就是在解决比较复杂的数学问题的过程中借助几何图形，使整个求解过程更加直观形象、简明清晰。尤其对于一些抽象的数学问题，学生很难真正理解其数学含义，这样就进入了浅尝辄止的学习误区。上海市特级教师曹培英指出：“几何推理始于几何直观。 而与推理能力密切相关的思维习惯， 主要是有根有据、有条有理地思考与表达”。 可见，“直观”给学生带来的不仅有 “发现”，它还具有启迪学生“说理”的功能。
二、小学数学教学中操作和说理能力培养的策略
1.操作前预测说理
《数学课程标准》在第二学段目标中提出：在观察、实验、猜测、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果。因此，在操作前，要引导学生先对如何求圆锥的体积进行预测，并对自己的预测进行说理：为什么你这样猜测？由于学生受三角形面积与长方形面积关系及圆周长与直径倍数关系的影响，对于圆柱和圆锥体积的问题，学生大体上会提出以下几种猜想：
1.V 圆锥=1/2V 圆柱， 理由是长方形 ABCD 的面积是三角形 BCD 面积的 2 倍;
2.V 圆锥=V 圆柱÷π，理由是圆周长是直径的 π 倍;
3.V 圆锥=1/3V圆柱 ，理由是从图中可以分成三个类似的小圆锥。
伟大的科学家牛顿说过：没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现。 在这个过程中，教师不要直接去否定学生的预测，而是要引导学生说出猜测的根据。
2.操作中对比说理
2.1.观察实验道具
求同：分组实验中，选择相同材质的一个圆柱体和一个圆锥体，要求两者等底等高、形状标准且厚度均匀。
对比： 特地为最后一组准备没有等底等高的圆柱与圆锥。
引导对比：你手里的圆柱与圆锥容器有什么关系？通过观察实验道具之间的关系，为观察实验结果做好准备。
2.2观察实验过程
你是怎么样做实验的？为什么要这样做？要注意哪些事项。 因为有亲身经历，学生很容易说出：要倒满，不能落掉，容器要持平等，在互相说一说中，提升了操作能力。
2.3观察实验结果
有的小组刚好倒 3次。 有的小组不是刚好倒3次，引导学生说理。
（1）存在误差。 实验时的误差，没有装满或落掉小部分水;容器内壁厚薄程度不一样。
（2）最后一组为什么结论不一样？ 圆锥与圆柱两个容器没有等底等高。
这些观察交流将为学生有理有据地说出结论做好充分
的准备。
3.操作后的提升说理
学生在操作完后，往往只能用自己的语言说出直观看到的结论，而不能根据现象进行推理，尤其是找不出隐藏在背后的数学思想方法。 图形与几何领域的教学，可以引导学生从下面三个方面进行说理，揭示数学的本质，达到深度学习的效果。
3.1“说”操作过程，推出正确结论
小学生由于语言的局限性，经常表达不完整、不简洁。教师可以让学生在小组中先说一说，互相启发，补充，经历由最初的“说完整”到“说准确”再到“说简单、清晰”逐步提高表达的要求，得出正确的结论。 很明显，圆锥体积的推导过程，重点就是让学生说清圆锥与圆柱同底同高的关系，再由“三次刚好倒满”推出圆锥体积是同底同高圆柱体积的三分之一或同底同高圆柱体积的三倍的結论。
3.2“说”探究结果，建立数学模型
教师有必要在操作后的说理中，引导学生发现只有在等底等高的条件下，圆锥的体积才是圆柱的三分之一，得出“V 圆锥 =1/3V圆柱 ”，并根据圆柱的体积公式“V圆 柱=sh”，进一步推导出圆锥的体积公式“V 圆锥=1/3sh ”。 在深入的说理中建立数学模型。
3.3“说”数学思想，提升解决方法
数学思想方法是解决问题的策略，是数学学习的行为和灵魂。因此，在说理的过程中，我们不能只说清知识形成过程，还要说清在数学知识的发生、形成和发展过程中所蕴藏的重要思想方法，为以后学习新知识奠定基础。
《圆锥的体积》一课，在探究出圆锥体积公式后，要引导学生说清这一推导过程运用到的数学思想方法。通过把圆锥容器中的水倒入同底同高的圆柱容器刚好3 次倒满，科学合理地把圆锥的体积转化成圆柱的体积。 通过说理，让学生思考数学思想方法，懂得了再遇到新问题时，可以运用转化的方法，把没学过的知识转化成已学过的知识再解决。
三、结语
经过上述数学分析、认知分析与教学分析，我们发现在数学学习中，动手操作是一种非常重要的手段，但动手操作获得的往往是感性认识、直观的结果，而严密推理论证是让学习者从感性认识、直观结果上升到理性认识，体现数学问题本质联系的重要途径。在出现不精确的结果时，必须考虑学生的认知困惑点，而不能通过直接告知让学生被动接受“精确”的结果。教师要有意识地引导学生将动手操作与说理紧密联系一起， 让学生在 “做”中“说”，知其然又知其所以然。
参考文献
[1]欧几里得.几何原本[M].燕晓东，译.南京： 江苏人民出版社，2011.
[2]郭书春.九章算术译注[M].上海：上海古籍出版社，2009.
[3]王紫红.浅谈小学数学课堂教学中提高动手操作有效性的方法[J].学周刊，2019（15）：80
[4]刘姜燕.主动探究，发展能力——浅谈动手操作在小学数学课堂中的重要性[J].中小学教育，2012（01）：82-83
作者简介：作者姓名：张志红 性别：男 民族：汉 籍贯：四川乐山 出生年月：1965年2月 职称：一级教师 研究方向：小学数学教学
四川省乐山市五通桥区石麟镇阳光小学
关键词：小学数学;操作;说理能力
关于圆锥体积的计算方法，不同版本的小学数学教材中比较一致地给出以下证明方法：用圆锥形的容器装满沙子或水倒入与它等底等高的圆柱形容器中从而发现圆锥的体积是和它等底等高的圆柱的体积的三分之一。
一、小学数学教学中学生说理能力培养的重要性
1.说理能力的培养可以全面提高数学能力
说理能力不但要求学生能够准确地理清问题解决的思路，还要求能够流畅的表达，从数学的角度给出准确的答案。 就小学生的普遍特征来说，他们的思维具有一定的跳跃性，在学习数学知识时常出现不连贯的现象。 对学生的说理能力进行培养，能够教会学生更好地抓住问题的本质，用数学的语言来进行推理，从数学的角度对题目进行剥茧抽丝，有利于促进学生逻辑思维能力的发展。
2.几何直观是提高说理能力的重要途径
几何直观，顾名思义，就是在解决比较复杂的数学问题的过程中借助几何图形，使整个求解过程更加直观形象、简明清晰。尤其对于一些抽象的数学问题，学生很难真正理解其数学含义，这样就进入了浅尝辄止的学习误区。上海市特级教师曹培英指出：“几何推理始于几何直观。 而与推理能力密切相关的思维习惯， 主要是有根有据、有条有理地思考与表达”。 可见，“直观”给学生带来的不仅有 “发现”，它还具有启迪学生“说理”的功能。
二、小学数学教学中操作和说理能力培养的策略
1.操作前预测说理
《数学课程标准》在第二学段目标中提出：在观察、实验、猜测、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果。因此，在操作前，要引导学生先对如何求圆锥的体积进行预测，并对自己的预测进行说理：为什么你这样猜测？由于学生受三角形面积与长方形面积关系及圆周长与直径倍数关系的影响，对于圆柱和圆锥体积的问题，学生大体上会提出以下几种猜想：
1.V 圆锥=1/2V 圆柱， 理由是长方形 ABCD 的面积是三角形 BCD 面积的 2 倍;
2.V 圆锥=V 圆柱÷π，理由是圆周长是直径的 π 倍;
3.V 圆锥=1/3V圆柱 ，理由是从图中可以分成三个类似的小圆锥。
伟大的科学家牛顿说过：没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现。 在这个过程中，教师不要直接去否定学生的预测，而是要引导学生说出猜测的根据。
2.操作中对比说理
2.1.观察实验道具
求同：分组实验中，选择相同材质的一个圆柱体和一个圆锥体，要求两者等底等高、形状标准且厚度均匀。
对比： 特地为最后一组准备没有等底等高的圆柱与圆锥。
引导对比：你手里的圆柱与圆锥容器有什么关系？通过观察实验道具之间的关系，为观察实验结果做好准备。
2.2观察实验过程
你是怎么样做实验的？为什么要这样做？要注意哪些事项。 因为有亲身经历，学生很容易说出：要倒满，不能落掉，容器要持平等，在互相说一说中，提升了操作能力。
2.3观察实验结果
有的小组刚好倒 3次。 有的小组不是刚好倒3次，引导学生说理。
（1）存在误差。 实验时的误差，没有装满或落掉小部分水;容器内壁厚薄程度不一样。
（2）最后一组为什么结论不一样？ 圆锥与圆柱两个容器没有等底等高。
这些观察交流将为学生有理有据地说出结论做好充分
的准备。
3.操作后的提升说理
学生在操作完后，往往只能用自己的语言说出直观看到的结论，而不能根据现象进行推理，尤其是找不出隐藏在背后的数学思想方法。 图形与几何领域的教学，可以引导学生从下面三个方面进行说理，揭示数学的本质，达到深度学习的效果。
3.1“说”操作过程，推出正确结论
小学生由于语言的局限性，经常表达不完整、不简洁。教师可以让学生在小组中先说一说，互相启发，补充，经历由最初的“说完整”到“说准确”再到“说简单、清晰”逐步提高表达的要求，得出正确的结论。 很明显，圆锥体积的推导过程，重点就是让学生说清圆锥与圆柱同底同高的关系，再由“三次刚好倒满”推出圆锥体积是同底同高圆柱体积的三分之一或同底同高圆柱体积的三倍的結论。
3.2“说”探究结果，建立数学模型
教师有必要在操作后的说理中，引导学生发现只有在等底等高的条件下，圆锥的体积才是圆柱的三分之一，得出“V 圆锥 =1/3V圆柱 ”，并根据圆柱的体积公式“V圆 柱=sh”，进一步推导出圆锥的体积公式“V 圆锥=1/3sh ”。 在深入的说理中建立数学模型。
3.3“说”数学思想，提升解决方法
数学思想方法是解决问题的策略，是数学学习的行为和灵魂。因此，在说理的过程中，我们不能只说清知识形成过程，还要说清在数学知识的发生、形成和发展过程中所蕴藏的重要思想方法，为以后学习新知识奠定基础。
《圆锥的体积》一课，在探究出圆锥体积公式后，要引导学生说清这一推导过程运用到的数学思想方法。通过把圆锥容器中的水倒入同底同高的圆柱容器刚好3 次倒满，科学合理地把圆锥的体积转化成圆柱的体积。 通过说理，让学生思考数学思想方法，懂得了再遇到新问题时，可以运用转化的方法，把没学过的知识转化成已学过的知识再解决。
三、结语
经过上述数学分析、认知分析与教学分析，我们发现在数学学习中，动手操作是一种非常重要的手段，但动手操作获得的往往是感性认识、直观的结果，而严密推理论证是让学习者从感性认识、直观结果上升到理性认识，体现数学问题本质联系的重要途径。在出现不精确的结果时，必须考虑学生的认知困惑点，而不能通过直接告知让学生被动接受“精确”的结果。教师要有意识地引导学生将动手操作与说理紧密联系一起， 让学生在 “做”中“说”，知其然又知其所以然。
参考文献
[1]欧几里得.几何原本[M].燕晓东，译.南京： 江苏人民出版社，2011.
[2]郭书春.九章算术译注[M].上海：上海古籍出版社，2009.
[3]王紫红.浅谈小学数学课堂教学中提高动手操作有效性的方法[J].学周刊，2019（15）：80
[4]刘姜燕.主动探究，发展能力——浅谈动手操作在小学数学课堂中的重要性[J].中小学教育，2012（01）：82-83
作者简介：作者姓名：张志红 性别：男 民族：汉 籍贯：四川乐山 出生年月：1965年2月 职称：一级教师 研究方向：小学数学教学
四川省乐山市五通桥区石麟镇阳光小学