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【关键词】数学;边界;智慧
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1005-6009（2015）-0063-02
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础;独立思考、学会思考是创新的核心。”在数学教学中，当我们尝试“模糊”教与学的边界，把师者切实转变为数学学习活动的参与者、组织者、引导者，学生的主体性才可能建立，才可能点燃学生内在的创新思维的火花，数学教学也才有可能真正实现其学科特有的育人价值。
在教学苏教版四下《三位数乘两位数》单元练习时，笔者利用两位数乘两位数的知识迁移，帮助学生认识和理解三位数乘两位数的算理、算法，可没想到一道思考题引发了“新旧知识间的思维冲突”。
用3、4、5、6、7五个数字组成三位数乘两位数的算式：积最大的算式是□□□×□□=（ ），积最小的算式是：□□□×□□=（ ）。
笔者在备课时根据“如何求两位数乘两位数积最大”的经验，将最大数“7”“6”分别列在最高位，然后再列出十位和个位上的数字，比如：753×64=48192，743×65=48295，对比乘积及两个乘数之间的差：753-64>743-65，753×64<743×65，发现与两位数乘两位数积最大的解答策略一样。积最小的算式则相反，357-46>356-47，357×46<356×47，还真是“差越大，积越小”。于是笔者认为：把给定数字组合为三位数乘两位数的算式时，积最大、积最小的策略与两位数乘两位数的组合策略相同。
课上笔者将这道题目作为“餐后甜品”出示在黑板上，并且让学生列出各种积可能最大的算式，写了足足10道：543×76，674×53，654×73，653×74，643×75，743×56，743×65，754×63，753×64，765×43。
在梳理的过程中，学生根据“7×6>7×5>6×5”确定“7和6”一定在两个乘数的首位。这样就排除了“543×76、674×53、743×56、765×43”这四道积最大的可能性。
由于临近下课，因此没能让学生去计算验证剩下的6道算式，而是直接引导学生观察以“7”所在首位的三位数乘法算式：743×65、754×63、753×64（其中有备课时预设的两道算式）。于是，笔者让学生再次估一估，哪个等式的积最大？并说说理由。
原本以为课堂会按照预设顺利推进，不曾想，平时“默默无闻”的陈至人同学举手并急切地喊道：“743×65不是最大，653×74才是最大！”
“怎么可能？”若不是这突如其来的喊声，笔者早已忽视了刚才一组算式中第4个的“653×74”，他还列了另一道算式：643×75。
笔者“很不情愿”地把这两道算式重新请上黑板：653×74，643×75。
“老师，我算过了，653×74=48322，比743×65=48295大！”陈至人理直气壮地解释道。
“你是怎么想到的？”我急切地问道。
“老师，这是我的‘U’型法。”陈至人不急不忙地在黑板上画着。
“写一个‘U’字母（如图1），然后把数字从大到小按照‘U’的笔顺位置排列（7-6-5-4-3），得到上面一个两位数和下面一个三位数，这时两数相乘积就最大！”陈同学细致地边画边解释。
接下来，同学们想到了列举法，分别用“1、2、3、4、5”“2、4、6、8、9”进行了尝试（如图2、图3），果真“52×431、94×862”的积最大。
“有求最小积的策略吗？”其他同学立即问道。
“可以用‘n’法。”陈至人边说便在黑板上演示，“顺着‘n’的笔顺位置排列（3-4-5-6-7），得到上面一个两位数和下面一个三位数，这时两数相乘积就最小，如图4。”
果然，35×467=16345，比357×46=16422小了77。
“这种方法的依据是什么呢？那两位数乘两位数积最大的策略是不是适用于三位数乘两位数呢？若数字中有‘0’又该怎么排列呢？”学生提出的问题把我们的思维引向深处，由于时间关系，这个问题只能留在第二天讨论了。
第二天课堂上学生争相汇报。三位数乘两位数积最大的规律可以借助“两位数乘两位数积最大的策略”完成。其方法是：先考虑大的4个数7、6、5、4，组成的两位数乘两位数积最大的算式：74×65（同时满足“两个数的最高位最大”及“两个两位数的差最小”条件），接下来看最末位的3跟着哪个两位数后面，通过计算743×65=48295，74×653=48322，74×653积大一些，由此得出末位的3跟在首位小的数的后面。
“因为3×65<3×74，所以‘3’跟在‘65’后面的积一定比‘3’跟在‘74’后面的积要大，大（74-65）×3=27。”课代表陈彦昆解释道。
那三位数乘两位数积最小的规律又是什么呢？各个小组得出结论：若想积最小，可以先考虑最小的4个数3、4、5、6组成积最小的两位数乘两位数：35×46，因为7个35小于7个46，所以“7”应该跟在“46”后面，得到算式：35×467。
学生合情推理的能力让我吃惊！
“若这5个数字中有‘0’还能成立吗？”又有同学提出了质疑。
“我们把最小数字‘3’改为‘0’，五个数字为‘7、6、5、4、0’，再次通过‘U形最大法’也能列出算式，当然还可以转化为‘求两位数乘两位数积最大’的策略求解，不过结果是两道算式最大：74×650=740×65，如图5。”杨宇昕同学解释道。
如果组成积最小的算式，那么“n”法还适用吗？因为时间关系，笔者将这个问题抛给学生课后思考。
【反思】
回顾整个教学，师生一起经历“经验、探究、推理、再创造”的学习过程。首先由师者的“经验”引发了一个“参与性问题”，再促使学生在主题范围内自行发现问题并提出解决问题的方案，进而在解决综合性问题的同时形成了“创造性问题”，发挥了“问题连续体”的作用。
“合情推理”贯穿了整个教学，课的开始就隐含着运用“两位数乘两位数积最大（最小）的数字组合规律”来解决“三位数乘两位数积最大（最小）”的负迁移式推理（从“合情”到“不合情”）。接着将问题引向深处，面对“这样组合的依据是什么，若数字中有‘0’又该怎么排列”这些问题时，需要“按据说理”。于是经历了举例验证、归纳发现的合情推理过程。
本节课中，“探究、推理及再创造”的数学化过程都是紧紧围绕“数形结合、寓理于算”的数学思想进行的。就当下的小学数学而言，这四个内容领域中的知识技能固然不可或缺，但贯穿其中的数学思想可能更为重要。
一节数学课，让我经历了一次“师者”至“学者”的华丽转身！其实，“模糊”教与学的边界，教师适度“退隐”其后，给予孩子一些平台、展示空间，你常会收获意想不到的“方法及策略”。作为师者，尊重生命才是为师的开始，我们的位置不仅不能居高临下，而应位于敬仰的台下，用鼓励、赏识的目光支起所有学生最大的精神脊梁。同时绽放数学的严谨之美，彰显数学思想方法的深邃，洋溢数学价值的理性精神，我想这才是数学学科期待的课堂！
（作者单位：南京市天正小学）
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1005-6009（2015）-0063-02
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础;独立思考、学会思考是创新的核心。”在数学教学中，当我们尝试“模糊”教与学的边界，把师者切实转变为数学学习活动的参与者、组织者、引导者，学生的主体性才可能建立，才可能点燃学生内在的创新思维的火花，数学教学也才有可能真正实现其学科特有的育人价值。
在教学苏教版四下《三位数乘两位数》单元练习时，笔者利用两位数乘两位数的知识迁移，帮助学生认识和理解三位数乘两位数的算理、算法，可没想到一道思考题引发了“新旧知识间的思维冲突”。
用3、4、5、6、7五个数字组成三位数乘两位数的算式：积最大的算式是□□□×□□=（ ），积最小的算式是：□□□×□□=（ ）。
笔者在备课时根据“如何求两位数乘两位数积最大”的经验，将最大数“7”“6”分别列在最高位，然后再列出十位和个位上的数字，比如：753×64=48192，743×65=48295，对比乘积及两个乘数之间的差：753-64>743-65，753×64<743×65，发现与两位数乘两位数积最大的解答策略一样。积最小的算式则相反，357-46>356-47，357×46<356×47，还真是“差越大，积越小”。于是笔者认为：把给定数字组合为三位数乘两位数的算式时，积最大、积最小的策略与两位数乘两位数的组合策略相同。
课上笔者将这道题目作为“餐后甜品”出示在黑板上，并且让学生列出各种积可能最大的算式，写了足足10道：543×76，674×53，654×73，653×74，643×75，743×56，743×65，754×63，753×64，765×43。
在梳理的过程中，学生根据“7×6>7×5>6×5”确定“7和6”一定在两个乘数的首位。这样就排除了“543×76、674×53、743×56、765×43”这四道积最大的可能性。
由于临近下课，因此没能让学生去计算验证剩下的6道算式，而是直接引导学生观察以“7”所在首位的三位数乘法算式：743×65、754×63、753×64（其中有备课时预设的两道算式）。于是，笔者让学生再次估一估，哪个等式的积最大？并说说理由。
原本以为课堂会按照预设顺利推进，不曾想，平时“默默无闻”的陈至人同学举手并急切地喊道：“743×65不是最大，653×74才是最大！”
“怎么可能？”若不是这突如其来的喊声，笔者早已忽视了刚才一组算式中第4个的“653×74”，他还列了另一道算式：643×75。
笔者“很不情愿”地把这两道算式重新请上黑板：653×74，643×75。
“老师，我算过了，653×74=48322，比743×65=48295大！”陈至人理直气壮地解释道。
“你是怎么想到的？”我急切地问道。
“老师，这是我的‘U’型法。”陈至人不急不忙地在黑板上画着。
“写一个‘U’字母（如图1），然后把数字从大到小按照‘U’的笔顺位置排列（7-6-5-4-3），得到上面一个两位数和下面一个三位数，这时两数相乘积就最大！”陈同学细致地边画边解释。
接下来，同学们想到了列举法，分别用“1、2、3、4、5”“2、4、6、8、9”进行了尝试（如图2、图3），果真“52×431、94×862”的积最大。
“有求最小积的策略吗？”其他同学立即问道。
“可以用‘n’法。”陈至人边说便在黑板上演示，“顺着‘n’的笔顺位置排列（3-4-5-6-7），得到上面一个两位数和下面一个三位数，这时两数相乘积就最小，如图4。”
果然，35×467=16345，比357×46=16422小了77。
“这种方法的依据是什么呢？那两位数乘两位数积最大的策略是不是适用于三位数乘两位数呢？若数字中有‘0’又该怎么排列呢？”学生提出的问题把我们的思维引向深处，由于时间关系，这个问题只能留在第二天讨论了。
第二天课堂上学生争相汇报。三位数乘两位数积最大的规律可以借助“两位数乘两位数积最大的策略”完成。其方法是：先考虑大的4个数7、6、5、4，组成的两位数乘两位数积最大的算式：74×65（同时满足“两个数的最高位最大”及“两个两位数的差最小”条件），接下来看最末位的3跟着哪个两位数后面，通过计算743×65=48295，74×653=48322，74×653积大一些，由此得出末位的3跟在首位小的数的后面。
“因为3×65<3×74，所以‘3’跟在‘65’后面的积一定比‘3’跟在‘74’后面的积要大，大（74-65）×3=27。”课代表陈彦昆解释道。
那三位数乘两位数积最小的规律又是什么呢？各个小组得出结论：若想积最小，可以先考虑最小的4个数3、4、5、6组成积最小的两位数乘两位数：35×46，因为7个35小于7个46，所以“7”应该跟在“46”后面，得到算式：35×467。
学生合情推理的能力让我吃惊！
“若这5个数字中有‘0’还能成立吗？”又有同学提出了质疑。
“我们把最小数字‘3’改为‘0’，五个数字为‘7、6、5、4、0’，再次通过‘U形最大法’也能列出算式，当然还可以转化为‘求两位数乘两位数积最大’的策略求解，不过结果是两道算式最大：74×650=740×65，如图5。”杨宇昕同学解释道。
如果组成积最小的算式，那么“n”法还适用吗？因为时间关系，笔者将这个问题抛给学生课后思考。
【反思】
回顾整个教学，师生一起经历“经验、探究、推理、再创造”的学习过程。首先由师者的“经验”引发了一个“参与性问题”，再促使学生在主题范围内自行发现问题并提出解决问题的方案，进而在解决综合性问题的同时形成了“创造性问题”，发挥了“问题连续体”的作用。
“合情推理”贯穿了整个教学，课的开始就隐含着运用“两位数乘两位数积最大（最小）的数字组合规律”来解决“三位数乘两位数积最大（最小）”的负迁移式推理（从“合情”到“不合情”）。接着将问题引向深处，面对“这样组合的依据是什么，若数字中有‘0’又该怎么排列”这些问题时，需要“按据说理”。于是经历了举例验证、归纳发现的合情推理过程。
本节课中，“探究、推理及再创造”的数学化过程都是紧紧围绕“数形结合、寓理于算”的数学思想进行的。就当下的小学数学而言，这四个内容领域中的知识技能固然不可或缺，但贯穿其中的数学思想可能更为重要。
一节数学课，让我经历了一次“师者”至“学者”的华丽转身！其实，“模糊”教与学的边界，教师适度“退隐”其后，给予孩子一些平台、展示空间，你常会收获意想不到的“方法及策略”。作为师者，尊重生命才是为师的开始，我们的位置不仅不能居高临下，而应位于敬仰的台下，用鼓励、赏识的目光支起所有学生最大的精神脊梁。同时绽放数学的严谨之美，彰显数学思想方法的深邃，洋溢数学价值的理性精神，我想这才是数学学科期待的课堂！
（作者单位：南京市天正小学）