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一、案例背景
《搭配问题》是执教者准备的一堂组内随堂课。为了在课堂上更加游刃有余，执教者进行了充分的备课。数学教学的本质就是思维过程，更确切地说，是展示和发展思维的过程。本课中要解决两个任务：第一，搭配中的思考如何有序；第二，数字中的组合如何有序。
《搭配问题》的重点是如何利用有序的思维来解决问题。学生将通过摆一摆、画一画、算一算等方法来呈现结果。在“摆一摆”的过程中慢慢整理自己的思路，从而得出有序的思考方法。在“画一画”的过程中，学生会不断思考与探索，初建有序思维的模型，出现一个符号化的过程。“算一算”则是方法的优化，是学生思维的发散。因为学生在解说算式所表示的意思时，要结合具体情景展开想象和描述，同一道算式可以有不同的解释，不同的思维，体现了学生思维抽象的过程。这样通过层层递进，既降低了教学的难度，又使学生的思维得到了训练。
二、案例描述与分析
学生的思维是一个十分复杂的心理过程。课堂教学中，教师过多的传授解题思路、传授思维经验对学生思维的锻炼和发展没有直接的作用。课堂上部分学生的思维很活跃，总是能给我们奇思妙想，但他们展现的往往是零散的。抓住学生的素材进行充分利用，就能点亮智慧的火花，拓展他们的思维，使课堂更加精彩。思维源于问题的产生，终于问题的解决。本课以“衣食住行”的现实为情景链，引发了一连串值得探究的有关搭配的问题。下面将呈现教学中的几个片段。
【片段一】有顺序地搭配
课件出示2件上装和3件下装
师：同学们，帮敏敏想一想，她有多少种不同的搭配方法。
生借助学具摆一摆。
生展示：
第一位同学由于无顺序地摆，没有完成任务。
师：什么原因呢？
生：没有按顺序摆。
第二位同学用上装搭配不同的下装，很快就搭配出6种。
师课件演示上装和下装之间的搭配。
师：能用一条算式表示吗？
生：2×3=6
师：刚刚我们用上装搭配下装，还有没有别的方法？
第三位同学用下装搭配上装。
师课件演示下装和上装之间的搭配。
师：还能用2×3=6这条算式吗？
【分析】由于第一位同学没有按照一定顺序搭配，到后面自己也忘记搭配过什么，没有完成任务。抓住这点，让学生说原因，学生基本上都能说出没有按照顺序摆。自然而然地联系到“有顺序的”，第二位同学出现的就会是有序地搭配了。当学生展示完后，教师要及时出示课件，用线将上装和下装连一连，即加深对“有序”的理解，又为学生下一步脱离学具摆，采用画一画的方法做好铺垫。
在这次活动中，教师引导学生总结得出这种搭配方法的优越性，可以做到不遗漏，不重复，即“有序地思考”，使学生经历了从无序思维到有序思维过渡的过程。学生在之后的搭配过程中便能有意识地进行有序思考，有机地渗透有条理、有顺序的数学思想方法。
【片段二】用符号等代替
课件出示2种饮料和4种食物
师：同学们，敏敏要选择一种饮料和一种食物，，她有多少种不同的搭配方法？请大家画出示意图。
生动手画一画
师提示：你需要把食物一个一个画出来吗？。
师收集学生的作品有顺序地进行展示：
第一种：画图连线；（见图1）
第二种：用文字代替图片进行连线；（见图2）
第三种：用简单的一个字代替图片进行连线；（见图3）
第四种：用数字代替图片进行连线；（见图4）
第五种：用图形代替图片进行连线。（见图5）
【分析】当让学生画出示意图时，学生大部分会选择画出实物。这时，及时提出：需要把实物一个一个画出来吗。由此引起学生的思考：有没有更加简单的办法。当学生的外部知识和内部知识经验条件恰当冲突时，就会引起学生产生用图形或符号代替的愿望，在探索中发现了可以用文字、数字、图形等代替。这是一个符号化的过程，也是学生从形象思维到抽象思维过渡的过程。因为学生有了最佳的思维定向，所以他们会自觉地去思考，比起死板地传授来得更加自然、有效。
当然，在这个过程中还需要教师的适当引导，教师精心设计了能激发学生思维动机的问题——你需要把食物一个一个画出来吗？引起学生的思考。师收集学生作品时要有针对性和目的性，当呈现作品时也需要按照一定的顺序，可以按照画图、用文字代替、用一个字代替到用数字或图形代替。充分利用好学生的素材十分重要，这是对学生的方法进行优化的一个过程，学生的思维也在这个过程中得到升华。从表格中可以看出，经过教师的提问，采用画图的学生只有4人，采取用文字代替的方法的同学有33人，还有8人则用数字或图形代替，初步实现了符号化的过程。
总人数 画图 用文字代替 用一个字代替 用数字代替 用图形代替
46人 4人 33人 1人 4人 4人
【片段三】數字的有序组合
课件出示3、9、7三个数字
师：这三个数字共能组成多少个不同的三位数？
生动手写一写。
师收集学生的作品有顺序地进行展示：
【分析】经过前面的练习，学生基本上能运用有序的思考方法。课后进行的汇总表中，只有6人是无顺序地排列，能按照一定顺序进行数字组合的同学有40人。包括先确定最高位、从小到大、从大到小、移位循环的方法进行排列的。在选取学生的素材时也要有代表性，呈现过程中也有先后顺序，充分利用思维的层次性。
总人数 无顺序排列 先确定最高位 从小到大排列 从大到小排列 移位循环排列
46人 6人（其中2人做错） 28人 8人 3人 4人 三、案例体会与思考
从搭配问题中看到了学生思维的扩散、思维层次的递进，这些都需要教师适当的引导。
1.教师要充分认识学生思维的层次性
每个人由于先天禀赋、环境影响或者接受教育后的内化过程的千差万别，反映在教育效果上具有一定共性的同时，也存在着千差万别的个性，素质就是这样一个共性与个性的统一体。素质教育就是要在共性上作整体性的发展要求，又必须在个性上作层次性发展教育。
思维层次，是根据学生不同思维特点、能力，和对问题的反映能力以及解决问题的速度进行区分思维类别的方法，思維在总体上可分为两大类别，即为外向思维和内向思维，外向思维一般是指动手操作能力、演说能力、辩论能力、公关能力等具有外显特征的思维形式。内向思维一般是指在内化过程中的反应快慢和对问题进行抽象、类比、归纳、联想、转换等具有隐含特征的思维形式。从数学思维的角度上，内向性思维较为切合于数学的学习。数学思维则是从对问题的反映能力和解决问题的速率上进行的一种特殊性思维。综上所述，不同个体有不同的思维层次。教师要充分认识到这一点，才能为拓展学生的思维做好铺垫。
2.教师要有效地促进学生递进思维
心理学研究表明：小学生的思维，处于无序思维向有序思维的过渡阶段，因此，教师要积极引导和帮助学生度过这个阶段，训练思维的条理性。
第一，了解层次，合理安排。这节课的主要训练学生从无序思维—有序思维，从形象思维——抽象思维的过渡。本课通过摆一摆、画一画、算一算这些活动，让学生分别经历直观—表象—抽象的思维过程，强调思维的层次性，同时将解决问题与符号和计算的数学方法结合，这就是数学思想和素质的训练。摆一摆的操作活动中，学生的思维是随着操作的顺序进行的，操作程序反映了学生接受的思维过程，反映了一定的逻辑顺序。将摆一摆放在本课的第一环节，活动前学生处于无序思维的状态，通过简单的摆一摆，转化为有序思维。在有序思维的基础上安排画一画和算一算，训练学生的抽象思维。
第二，精心选择，有序出示。摆一摆时，教师可以先选择一个没有按照顺序摆的同学来演示，及时提问：有没有更好的办法。通过对比，学生自然而然就联系到有序搭配。
画一画活动中，学生已经有了有序的思维，教师应抓住机会向更深层次的思维递进，即形象思维向抽象思维的过渡。教师要在学生的作品中精心选择，在汇报展示过程中有序出示，如先展示画图，接着再展示用文字、一个字、数字等代替的。根据学生思维层次的特点，将展示的内容安排合理的顺序，体现了层次性，有利于学生抽象思维的逐步形成。
可见，要提高学生的思维素质，就必须注重于层次性思维训练，只有坚持对学生的深入了解，从思维层次上把握住关键，才能真正促进学生思维能力的全面提高。
《搭配问题》是执教者准备的一堂组内随堂课。为了在课堂上更加游刃有余，执教者进行了充分的备课。数学教学的本质就是思维过程，更确切地说，是展示和发展思维的过程。本课中要解决两个任务：第一，搭配中的思考如何有序；第二，数字中的组合如何有序。
《搭配问题》的重点是如何利用有序的思维来解决问题。学生将通过摆一摆、画一画、算一算等方法来呈现结果。在“摆一摆”的过程中慢慢整理自己的思路，从而得出有序的思考方法。在“画一画”的过程中，学生会不断思考与探索，初建有序思维的模型，出现一个符号化的过程。“算一算”则是方法的优化，是学生思维的发散。因为学生在解说算式所表示的意思时，要结合具体情景展开想象和描述，同一道算式可以有不同的解释，不同的思维，体现了学生思维抽象的过程。这样通过层层递进，既降低了教学的难度，又使学生的思维得到了训练。
二、案例描述与分析
学生的思维是一个十分复杂的心理过程。课堂教学中，教师过多的传授解题思路、传授思维经验对学生思维的锻炼和发展没有直接的作用。课堂上部分学生的思维很活跃，总是能给我们奇思妙想，但他们展现的往往是零散的。抓住学生的素材进行充分利用，就能点亮智慧的火花，拓展他们的思维，使课堂更加精彩。思维源于问题的产生，终于问题的解决。本课以“衣食住行”的现实为情景链，引发了一连串值得探究的有关搭配的问题。下面将呈现教学中的几个片段。
【片段一】有顺序地搭配
课件出示2件上装和3件下装
师：同学们，帮敏敏想一想，她有多少种不同的搭配方法。
生借助学具摆一摆。
生展示：
第一位同学由于无顺序地摆，没有完成任务。
师：什么原因呢？
生：没有按顺序摆。
第二位同学用上装搭配不同的下装，很快就搭配出6种。
师课件演示上装和下装之间的搭配。
师：能用一条算式表示吗？
生：2×3=6
师：刚刚我们用上装搭配下装，还有没有别的方法？
第三位同学用下装搭配上装。
师课件演示下装和上装之间的搭配。
师：还能用2×3=6这条算式吗？
【分析】由于第一位同学没有按照一定顺序搭配，到后面自己也忘记搭配过什么，没有完成任务。抓住这点，让学生说原因，学生基本上都能说出没有按照顺序摆。自然而然地联系到“有顺序的”，第二位同学出现的就会是有序地搭配了。当学生展示完后，教师要及时出示课件，用线将上装和下装连一连，即加深对“有序”的理解，又为学生下一步脱离学具摆，采用画一画的方法做好铺垫。
在这次活动中，教师引导学生总结得出这种搭配方法的优越性，可以做到不遗漏，不重复，即“有序地思考”，使学生经历了从无序思维到有序思维过渡的过程。学生在之后的搭配过程中便能有意识地进行有序思考，有机地渗透有条理、有顺序的数学思想方法。
【片段二】用符号等代替
课件出示2种饮料和4种食物
师：同学们，敏敏要选择一种饮料和一种食物，，她有多少种不同的搭配方法？请大家画出示意图。
生动手画一画
师提示：你需要把食物一个一个画出来吗？。
师收集学生的作品有顺序地进行展示：
第一种：画图连线；（见图1）
第二种：用文字代替图片进行连线；（见图2）
第三种：用简单的一个字代替图片进行连线；（见图3）
第四种：用数字代替图片进行连线；（见图4）
第五种：用图形代替图片进行连线。（见图5）
【分析】当让学生画出示意图时，学生大部分会选择画出实物。这时，及时提出：需要把实物一个一个画出来吗。由此引起学生的思考：有没有更加简单的办法。当学生的外部知识和内部知识经验条件恰当冲突时，就会引起学生产生用图形或符号代替的愿望，在探索中发现了可以用文字、数字、图形等代替。这是一个符号化的过程，也是学生从形象思维到抽象思维过渡的过程。因为学生有了最佳的思维定向，所以他们会自觉地去思考，比起死板地传授来得更加自然、有效。
当然，在这个过程中还需要教师的适当引导，教师精心设计了能激发学生思维动机的问题——你需要把食物一个一个画出来吗？引起学生的思考。师收集学生作品时要有针对性和目的性，当呈现作品时也需要按照一定的顺序，可以按照画图、用文字代替、用一个字代替到用数字或图形代替。充分利用好学生的素材十分重要，这是对学生的方法进行优化的一个过程，学生的思维也在这个过程中得到升华。从表格中可以看出，经过教师的提问，采用画图的学生只有4人，采取用文字代替的方法的同学有33人，还有8人则用数字或图形代替，初步实现了符号化的过程。
总人数 画图 用文字代替 用一个字代替 用数字代替 用图形代替
46人 4人 33人 1人 4人 4人
【片段三】數字的有序组合
课件出示3、9、7三个数字
师：这三个数字共能组成多少个不同的三位数？
生动手写一写。
师收集学生的作品有顺序地进行展示：
【分析】经过前面的练习，学生基本上能运用有序的思考方法。课后进行的汇总表中，只有6人是无顺序地排列，能按照一定顺序进行数字组合的同学有40人。包括先确定最高位、从小到大、从大到小、移位循环的方法进行排列的。在选取学生的素材时也要有代表性，呈现过程中也有先后顺序，充分利用思维的层次性。
总人数 无顺序排列 先确定最高位 从小到大排列 从大到小排列 移位循环排列
46人 6人（其中2人做错） 28人 8人 3人 4人 三、案例体会与思考
从搭配问题中看到了学生思维的扩散、思维层次的递进，这些都需要教师适当的引导。
1.教师要充分认识学生思维的层次性
每个人由于先天禀赋、环境影响或者接受教育后的内化过程的千差万别，反映在教育效果上具有一定共性的同时，也存在着千差万别的个性，素质就是这样一个共性与个性的统一体。素质教育就是要在共性上作整体性的发展要求，又必须在个性上作层次性发展教育。
思维层次，是根据学生不同思维特点、能力，和对问题的反映能力以及解决问题的速度进行区分思维类别的方法，思維在总体上可分为两大类别，即为外向思维和内向思维，外向思维一般是指动手操作能力、演说能力、辩论能力、公关能力等具有外显特征的思维形式。内向思维一般是指在内化过程中的反应快慢和对问题进行抽象、类比、归纳、联想、转换等具有隐含特征的思维形式。从数学思维的角度上，内向性思维较为切合于数学的学习。数学思维则是从对问题的反映能力和解决问题的速率上进行的一种特殊性思维。综上所述，不同个体有不同的思维层次。教师要充分认识到这一点，才能为拓展学生的思维做好铺垫。
2.教师要有效地促进学生递进思维
心理学研究表明：小学生的思维，处于无序思维向有序思维的过渡阶段，因此，教师要积极引导和帮助学生度过这个阶段，训练思维的条理性。
第一，了解层次，合理安排。这节课的主要训练学生从无序思维—有序思维，从形象思维——抽象思维的过渡。本课通过摆一摆、画一画、算一算这些活动，让学生分别经历直观—表象—抽象的思维过程，强调思维的层次性，同时将解决问题与符号和计算的数学方法结合，这就是数学思想和素质的训练。摆一摆的操作活动中，学生的思维是随着操作的顺序进行的，操作程序反映了学生接受的思维过程，反映了一定的逻辑顺序。将摆一摆放在本课的第一环节，活动前学生处于无序思维的状态，通过简单的摆一摆，转化为有序思维。在有序思维的基础上安排画一画和算一算，训练学生的抽象思维。
第二，精心选择，有序出示。摆一摆时，教师可以先选择一个没有按照顺序摆的同学来演示，及时提问：有没有更好的办法。通过对比，学生自然而然就联系到有序搭配。
画一画活动中，学生已经有了有序的思维，教师应抓住机会向更深层次的思维递进，即形象思维向抽象思维的过渡。教师要在学生的作品中精心选择，在汇报展示过程中有序出示，如先展示画图，接着再展示用文字、一个字、数字等代替的。根据学生思维层次的特点，将展示的内容安排合理的顺序，体现了层次性，有利于学生抽象思维的逐步形成。
可见，要提高学生的思维素质，就必须注重于层次性思维训练，只有坚持对学生的深入了解，从思维层次上把握住关键，才能真正促进学生思维能力的全面提高。