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一、观察函数式，充分利用函数单调性，确立解题路径
【例1】已知函数f(x)＝lnx－ax2＋x（a∈R）．
（1）求a的最大值，使函数f(x)在(0，＋∞)内是单调函数；
（2）若对于任意的x∈(0，＋∞)，总有f(x)≤0，求a的取值范围．
解：（1）当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)内单调递增．
当a＞0时，
方程－2ax2＋x＋1＝0判别式Δ＝1＋8a＞0，它有两个不等实根x1、x2（x1＜x2），因为x1x2＝－＜0，所以x1＜0＜x2．
当x∈(0，x2)时，f'(x)＞0；当x∈(x2，＋∞)时，f'(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)内不是单调函数。
综上，a的最大值为0．
（2）由f(1)＝1－a知，当a＜1时，f(x)≤0不恒成立．
当a≥1时，由f'(x2)＝0，知ax22，
∴f(x2)＝lnx2－ax22＋x2＝lnx2－＋x2＝lnx2＋ ，
因为f'(1)＝2(1－a)≤0，由（Ⅰ）知x2≤1，且f(x2)是f(x)的最大值，
∴f(x)≤f(x2)＝lnx2＋．
因此，a的取值范围是[1，＋∞)．
观察点：问所给函数是三个函数lnx、－ax2、x的和函数，其中lnx和x在f(x)的定义域内都是增函数，当a≤0时－ax2是增函数（其中当a＜0时ax2是严格递增的），可见a＝0是讨论分界点。
根据第（1）问，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)内单调递增，如果能找到一个x0，使得f(x0)＞0，那么f(x)≤0就不可能恒成立，于是我们尝试取x0＝1，显然f(1)＝2(1－a)＞0，不仅如此，只要a＜1就有f(1)＞0，这大大地减轻了解题负担！
二、观察函数与导数式子结构，透视变化规律，策划解题布局
【例2】（2006年高考·全国卷Ⅰ）已知函数f(x)＝．
（1）设a＞0，讨论y＝f(x)的单调性；
（2）若对任意x∈(0，1)恒有f(x)＞1，求a的取值范围．
解：（1）f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．对f(x)求导数得f'(x)＝ ．
其中(1－x)2＞0，e－ax＞0．
（ⅰ）当0＜a≤2时，ax2＋2－a≥0（当且仅当a＝2且x＝0时取“＝”号），所以f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)为增函数。
（ⅱ）当a＞2时，0＜ ＜1，令f'(x)＝0
得．
当x变化时，f'(x)和f(x)的变化情况如下表：
f(x)在(－∞，x1)，(x2，1)，(1，＋∞)为增函数；f(x)在(x1，x2)为减函数．
（2）（ⅰ）当0＜a≤2时，由（1）知，对任意x∈(0，1)恒有f(x)＞f(0)＝1．
（ⅱ）当a＞2时，取x0＝ x2∈(0，1)，则由（1）知，f(x0)＜f(0)＝1．
（ⅲ）当a≤0时，对任意x∈(0，1)，恒有 且e－ax≥1，得f(x)＝．
综上当且仅当a∈(－∞，2]时，对任意x∈(0，1)，恒有f(x)＞1．
观察点：本题所给函数有一个间断点x＝1，这是需要注意的．在求f(x)的单调区间时，充分观察到f'(x)的分子恒为非负，且至多有一个x0使得f'(x0)＝0的条件，这就保证了f(x)在一个区间上的严格单调性。第（1）问研究了当a＞0时函数的单调性，这为第（2）问提供了一个解题环境，对于a≤0的情形期待通过观察解决。
三、数形结合观察，利用图象走向，探求解题途径
【例3】（2008年高考·全国卷Ⅱ）设函数f(x)＝ ．
（1）求f(x)的单调区间；
（2）如果对任何x≥0，都有f(x)≤ax，求a的取值范围.
因此f(x)在每一个区间()（k∈Z）是增函数，
f(x)在每一个区间()（k∈Z）是减函数．
（2）令g(x)＝ax－f(x)，则
故当a≥ 时，g'(x)≥0，又g(0)＝0，所以当x≥0时，g(x)≥g(0)＝0，即f(x)≤ax．
当a≤0时，有
当0＜a＜ 时，在区间(0，π)内，2＋cosx＜3，sinx＞0，则f(x)＞，
令h(x)＝－ax，则h'(x)＝ (cosx－3a)．
故当x∈[0，arccos3a)时，h'(x)＞0．因此h(x)在[0，arccos3a)时上单调增加．
故当x∈(0，arccos3a)时，h(x)＞h(0)＝0，即＞ax．
于是，当x∈(0，arccos3a)时，
因此，a的取值范围是[ ，＋∞)．
（作者单位：河北滦南一中）
【例1】已知函数f(x)＝lnx－ax2＋x（a∈R）．
（1）求a的最大值，使函数f(x)在(0，＋∞)内是单调函数；
（2）若对于任意的x∈(0，＋∞)，总有f(x)≤0，求a的取值范围．
解：（1）当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)内单调递增．
当a＞0时，
方程－2ax2＋x＋1＝0判别式Δ＝1＋8a＞0，它有两个不等实根x1、x2（x1＜x2），因为x1x2＝－＜0，所以x1＜0＜x2．
当x∈(0，x2)时，f'(x)＞0；当x∈(x2，＋∞)时，f'(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)内不是单调函数。
综上，a的最大值为0．
（2）由f(1)＝1－a知，当a＜1时，f(x)≤0不恒成立．
当a≥1时，由f'(x2)＝0，知ax22，
∴f(x2)＝lnx2－ax22＋x2＝lnx2－＋x2＝lnx2＋ ，
因为f'(1)＝2(1－a)≤0，由（Ⅰ）知x2≤1，且f(x2)是f(x)的最大值，
∴f(x)≤f(x2)＝lnx2＋．
因此，a的取值范围是[1，＋∞)．
观察点：问所给函数是三个函数lnx、－ax2、x的和函数，其中lnx和x在f(x)的定义域内都是增函数，当a≤0时－ax2是增函数（其中当a＜0时ax2是严格递增的），可见a＝0是讨论分界点。
根据第（1）问，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)内单调递增，如果能找到一个x0，使得f(x0)＞0，那么f(x)≤0就不可能恒成立，于是我们尝试取x0＝1，显然f(1)＝2(1－a)＞0，不仅如此，只要a＜1就有f(1)＞0，这大大地减轻了解题负担！
二、观察函数与导数式子结构，透视变化规律，策划解题布局
【例2】（2006年高考·全国卷Ⅰ）已知函数f(x)＝．
（1）设a＞0，讨论y＝f(x)的单调性；
（2）若对任意x∈(0，1)恒有f(x)＞1，求a的取值范围．
解：（1）f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．对f(x)求导数得f'(x)＝ ．
其中(1－x)2＞0，e－ax＞0．
（ⅰ）当0＜a≤2时，ax2＋2－a≥0（当且仅当a＝2且x＝0时取“＝”号），所以f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)为增函数。
（ⅱ）当a＞2时，0＜ ＜1，令f'(x)＝0
得．
当x变化时，f'(x)和f(x)的变化情况如下表：
f(x)在(－∞，x1)，(x2，1)，(1，＋∞)为增函数；f(x)在(x1，x2)为减函数．
（2）（ⅰ）当0＜a≤2时，由（1）知，对任意x∈(0，1)恒有f(x)＞f(0)＝1．
（ⅱ）当a＞2时，取x0＝ x2∈(0，1)，则由（1）知，f(x0)＜f(0)＝1．
（ⅲ）当a≤0时，对任意x∈(0，1)，恒有 且e－ax≥1，得f(x)＝．
综上当且仅当a∈(－∞，2]时，对任意x∈(0，1)，恒有f(x)＞1．
观察点：本题所给函数有一个间断点x＝1，这是需要注意的．在求f(x)的单调区间时，充分观察到f'(x)的分子恒为非负，且至多有一个x0使得f'(x0)＝0的条件，这就保证了f(x)在一个区间上的严格单调性。第（1）问研究了当a＞0时函数的单调性，这为第（2）问提供了一个解题环境，对于a≤0的情形期待通过观察解决。
三、数形结合观察，利用图象走向，探求解题途径
【例3】（2008年高考·全国卷Ⅱ）设函数f(x)＝ ．
（1）求f(x)的单调区间；
（2）如果对任何x≥0，都有f(x)≤ax，求a的取值范围.
因此f(x)在每一个区间()（k∈Z）是增函数，
f(x)在每一个区间()（k∈Z）是减函数．
（2）令g(x)＝ax－f(x)，则
故当a≥ 时，g'(x)≥0，又g(0)＝0，所以当x≥0时，g(x)≥g(0)＝0，即f(x)≤ax．
当a≤0时，有
当0＜a＜ 时，在区间(0，π)内，2＋cosx＜3，sinx＞0，则f(x)＞，
令h(x)＝－ax，则h'(x)＝ (cosx－3a)．
故当x∈[0，arccos3a)时，h'(x)＞0．因此h(x)在[0，arccos3a)时上单调增加．
故当x∈(0，arccos3a)时，h(x)＞h(0)＝0，即＞ax．
于是，当x∈(0，arccos3a)时，
因此，a的取值范围是[ ，＋∞)．
（作者单位：河北滦南一中）