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摘要：从抽象函数形式得到函数性质在近几年高考中经常出现，本文通过对抽象函数的形式特征得到函数的周期性、对称性、奇偶性等。
关键词：抽象函数；周期性；对称性；奇偶性
一、周期性
定义：任意x∈I，I是定义域，都有f（x）=f（x+T），T是非零常数。则f（x）是周期函数，其周期是T。
推广：①?坌x∈I，都有f（x+■）=f（x-■）则f（x）是以T为周期的周期函数。
②?坌x∈I，都有f（x+A）=f（x+B），A，B是常数，则f（x）是以|B-A|为周期的周期函数。
下面给出证明：
令x+A=X，∴x=X-A ∴x+B=X-A+B。
∴f（X）=（X+B-A）∴f（x）是以|B-A|为周期的周期函数。
另可发现规律：括号内两项之差为定值T，周期T=定值。
③若存在非零常数T，使f（x+T）-f（x）=0，则f（x）是周期的周期函数。联想：f（x+T）+f（x）=0是不是周期函数呢？事实上，若f（x+T）=-f（x）成立，则f（x+T）=-f（x）=-［-f（x-T）］=f（x-T），∴f（x）是以2T为周期的周期函数。
④若f（x+T）=■，则f（x）是以2T为周期的周期函数。
证明：f（x+T）=■=■=f（x-T），∴f（x）是以为2T周期的周期函数。
⑤若f（x+T）=-■，∴f（x）是以2T为周期的周期函数。f（x+T）=-■=-■=f（x-T），∴f（x）是以2T为周期的周期函数。
证明：（x+T）=-■=-■=f（x-T），∴f（x）是以2T为周期的周期函数。
二、对称性
①偶函数f（x）关于y轴x=0对称，f（-x）=f（x）
②结论1：f（x）的图像关于x=a对称?圳f（a+x）=f（a-x）
证明：?坩对?坌x0不妨令x0＞0，在（a，0）右x0处，取x=a+x0对应纵坐标y1=f（a+x0）。在（a，0）左x0处，x=a-x0对应纵坐标y2=f（a-x0），∵f（a+x0）=f（a-x0），y1=y2，∴f（x）关于x=a对称。?圯x=a右侧任取一点（a+x，f（a+x）），此点关于x=a的对称点（a-x，f（a-x）），则f（a+x）=f（a-x）。
结论2：f（x）的图像关于x=a对称?圳f（x）=f（2a-x），由结论1知，f（x）的图像关于x=a对称，则f（a+x）=f（a-x）成立。令a+x=X，∴x=X-a，∴-x=a-X∴a-x=2a-X
∴f（X）=f（2a-X）∴f（x）=f（2a-x）反之也成立。
注：可发现规律，括号内两项之和为定值。对称轴■
三、奇偶性
奇函数f（x）关于原点（0，0）对称，则f（-x）=-f（x）
推广Ⅰ：f（x）关于（a，0）对称，则f（a+x）=-f（a-x）
推广Ⅱ：f（x）关于（a，0）对称，则f（x）=-f（2a-x）
证明：令a+x=X，∴x=X-a，由f（a+x）=-f（a-x），∴a-x=2a-X，∴f（X）=-f（2a-X），即f（x）=-f（2a-x）。
推广Ⅲ：关于（0，b）对称，则■=b，∴f（x）=2b-f（-），或f（-x）=2b-f（x）。
推广Ⅳ：f（x）关于（a，b）对称，则■=b。∴f（a+x）+f（a-x）=2b
另：f（x-a）=f（a-x）对x∈R恒成立，那么y=f（x）图像关于直线y轴x=0成轴对称。
证明：令x-a=t，则a-x=-t∴f（t）=f（-t）∴f（x）是偶函数，则y=f（x）图像关于直线y轴x=0成轴对称。
四、探究
抽象函数在对称性和周期性上的体现
①定义在R上的函数f（x）若有两条对称轴x=a，x=b，则f（x）是周期函数，且2|a-b|是函数f（x）的一个周期。
证明：f（x）关于x=a对称，则有f（-x）=f（2a+x）.f（x）关于x=b对称，则有f（-x）=f（2b+x）∴f（2a+x）=f（2b+x），∴f（x）是周期为2|a-b|的周期函数。
②定义在R上的函数f（x）若有两个对称中心（a，0），（b，0）则f（x）是周期函数，且2|a-b|是函数f（x）的一个周期。
证明：f（x）关于（a，0）对称，则f（-x）=-f（2a+x），f（x）关于 （b，0）对称，则f（-x）=-f（2b+x），∴f（2a+x）=f（2b+x），∴f（x）是周期函数。且2|a-b|是函数f（x）的一个周期。
③定义在R上的函数f（x）若有一个对称中心（a，0）和一条对称轴x=b，则f（x）是周期函数，且4|a-b|是函数f（x）的一个周期。
证明：f（x）关于（a，0）对称f（-x）=-f（2a+x），f（x）关于x=b对称，则f（-x）=f（2b+x），∴f（2b+x）=-f（2a+x），由前面结论可知，周期为2|2a-2b|=4|a-b|
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关键词：抽象函数；周期性；对称性；奇偶性
一、周期性
定义：任意x∈I，I是定义域，都有f（x）=f（x+T），T是非零常数。则f（x）是周期函数，其周期是T。
推广：①?坌x∈I，都有f（x+■）=f（x-■）则f（x）是以T为周期的周期函数。
②?坌x∈I，都有f（x+A）=f（x+B），A，B是常数，则f（x）是以|B-A|为周期的周期函数。
下面给出证明：
令x+A=X，∴x=X-A ∴x+B=X-A+B。
∴f（X）=（X+B-A）∴f（x）是以|B-A|为周期的周期函数。
另可发现规律：括号内两项之差为定值T，周期T=定值。
③若存在非零常数T，使f（x+T）-f（x）=0，则f（x）是周期的周期函数。联想：f（x+T）+f（x）=0是不是周期函数呢？事实上，若f（x+T）=-f（x）成立，则f（x+T）=-f（x）=-［-f（x-T）］=f（x-T），∴f（x）是以2T为周期的周期函数。
④若f（x+T）=■，则f（x）是以2T为周期的周期函数。
证明：f（x+T）=■=■=f（x-T），∴f（x）是以为2T周期的周期函数。
⑤若f（x+T）=-■，∴f（x）是以2T为周期的周期函数。f（x+T）=-■=-■=f（x-T），∴f（x）是以2T为周期的周期函数。
证明：（x+T）=-■=-■=f（x-T），∴f（x）是以2T为周期的周期函数。
二、对称性
①偶函数f（x）关于y轴x=0对称，f（-x）=f（x）
②结论1：f（x）的图像关于x=a对称?圳f（a+x）=f（a-x）
证明：?坩对?坌x0不妨令x0＞0，在（a，0）右x0处，取x=a+x0对应纵坐标y1=f（a+x0）。在（a，0）左x0处，x=a-x0对应纵坐标y2=f（a-x0），∵f（a+x0）=f（a-x0），y1=y2，∴f（x）关于x=a对称。?圯x=a右侧任取一点（a+x，f（a+x）），此点关于x=a的对称点（a-x，f（a-x）），则f（a+x）=f（a-x）。
结论2：f（x）的图像关于x=a对称?圳f（x）=f（2a-x），由结论1知，f（x）的图像关于x=a对称，则f（a+x）=f（a-x）成立。令a+x=X，∴x=X-a，∴-x=a-X∴a-x=2a-X
∴f（X）=f（2a-X）∴f（x）=f（2a-x）反之也成立。
注：可发现规律，括号内两项之和为定值。对称轴■
三、奇偶性
奇函数f（x）关于原点（0，0）对称，则f（-x）=-f（x）
推广Ⅰ：f（x）关于（a，0）对称，则f（a+x）=-f（a-x）
推广Ⅱ：f（x）关于（a，0）对称，则f（x）=-f（2a-x）
证明：令a+x=X，∴x=X-a，由f（a+x）=-f（a-x），∴a-x=2a-X，∴f（X）=-f（2a-X），即f（x）=-f（2a-x）。
推广Ⅲ：关于（0，b）对称，则■=b，∴f（x）=2b-f（-），或f（-x）=2b-f（x）。
推广Ⅳ：f（x）关于（a，b）对称，则■=b。∴f（a+x）+f（a-x）=2b
另：f（x-a）=f（a-x）对x∈R恒成立，那么y=f（x）图像关于直线y轴x=0成轴对称。
证明：令x-a=t，则a-x=-t∴f（t）=f（-t）∴f（x）是偶函数，则y=f（x）图像关于直线y轴x=0成轴对称。
四、探究
抽象函数在对称性和周期性上的体现
①定义在R上的函数f（x）若有两条对称轴x=a，x=b，则f（x）是周期函数，且2|a-b|是函数f（x）的一个周期。
证明：f（x）关于x=a对称，则有f（-x）=f（2a+x）.f（x）关于x=b对称，则有f（-x）=f（2b+x）∴f（2a+x）=f（2b+x），∴f（x）是周期为2|a-b|的周期函数。
②定义在R上的函数f（x）若有两个对称中心（a，0），（b，0）则f（x）是周期函数，且2|a-b|是函数f（x）的一个周期。
证明：f（x）关于（a，0）对称，则f（-x）=-f（2a+x），f（x）关于 （b，0）对称，则f（-x）=-f（2b+x），∴f（2a+x）=f（2b+x），∴f（x）是周期函数。且2|a-b|是函数f（x）的一个周期。
③定义在R上的函数f（x）若有一个对称中心（a，0）和一条对称轴x=b，则f（x）是周期函数，且4|a-b|是函数f（x）的一个周期。
证明：f（x）关于（a，0）对称f（-x）=-f（2a+x），f（x）关于x=b对称，则f（-x）=f（2b+x），∴f（2b+x）=-f（2a+x），由前面结论可知，周期为2|2a-2b|=4|a-b|
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”