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【案例背景】
义务教育阶段的数学教学中，历来有一些核心内容像是课程改革的“晴雨表”——不同时期对这些课程的教与学，反映了我们对数学和数学教育的不同认识“有理数的乘法”就是这样一节课，曾经有人说，能够将“负负得正”讲清楚的老师一定是一位出色的数学老师。
“（-1）×（-1）=1”就这么难讲吗？许多专家发表过不同的见解，不同版本的教材也采取了不同的处理方式，共同的希望是使有理数乘法的教学更有逻辑意义和现实意义。不过，这种愿望在教学实践中似乎并不像预想的那么顺利。
【案例描述】
投课教师教学时采用了下面的问题情境。
首先呈现四个问题：将一只小虫现在的位置标记为原点，请根据前后几秒小虫的位置变化情况回答：
（1）若小虫每秒向右移动3cm，则4秒后在什么位置？ （2）若小虫每秒向左移动3cm，则4秒后在什么位置？（3）若小虫每秒向右移动3cm，则4秒前在什么位置？（4）若小虫每秒向左移动3cm，则4秒前在什么位置？
然后规定向右为正、向左为负；现在之后为正、之前为负，并让学生用有理数表示每组问题中的数量，再用运算符号连接起来，就会获得如下4个算式：
1.（+3）×（+4）=+12； 2.（-3）×（+4）=-12；
3.（+3）×（-4）=-12； 4.（-3）×（-4）=+12。
进一步通过观察概括出有理数乘法的法则。之后是巩固练习。
这位教师讲完后，大家普遍认为其结构严谨、设计合理，注重了数学知识产生的现实意义。但这些赞许却被课后一位学生的追问打断了，学生问：“如果我们规定向右为正、向左为负；但同时规定现在之后为负、之前为正，那么小虫每秒向左移动3cm，则4秒后的位置不就可以用算式（-3）×（-4）=-12表示了。”是啊，方向与时间的正负本来就是一种规定，更关键的是这两组量是互不干涉的——也就是它们的正负表示是相对独立的，一组量的规定方式并不能影响另一组量。可见，学生说的非但无稽之谈，甚至无懈可击！
【案例反思】
通过前面的探讨不难看出，“有理数的乘法法则”并非现实问题的客观描述一一这就是说，我们不能依赖现实背景彻底解释法则的合理性，除非强加上我们的主观规定。那么这个法则到底是怎样来的呢？我们不妨看看美国杰出的数学家R·柯朗（Richard Courant，1888—1972）在其名著《what Is Mathematics》中的论述：“引进有理数，除了有其‘实际’原因外，还有一个更内在的，从某些方面来看甚至是更为迫切的理由……在通常的自然数的算术中，我们总能进行两个基本运算：加法和乘法。但是逆运算减法和除法并不总是可行的。引入负数保证了减法能在正整数和负整数范围内无限制地进行。当然我们必须定义它们的运算，使得算术运算原有的规律保持不变。例如，我们对负数乘法规定（-1）×（-1）=l。
这是我们希望保持分配律。a（b+c）=ab+ac的结果。因为如果我们让（-1）×（-1）=-1，令a=-1，b=l，c=-1，就会有（-1）×（l-1）=-1-1=-2，可另一方面我们实际上有（-1）×（l-1）=（-1）×0=0
对数学家来说，经过了很长的一段时间才认识到这个符号规则以及负数、分数所服从的其他运算法则是不能加以证明的。它们是我们创造出来的，为的是在保持算术基本规律的条件下是运算能够自如。
由此可见，有理数乘法的法则本质上是一种规定。当然，这种规定我们之所以感觉是合理的，是因为它没有违背原有的正数乘法的基本规则，相关的运算律也能得到实施。所以，有理数乘法法则的确定，更多地是关注了数学自身的继承和发展，使之达到“向下兼容”的效果，很好地体现了数学体系发展所必需的“自治性”
从数学发展的历史上看，数学家普遍接受一种"新"数，主要依赖于算法的合理性。而作为算法系统，总是把算法的无矛盾性放在首位的，这是数学推广过程中的一个一般性的原则。正如伟大的数学史家M-克莱因（Morris Kline，1908—1992）指出的“通过这些记号，代数中极其有用的一部分便建立起来了。它依赖于一件必须用经验来检验的事实，即代数的一般规则可以应用于这些式子，而不会导致任何错误的结果”
当然，在初等数学的学习阶段，我们努力将数学上“冰冷”的规定转化为学生“火热”的思考，实现从学术形态的数学向教育形态的数学转变，是数学教育的一个重要方式。那么，如何才能使有理数乘法的教学既具有现实意义，又具有逻辑意义，还能兼顾其合理性与自治性呢？针对前面教师的设计，我想，在我们利用现实情境获得法则后，可以提出如下的问题“这样规定有理数乘法法则，对原来的正数乘法有影响吗？运算律还能使用吗？”这样的问题，让学生对法则的自治性有适当的认识。
我们怎样认识数学教学的问题，首先是我们怎样认识数学的问题，只有正确把握数学知识的本质，恰当选择有效的教学形式，才能把发展学生思维、提高学生能力真正落到实处。
（作者单位：江苏省徐州市睢宁高集中学）
义务教育阶段的数学教学中，历来有一些核心内容像是课程改革的“晴雨表”——不同时期对这些课程的教与学，反映了我们对数学和数学教育的不同认识“有理数的乘法”就是这样一节课，曾经有人说，能够将“负负得正”讲清楚的老师一定是一位出色的数学老师。
“（-1）×（-1）=1”就这么难讲吗？许多专家发表过不同的见解，不同版本的教材也采取了不同的处理方式，共同的希望是使有理数乘法的教学更有逻辑意义和现实意义。不过，这种愿望在教学实践中似乎并不像预想的那么顺利。
【案例描述】
投课教师教学时采用了下面的问题情境。
首先呈现四个问题：将一只小虫现在的位置标记为原点，请根据前后几秒小虫的位置变化情况回答：
（1）若小虫每秒向右移动3cm，则4秒后在什么位置？ （2）若小虫每秒向左移动3cm，则4秒后在什么位置？（3）若小虫每秒向右移动3cm，则4秒前在什么位置？（4）若小虫每秒向左移动3cm，则4秒前在什么位置？
然后规定向右为正、向左为负；现在之后为正、之前为负，并让学生用有理数表示每组问题中的数量，再用运算符号连接起来，就会获得如下4个算式：
1.（+3）×（+4）=+12； 2.（-3）×（+4）=-12；
3.（+3）×（-4）=-12； 4.（-3）×（-4）=+12。
进一步通过观察概括出有理数乘法的法则。之后是巩固练习。
这位教师讲完后，大家普遍认为其结构严谨、设计合理，注重了数学知识产生的现实意义。但这些赞许却被课后一位学生的追问打断了，学生问：“如果我们规定向右为正、向左为负；但同时规定现在之后为负、之前为正，那么小虫每秒向左移动3cm，则4秒后的位置不就可以用算式（-3）×（-4）=-12表示了。”是啊，方向与时间的正负本来就是一种规定，更关键的是这两组量是互不干涉的——也就是它们的正负表示是相对独立的，一组量的规定方式并不能影响另一组量。可见，学生说的非但无稽之谈，甚至无懈可击！
【案例反思】
通过前面的探讨不难看出，“有理数的乘法法则”并非现实问题的客观描述一一这就是说，我们不能依赖现实背景彻底解释法则的合理性，除非强加上我们的主观规定。那么这个法则到底是怎样来的呢？我们不妨看看美国杰出的数学家R·柯朗（Richard Courant，1888—1972）在其名著《what Is Mathematics》中的论述：“引进有理数，除了有其‘实际’原因外，还有一个更内在的，从某些方面来看甚至是更为迫切的理由……在通常的自然数的算术中，我们总能进行两个基本运算：加法和乘法。但是逆运算减法和除法并不总是可行的。引入负数保证了减法能在正整数和负整数范围内无限制地进行。当然我们必须定义它们的运算，使得算术运算原有的规律保持不变。例如，我们对负数乘法规定（-1）×（-1）=l。
这是我们希望保持分配律。a（b+c）=ab+ac的结果。因为如果我们让（-1）×（-1）=-1，令a=-1，b=l，c=-1，就会有（-1）×（l-1）=-1-1=-2，可另一方面我们实际上有（-1）×（l-1）=（-1）×0=0
对数学家来说，经过了很长的一段时间才认识到这个符号规则以及负数、分数所服从的其他运算法则是不能加以证明的。它们是我们创造出来的，为的是在保持算术基本规律的条件下是运算能够自如。
由此可见，有理数乘法的法则本质上是一种规定。当然，这种规定我们之所以感觉是合理的，是因为它没有违背原有的正数乘法的基本规则，相关的运算律也能得到实施。所以，有理数乘法法则的确定，更多地是关注了数学自身的继承和发展，使之达到“向下兼容”的效果，很好地体现了数学体系发展所必需的“自治性”
从数学发展的历史上看，数学家普遍接受一种"新"数，主要依赖于算法的合理性。而作为算法系统，总是把算法的无矛盾性放在首位的，这是数学推广过程中的一个一般性的原则。正如伟大的数学史家M-克莱因（Morris Kline，1908—1992）指出的“通过这些记号，代数中极其有用的一部分便建立起来了。它依赖于一件必须用经验来检验的事实，即代数的一般规则可以应用于这些式子，而不会导致任何错误的结果”
当然，在初等数学的学习阶段，我们努力将数学上“冰冷”的规定转化为学生“火热”的思考，实现从学术形态的数学向教育形态的数学转变，是数学教育的一个重要方式。那么，如何才能使有理数乘法的教学既具有现实意义，又具有逻辑意义，还能兼顾其合理性与自治性呢？针对前面教师的设计，我想，在我们利用现实情境获得法则后，可以提出如下的问题“这样规定有理数乘法法则，对原来的正数乘法有影响吗？运算律还能使用吗？”这样的问题，让学生对法则的自治性有适当的认识。
我们怎样认识数学教学的问题，首先是我们怎样认识数学的问题，只有正确把握数学知识的本质，恰当选择有效的教学形式，才能把发展学生思维、提高学生能力真正落到实处。
（作者单位：江苏省徐州市睢宁高集中学）