【摘 要】
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线性二次（LQ）最优控制是现代控制理论的核心基础与基本问题之一,在工程、经济等领域中具有重要应用.半个多世纪以来,LQ控制得到了人们持续广泛的研究,但是至今仍有一些基本问题存在挑战,其中奇异LQ控制问题（正则/非正则控制）就是挑战问题之一.具体来讲,奇异LQ控制是指二次性能指标中控制加权矩阵奇异,在这种情况下导致部分控制器不可解,即Riccati方程非正则.通过提出具有基础创新的正倒向微分方程（F
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线性二次（LQ）最优控制是现代控制理论的核心基础与基本问题之一,在工程、经济等领域中具有重要应用.半个多世纪以来,LQ控制得到了人们持续广泛的研究,但是至今仍有一些基本问题存在挑战,其中奇异LQ控制问题（正则/非正则控制）就是挑战问题之一.具体来讲,奇异LQ控制是指二次性能指标中控制加权矩阵奇异,在这种情况下导致部分控制器不可解,即Riccati方程非正则.通过提出具有基础创新的正倒向微分方程（FBDEs）解耦求解的方法,得到了非正则LQ控制可解的充要条件及显式解析解,由此揭示了正则与非正则控制的本质区别,即状态终端需要满足一定的约束条件.在此基础上,将结果应用于有限时间镇定问题的研究,得到了系统正则/非正则有限时间优化镇定的结果.同时研究了带有加性噪声和乘性噪声的随机非正则LQ控制问题,得到了最优控制的显式解.本文的另外一个贡献是将正则控制器设计（奇异控制）应用于趋同控制和跟踪控制.对于趋同控制,设计的最优趋同控制策略,不仅可以使系统达到均方趋同,而且可以最小化性能指标;对于跟踪控制,得到了有限时域最优跟踪控制器的解析形式,以及无限时域稳定最优控制器的解析表达.与已有结果要求控制加权矩阵正定不同,本文研究更一般的奇异情形,充分利用正则控制器的自由项,解决了最优趋同和跟踪控制问题.本文得到的正则/非正则控制方法具有重要的科学意义,完善和发展了 LQ控制理论,为解决网络控制、博弈控制奠定理论基础.具体研究内容和研究成果按章节顺序结构如下:1.研究了确定非正则LQ控制及其在有限时间镇定中的应用.基于确定系统正则/非正则最优控制的结果,分别得到了连续时间系统Γ-有限时间镇定以及镇定且最优问题开环可解的充要条件和闭环可解的充分条件,其中开环可解等价为两个矩阵的值域满足相应的包含关系,闭环解通过状态反馈的形式给出.特别地,系统Γ-有限时间可镇定可推出非正则最优控制问题可解.2.研究了随机非正则LQ控制问题.在加性噪声和乘性噪声同时存在的情况下,标准二次性能指标下的非正则最优控制问题不可解,通过定义状态终端期望乘积的终端二次指标,将问题转化为一类特殊的非正则平均场控制问题.利用极大值原理,该优化问题的可解性转化为FBDEs的求解.通过引入Riccati方程,创新性地得到了FBDEs的解析解,即建立了伴随状态与状态、状态期望之间的非齐次关系,由此得到了随机非正则最优控制的可解条件以及最优控制器的形式.3.研究了正则最优控制在多智能体趋同控制中的应用.对于带有依赖于状态和控制输入的乘性噪声It?随机系统,在相对状态反馈的趋同协议下,创新性地提出了参数化代数Riccati方程可解的临界参数,由此设计趋同增益,得到了多智能体系统达到均方趋同的条件.进而,利用正则控制器的自由项,给出正则情况下It?随机多智能体系统的最优趋同控制条件.4.研究了正则最优控制在跟踪控制中的应用.对于带有输入时滞和乘性噪声的It?随机系统,利用极大值原理,将最优跟踪控制问题的可解性等价为时滞FBDEs的求解问题.通过提出耦合的类Riccati方程,创新性地建立了倒向与正向随机过程之间的非齐次关系,由此给出了正则情况下跟踪控制的可解条件以及最优控制器的解析形式.
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