论文部分内容阅读
在n维微分几何中，基本的几何结构和性质常常用爱因斯坦求和约定的带指标函数局部刻画。这种函数的符号计算虽然是计算机代数里最古老的研究课题之一，但由于现有的任何代数框架都无法适用，直到现在也没有一个完全的算法来判定涉及不同坐标系的任意两个指标多项式是否相等。这是计算机代数里的一个挑战性问题。
本文的第一部分就是研究涉及不同坐标系的指标多项式相等判定问题的，针对一种典型的框架：当涉及的坐标变换矩阵的偏导不超过二次时(例如普通的曲率和挠率的局部计算)，提出了一个能消去指标多项式中所有冗余指标的消元算法，以及一个将指标多项式化为标准型，从而能完全判定两个指标多项式是否相等的算法。在Maple10中实现了以上算法，并用于研究微分几何中的张量判定等坐标变换下的规律问题。
本文的第二部分对微分几何和物理中广泛应用的黎曼张量指标单项式，研究其标准型的完全分类问题。针对所有指标都是哑指标，称为Sakai类型的黎曼张量指标单项式，通过引入指标结构图，给出了当带指标函数个数不大于5时的标准型的完全分类(正交不变量)及标准化为正交不变量线性组合的算法，并应用到推导黎曼几何中Lichnerowicz公式。