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【摘要】数学学习的实质是对数学知识的建构、是学生亲自将实际问题抽象成数学模型并进行解释和应用、是学生的思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展的过程。高中课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动,让学生体验数学发现和创造的历程,发展他们的创新意识。本文主要从数学课堂教学实践讨论如何在高中数学课堂教学中展开探究式教学。(1)创设问题情境,培养问题意识;(2)搭建认知脚手架，促进问题解决; (3)关注学科整合，培育探究精神
【关键词】探究 ；问题 ；能力；课堂教学实践
In high school mathematics classroom instruction inquisition type teaching practice
Liu Yaning
【Abstrac】Mathematics study's essence is to mathematics knowledge construction, is the student becomes the actual problem the mathematical model and carries on explains and applies, is abstractly personally student's power of thought that the emotion manner and the values and so on obtains variously the progress and the development process. The high school curriculum should make every effort through each different form independent study, inquisition, lets the student experience mathematics discovery and the creation course, develops their innovative ideology. How does this article mainly discuss from mathematics classroom instruction practice launches the inquisition type teaching in the high school mathematics classroom instruction. (1) establishment question situation, raises the question consciousness; (2) build cognition scaffold, promotion question solution; (3) attention discipline conformity, the cultivation inquires into the spirit
【Key words】Inquisition; Question; Ability; Classroom instruction practice
所谓探究式教学，就是以探究为主的教学。具体说它是指教学过程是在教师的启发诱导下，以学生独立自主学习和合作讨论为前提，以现行教材为基本探究内容，以学生周围世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑尝试活动，将自己所学知识应用于解决实际问题的一种教学形式。探究式课堂教学特别重视开发学生的智力，发展学生的创造性思维，培养自学能力，力图通过自我探究引导学生学会学习和掌握科学方法，为终身学习和工作奠定基础。教师作为探究式课堂教学的导师，其任务是调动学生的积极性，促使他们自己去获取知识、发展能力，做到自己能发现问题、提出问题、分析问题、解决问题；与此同时，教师还要为学生的学习设置探究的情境，建立探究的氛围，促进探究的开展，把握探究的深度，评价探究的成败。学生作为探究式课堂教学的主人，自然是根据教师提供的条件，明确探究的目标，思考探究的问题，掌握探究的方法，敞开探究的思路，交流探究的内容，总结探究的结果。探究式课堂教学是教师和学生双方都参与的活动，他们都将以导师和主人的双重身份进人探究式课堂。《普通高中数学课程标准（实验）》中，特别强调学生学习方式的改变，提倡探究式学习。本文主要从数学课堂教学实践讨论如何在高中数学课堂教学中展开探究式教学。
1创设问题情境,培养问题意识
在数学探究学习活动中，教师首先必须把学生学习的内容巧妙的转化为数学问题情境。但，并不是任何问题都能激起学生有效学习的心向的。教师创设数学问题情境的方法很多，可以从数学与社会的结合点来创设数学问题情境，也可以利用数学的认知矛盾来创设数学问题情境，还可以将教材中的先定理后应用的实际问题，调换为从应用题开始的问题情境创设，以突出“问题解决——数学建模——解决问题”的探究过程等等。总之, 教师要营造一种宽松的探究心向,使问题呈现巧而生趣,准而能思,找准创新思维训练与教材内容之间的结合点
例如：
容易知道,正弦函数y=sinx是奇函数,正弦曲线关于原点对称,即原点是正弦函数的对称中心.除原点外,正弦曲线还有其他对称中心吗?如果有,对称中心的坐标是什么?另外,正弦曲线是轴对称图形吗?
如果是,对称轴的方程是什么?
你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗?
对余弦函数和正切函数,讨论上述同样的问题.
课堂教学中通过对正弦曲线的图象特征的探究,观察发现正弦函数除原点外,还有其他对称中心,由
正弦函数的周期性可知,其对称中心的坐标为(kπ,0),k∈Z同时也是轴对称图形,其对称轴方程为
x=kπ+π/2,k∈Z.
由余弦函数和正切函数的图象和周期性,余弦曲线的对称中心坐标为(π/2+kπ,0)k∈Z,对称轴的方程是x=kπ,k∈Z;正切函数的对称中心为(kπ/2］,0)k∈Z,正切曲线不是轴对称图形.
在课堂教学中,教师可引导学生作问题探究,进一步概括出如下结论:
(1)正弦曲线、余弦曲线的对称中心都是曲线与x轴的交点,即平衡点:其对称轴都正好是使正弦或余弦函数值取到最大(小)值.
(2)正切曲线的对称中心包括曲线与x轴的交点,还包括一些其他在x轴上的点.
这样对于研究函数y=Asin(ωx+φ)+B、y=Acos(ωx+φ)+B的对称性就比较有益.最后归纳发现研究三角函数的对称性的基本思路是:利用三角函数的图象和周期性来研究其对称性.
从学生认知的最近发展区设计问题，在解决实际问题过程中通过情境的探索, 不断产生新问题; 已解决的问题又成为提出新问题的情境,（当然在探究的过程中，部分学生也很自然想到了利用三角形面积为工具，利用平面向量为工具来证明） 从而引发在深一层次上去提出问题,进而去解决问题,最终达到问题解决。
2 搭建认知脚手架，促进问题解决
维果斯基认为，在测定儿童智力发展时，应至少确定儿童的两种发展水平：一是儿童现有的发展水平，一种是潜在的发展水平，这两种水平之间的区域称为“最近发展区”。教学应从儿童潜在的发展水平开始，不断创造新的“最近发展区”。认知脚手架应根据学生的“最近发展区”来建立，通过脚手架作用不停地将学生的智力从一个水平引导到另一个更高的水平，探究新问题需要知识的固着点,问题本身与固着点的“潜在距离”愈远,一般说来探究的难度就愈高。由此可见,知识、经验是探究能力的基础,不能离开一定的知识、经验的丰富度去强调探究能力。“脚手架”的设计和给出的关键是要把握探究的新问题与学生原有知识固着点之间的距离“度
例如：
在函数的单调性的“探究”问题.
画出反比例函数y=1/x的图象.
(1)这个函数的定义域I是什么?
(2)它在定义域I上的单调性是怎样的?证明你的结论.
学生按步完成这个探究,用描点法画出函数的图象,写出它的定义域,说出它的单调性,并用定义加
以证明.教师指导学生探究,并及时作出概括和评价,共同归纳出探究过程的四个部分,即画图象、写出定义域、判断单调性、证结论,强调整个过程的难点重点即在单调性证明中要注意到分式问题变形方法,一般是通分,对作差比较中的代数式的符号都要作出说明,不等式两边同乘以一个负数时其不等式方向要改变等.
设问1:你能说函数y=1/x是减函数吗?
强调指出函数的单调性的本质及其单调区间不能求并的根据.
设问2:函数y=k/x(k>0)具有怎样的单调性?
引导学生通过几何画板作出函数的图象,改变参数k(k>0)使图象呈现出优美的动态曲线,得到函数的单调性,再用定义加以证明.
设问3:那反比例函数y=k/x(k≠0)的单调性呢?
提示学生注意对系数k>0和k<0的分类讨论.
设问4:请运用上述研究函数的单调性的方法进行函数y=x+t/x的单调性的研究.
虽然这个问题有一定的难度,但在上面的探究方法指引下,学生还是比较容易上手的,先取t=1特殊化进行研究的尝试,四个过程按步骤完成.跳一跳就摘到了桃子,强化了自主探究的成功感.同时也为下一小节的例题中出现的f(x)=x+1/x奇偶性的判断埋下伏笔.再取t>0和t<0分类完成.
教师通过“弱化”的问题1和问题2将问题转化到学生的最近发展区内，方程段(下一个)部分1由于学生的最近发展区是不断变化的，学生解决了问题2，就说明学生的潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在新的现有发展水平基础上教师提出了问题3，学生解决了问题3，他们潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在此基础上教师提出了问题4，这个案例的设计体现教师搭“脚手架”的作用不可低估,教师自始至终都应坚持“道而弗牵,强而弗抑,开而弗达”(《礼记•学记》) ,诱导学生自己探究数学结论, 处理好“放”与“扶”的关系。
3 关注学科整合，培育探究精神
高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合，两者的整合不但有利学生认识数学的本质，而且有利培育学生求知、求实、进取的探究精神。在教学实践中，我们可以指导学生运用现代信息技术建立“数学实验室”．对某一数学问题或现象，主动探索，通过实验研究构建新知识。函数是中学阶段重要部分，其抽象的概念与性质比较难理解，特别是有关图像的初等变换问题。例如：在教高一三角函数部分内容的知识时，发现学生对平移变换、翻折变换等知识点难以理解，只会死记硬背。通过手动描点画图来研究，很费时，并且影响学生从数形结合的角度进行观察、对比与思考，很难找出数形两种表达式之间的联系，于是决定让学生自己动手探究。
例如：
问题1：函数y=f(x)的图像与函数y=f(x+a)、y=f(x)+b、y=f(|x|)、y=|f(x)|的图像之间关系如何?
问题2：a．b及绝对值对图像有什么影响?试用计算机探究。
引导学生将y=f(x)具体化，让学生取一定数量、不同情况的函数图像作为研究对象，进行尝试。如取y=f(x)=2x，y=f(x)=22-1等，让学生自己用计算机大量作图探究在同一坐标系中依次作出y=f(x)与y=f(x+1)；y=f(x)与y=f(x-1)；y=f(x)与y=f(x)+1；y=f(x)与y=f(x)-1；y=f(x)与y=f(|x|)；y=f(x)与y=|f(x)|的图像。这里强调要有规律地选取函数，不要盲目随意画图。
学生多次尝试后有了感性认识．再分组讨论、分析，提出假设(猜想规律)，让学生用熟悉的函数实证。然后小组交流，让学生深入地理解知识，得出规律，解答问题。再顺势让学生思考：
问题3：y=f(x)与y=f(x+a)+b、y=f(kx)、y=kf(x)的图像关系。最后让学生对研究过程反思：刚才是如何研究的?对我们解数学问题有哪些启发?结论是否还可以引申推广?是否还可以验证其他函数图像之间的关系(如互为反函数图像之间关系等)?通过反思，学生认识到利用现代信息技术研究数学问题方便简洁、效果好。
问题4：研究函数y=f(x)与y=f(-x)、y=-f(x)、y=-f(-x)的图像之间的关系(对称变换问题)。（课后思考题）
从学生作业反映出出来他们已有效地掌握这种探究方法，而且掌握了函数图像的变换问题；学生经历了数学的构建过程和数学经验的积累过程，更深地理解数学的本质和学习数学的成功经验。
4 建议与反思
培养学生的探究意识和探索能力是长期的、日集月累的，应融入日常的课堂教学之中。教师应改变传统的教学理念，学习新的教育教学理论，以适应当前的教育发展的形势。笔者认为培养学生的探究精神和探索能力，应注意处理好以下五个关系：处理好师生、生生之间的关系；处理好知识、技能和能力之间的关系；处理和培养与之相关的各种能力之间的关系；处理好课内与课外的关系；处理好学科之间的关系。
【关键词】探究 ；问题 ；能力；课堂教学实践
In high school mathematics classroom instruction inquisition type teaching practice
Liu Yaning
【Abstrac】Mathematics study's essence is to mathematics knowledge construction, is the student becomes the actual problem the mathematical model and carries on explains and applies, is abstractly personally student's power of thought that the emotion manner and the values and so on obtains variously the progress and the development process. The high school curriculum should make every effort through each different form independent study, inquisition, lets the student experience mathematics discovery and the creation course, develops their innovative ideology. How does this article mainly discuss from mathematics classroom instruction practice launches the inquisition type teaching in the high school mathematics classroom instruction. (1) establishment question situation, raises the question consciousness; (2) build cognition scaffold, promotion question solution; (3) attention discipline conformity, the cultivation inquires into the spirit
【Key words】Inquisition; Question; Ability; Classroom instruction practice
所谓探究式教学，就是以探究为主的教学。具体说它是指教学过程是在教师的启发诱导下，以学生独立自主学习和合作讨论为前提，以现行教材为基本探究内容，以学生周围世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑尝试活动，将自己所学知识应用于解决实际问题的一种教学形式。探究式课堂教学特别重视开发学生的智力，发展学生的创造性思维，培养自学能力，力图通过自我探究引导学生学会学习和掌握科学方法，为终身学习和工作奠定基础。教师作为探究式课堂教学的导师，其任务是调动学生的积极性，促使他们自己去获取知识、发展能力，做到自己能发现问题、提出问题、分析问题、解决问题；与此同时，教师还要为学生的学习设置探究的情境，建立探究的氛围，促进探究的开展，把握探究的深度，评价探究的成败。学生作为探究式课堂教学的主人，自然是根据教师提供的条件，明确探究的目标，思考探究的问题，掌握探究的方法，敞开探究的思路，交流探究的内容，总结探究的结果。探究式课堂教学是教师和学生双方都参与的活动，他们都将以导师和主人的双重身份进人探究式课堂。《普通高中数学课程标准（实验）》中，特别强调学生学习方式的改变，提倡探究式学习。本文主要从数学课堂教学实践讨论如何在高中数学课堂教学中展开探究式教学。
1创设问题情境,培养问题意识
在数学探究学习活动中，教师首先必须把学生学习的内容巧妙的转化为数学问题情境。但，并不是任何问题都能激起学生有效学习的心向的。教师创设数学问题情境的方法很多，可以从数学与社会的结合点来创设数学问题情境，也可以利用数学的认知矛盾来创设数学问题情境，还可以将教材中的先定理后应用的实际问题，调换为从应用题开始的问题情境创设，以突出“问题解决——数学建模——解决问题”的探究过程等等。总之, 教师要营造一种宽松的探究心向,使问题呈现巧而生趣,准而能思,找准创新思维训练与教材内容之间的结合点
例如：
容易知道,正弦函数y=sinx是奇函数,正弦曲线关于原点对称,即原点是正弦函数的对称中心.除原点外,正弦曲线还有其他对称中心吗?如果有,对称中心的坐标是什么?另外,正弦曲线是轴对称图形吗?
如果是,对称轴的方程是什么?
你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗?
对余弦函数和正切函数,讨论上述同样的问题.
课堂教学中通过对正弦曲线的图象特征的探究,观察发现正弦函数除原点外,还有其他对称中心,由
正弦函数的周期性可知,其对称中心的坐标为(kπ,0),k∈Z同时也是轴对称图形,其对称轴方程为
x=kπ+π/2,k∈Z.
由余弦函数和正切函数的图象和周期性,余弦曲线的对称中心坐标为(π/2+kπ,0)k∈Z,对称轴的方程是x=kπ,k∈Z;正切函数的对称中心为(kπ/2］,0)k∈Z,正切曲线不是轴对称图形.
在课堂教学中,教师可引导学生作问题探究,进一步概括出如下结论:
(1)正弦曲线、余弦曲线的对称中心都是曲线与x轴的交点,即平衡点:其对称轴都正好是使正弦或余弦函数值取到最大(小)值.
(2)正切曲线的对称中心包括曲线与x轴的交点,还包括一些其他在x轴上的点.
这样对于研究函数y=Asin(ωx+φ)+B、y=Acos(ωx+φ)+B的对称性就比较有益.最后归纳发现研究三角函数的对称性的基本思路是:利用三角函数的图象和周期性来研究其对称性.
从学生认知的最近发展区设计问题，在解决实际问题过程中通过情境的探索, 不断产生新问题; 已解决的问题又成为提出新问题的情境,（当然在探究的过程中，部分学生也很自然想到了利用三角形面积为工具，利用平面向量为工具来证明） 从而引发在深一层次上去提出问题,进而去解决问题,最终达到问题解决。
2 搭建认知脚手架，促进问题解决
维果斯基认为，在测定儿童智力发展时，应至少确定儿童的两种发展水平：一是儿童现有的发展水平，一种是潜在的发展水平，这两种水平之间的区域称为“最近发展区”。教学应从儿童潜在的发展水平开始，不断创造新的“最近发展区”。认知脚手架应根据学生的“最近发展区”来建立，通过脚手架作用不停地将学生的智力从一个水平引导到另一个更高的水平，探究新问题需要知识的固着点,问题本身与固着点的“潜在距离”愈远,一般说来探究的难度就愈高。由此可见,知识、经验是探究能力的基础,不能离开一定的知识、经验的丰富度去强调探究能力。“脚手架”的设计和给出的关键是要把握探究的新问题与学生原有知识固着点之间的距离“度
例如：
在函数的单调性的“探究”问题.
画出反比例函数y=1/x的图象.
(1)这个函数的定义域I是什么?
(2)它在定义域I上的单调性是怎样的?证明你的结论.
学生按步完成这个探究,用描点法画出函数的图象,写出它的定义域,说出它的单调性,并用定义加
以证明.教师指导学生探究,并及时作出概括和评价,共同归纳出探究过程的四个部分,即画图象、写出定义域、判断单调性、证结论,强调整个过程的难点重点即在单调性证明中要注意到分式问题变形方法,一般是通分,对作差比较中的代数式的符号都要作出说明,不等式两边同乘以一个负数时其不等式方向要改变等.
设问1:你能说函数y=1/x是减函数吗?
强调指出函数的单调性的本质及其单调区间不能求并的根据.
设问2:函数y=k/x(k>0)具有怎样的单调性?
引导学生通过几何画板作出函数的图象,改变参数k(k>0)使图象呈现出优美的动态曲线,得到函数的单调性,再用定义加以证明.
设问3:那反比例函数y=k/x(k≠0)的单调性呢?
提示学生注意对系数k>0和k<0的分类讨论.
设问4:请运用上述研究函数的单调性的方法进行函数y=x+t/x的单调性的研究.
虽然这个问题有一定的难度,但在上面的探究方法指引下,学生还是比较容易上手的,先取t=1特殊化进行研究的尝试,四个过程按步骤完成.跳一跳就摘到了桃子,强化了自主探究的成功感.同时也为下一小节的例题中出现的f(x)=x+1/x奇偶性的判断埋下伏笔.再取t>0和t<0分类完成.
教师通过“弱化”的问题1和问题2将问题转化到学生的最近发展区内，方程段(下一个)部分1由于学生的最近发展区是不断变化的，学生解决了问题2，就说明学生的潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在新的现有发展水平基础上教师提出了问题3，学生解决了问题3，他们潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在此基础上教师提出了问题4，这个案例的设计体现教师搭“脚手架”的作用不可低估,教师自始至终都应坚持“道而弗牵,强而弗抑,开而弗达”(《礼记•学记》) ,诱导学生自己探究数学结论, 处理好“放”与“扶”的关系。
3 关注学科整合，培育探究精神
高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合，两者的整合不但有利学生认识数学的本质，而且有利培育学生求知、求实、进取的探究精神。在教学实践中，我们可以指导学生运用现代信息技术建立“数学实验室”．对某一数学问题或现象，主动探索，通过实验研究构建新知识。函数是中学阶段重要部分，其抽象的概念与性质比较难理解，特别是有关图像的初等变换问题。例如：在教高一三角函数部分内容的知识时，发现学生对平移变换、翻折变换等知识点难以理解，只会死记硬背。通过手动描点画图来研究，很费时，并且影响学生从数形结合的角度进行观察、对比与思考，很难找出数形两种表达式之间的联系，于是决定让学生自己动手探究。
例如：
问题1：函数y=f(x)的图像与函数y=f(x+a)、y=f(x)+b、y=f(|x|)、y=|f(x)|的图像之间关系如何?
问题2：a．b及绝对值对图像有什么影响?试用计算机探究。
引导学生将y=f(x)具体化，让学生取一定数量、不同情况的函数图像作为研究对象，进行尝试。如取y=f(x)=2x，y=f(x)=22-1等，让学生自己用计算机大量作图探究在同一坐标系中依次作出y=f(x)与y=f(x+1)；y=f(x)与y=f(x-1)；y=f(x)与y=f(x)+1；y=f(x)与y=f(x)-1；y=f(x)与y=f(|x|)；y=f(x)与y=|f(x)|的图像。这里强调要有规律地选取函数，不要盲目随意画图。
学生多次尝试后有了感性认识．再分组讨论、分析，提出假设(猜想规律)，让学生用熟悉的函数实证。然后小组交流，让学生深入地理解知识，得出规律，解答问题。再顺势让学生思考：
问题3：y=f(x)与y=f(x+a)+b、y=f(kx)、y=kf(x)的图像关系。最后让学生对研究过程反思：刚才是如何研究的?对我们解数学问题有哪些启发?结论是否还可以引申推广?是否还可以验证其他函数图像之间的关系(如互为反函数图像之间关系等)?通过反思，学生认识到利用现代信息技术研究数学问题方便简洁、效果好。
问题4：研究函数y=f(x)与y=f(-x)、y=-f(x)、y=-f(-x)的图像之间的关系(对称变换问题)。（课后思考题）
从学生作业反映出出来他们已有效地掌握这种探究方法，而且掌握了函数图像的变换问题；学生经历了数学的构建过程和数学经验的积累过程，更深地理解数学的本质和学习数学的成功经验。
4 建议与反思
培养学生的探究意识和探索能力是长期的、日集月累的，应融入日常的课堂教学之中。教师应改变传统的教学理念，学习新的教育教学理论，以适应当前的教育发展的形势。笔者认为培养学生的探究精神和探索能力，应注意处理好以下五个关系：处理好师生、生生之间的关系；处理好知识、技能和能力之间的关系；处理和培养与之相关的各种能力之间的关系；处理好课内与课外的关系；处理好学科之间的关系。