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关于直言三段论有效式的演绎推导，在国内各种各样的形式逻辑教材中，到目前为止尚未发现。在国外的一些形式逻辑专著中，仅有无条件成立的15个有效式的演绎推导，并且在推导过程中比我们多用一个基本规则，即“从两个全称前提不能得出特称结论”[1]。为了便于记忆和运用，国外一些逻辑学家赋予15个有效式以独特的名称，而国内对此却没有采取相应的便捷形式。关于直言三段论有效式的成立条件，一般认为有15个有效式无条件成立，有9个有效式只有在预设主项存在的情况下才成立。但也有人认为那9个有条件成立的有效式，只有在预设主项或谓项存在的情况下才成立[2]。并且，几乎都是一笔带过，缺少具体的证明过程。为此，笔者就直言三段论的有效式，谈如下几点看法。
一、直言三段论有效式的演绎推导和有序排列
直言三段论有三个直言命题，每个直言命题可以有四种类型（A、E、I、O），因而这三个直言命题有64种（4×4×4）可能组合。每一种组合可以有四个格，因此，直言三段论有256个（64×4）可能的形式。这些形式中绝大部分是无效的，根据直言三段论的基本规则、导出规则和“弱式规则”则可以排除违反了至少一条规则的形式，剩下的就是直言三段论的有效式。
（一）直言三段论规则
基本规则：1、中项至少要周延一次；2、前提中不周延的项，在结论中不得周延；3、从两个否定命题不能得出结论；4、若前提中有一个否定命题，则结论为否定命题；若结论为否定命题，则前提中必有一个否定命题。[3]导出规则：1、从两个特称命题不能必然得出结论；2、前提中有一个特称命题，则结论必为特称命题[3]。此外，如果预设主项或谓项存在，还有两个规则，为方便起见，姑且叫做“弱式规则”：1、“能够得出全称结论的也能够得出特称结论”[3]；2、特称前提能够得出的结论，全称前提也能够得出。
（二）直言三段论有效式的演绎推导和有序排列
直言三段论的结论可以有四种类型(A、E、I、O)。
如果直言三段论的结论是A命题，那么其前提不可能是E命题或O命题。因为如果两个前提均为否定命题，就不能得出结论（基本规则3）；如果仅有一个前提为否定命题，那么结论为否定命题（基本规则4）。所以，前提只能是A命题或I命题。这有四种可能情况：II、AI、IA和AA。第一种情况前提均为特称命题，不能必然得出结论（导出规则1）；第二和第三两种情况前提中都有一个特称命题，其结论必为特称命题（导出规则2）。显然只有第四种情况成立。这意味着前提和结论都是A命题,即AAA式。第二格AAA式中项都不周延，违反了基本规则1。第三格和第四格AAA式，小前提的谓项（小项）不周延而在结论中周延，违反了基本规则2。第一格AAA式符合所有规则，所以它是有效式。
如果直言三段论的结论是E命题，前提就只能是全称命题而不可能是特称命题。因为如果前提都是特称命题，就不能得出结论（导出规则1）；如果前提中仅有一个特称命题，则结论必为特称命题（导出规则2）。既然结论E命题是否定命题，前提中就必有一个否定命题（基本规则4），而又不可能是特称否定命题，所以前提中必有一个E命题。前提是全称命题并且有一个E命题，由此可知，前提的组合可能是AE或 EA。因此，在结论为E命题的情况下，可能正确的形式为AEE或EAE。如果是AEE式，就不可能是第一格和第三格。因为大项在前提中不周延而在结论中周延，违反了基本规则2。AEE式为第二格和第四格时，符合所有规则，因而是有效式。如果是EAE式，就不可能是第三格和第四格。因为小项在前提中不周延而在结论中周延，违反了基本规则2。EAE为第一格和第二格时，符合所有规则，因而是有效式。
如果直言三段论的结论是I命题，前提就不可能是否定命题。因为如果两个前提都为否定命题，则不能得出结论（基本规则3）；如果两个前提中有一个否定命题，则结论必为否定命题（基本规则4）。前提只能是肯定命题，其组合可能是II、IA、AI或AA。如果前提为II时，则不能得出结论（导出规则1）。因此，在结论为I命题的情况下，可能正确的形式为IAI、AII或AAI。如果是IAI式，第一格和第二格的中项都不周延，违反了基本规则1；第三格和第四格符合所有规则，因而是有效式。如果是AII式，第二格和第四格的中项都不周延，违反了基本规则1；在第一格和第三格中符合所有规则，因而是有效式。由于第一格AII式、第三格IAI式和AII式、第四格IAI式都是有效式（已证），再根据弱式规则2，可得AAI式是第一格、第三格和第四格的有效式。
如果直言三段论的结论是I命题，前提就不可能是否定命题。因为如果两个前提都为否定命题，则不能得出结论（基本规则3）；如果两个前提中有一个否定命题，则结论必为否定命题（基本规则4）。前提只能是肯定命题，其组合可能是II、IA、AI或AA。如果前提为II时，则不能得出结论（导出规则1）。因此，在结论为I命题的情况下，可能正确的形式为IAI、AII或AAI。如果是IAI式，第一格和第二格的中项都不周延，违反了基本规则1；第三格和第四格符合所有规则，因而是有效式。如果是AII式，第二格和第四格的中项都不周延，违反了基本规则1；在第一格和第三格中符合所有规则，因而是有效式。由于第一格AII式、第三格IAI式和AII式、第四格IAI式都是有效式（已证），再根据弱式规则2，可得AAI式是第一格、第三格和第四格的有效式。
如果直言三段论的结论是O命题，前提就必有一个否定命题（基本规则4）。这样，前提的组合可能是AE、EA、AO、OA、IE、EI、IO或OI。如果前提为IO或OI，则不能得出结论（导出规则1）。如果前提为IE，则大项在前提中不周延而在结论中周延，违反了基本规则2。前提为EI时，在四个格中都符合所有的规则，因而是四个格的有效式。再根据弱式规则2可得，前提为EA时也是四个格的有效式。AEE是第二格和第四格的有效式，根据弱式规则1可得，AEO也是其有效式。如果前提为AO，则在第一格和第三格中不是有效的，因为大项在前提中不周延而在结论中周延，违反了基本规则2.；在第四格中也不是有效式，因为两个中项都不周延，违反了基本规则1；在第二格中是有效式，因为它符合所有的规则。如果前提是OA，则在第二格和第四格中不是有效的，因为大项在前提中不周延而在结论中周延，违反了基本规则2；在第一格中，两个中项都不周延，违反了基本规则1；在第三格中是有效的，因为它符合所有的规则。
现在，我们把推导出来的24个有效式排列如下：
第一格： AAAEAE AII →(AAI) EIO→( EAO )
第二格： AOOEAE AEE →(AEO) EIO→( EAO)
第三格： OAOIAI AII → （AAI）EIO→（EAO）
第四格：（AAI）←IAI AEE → （AEO）EIO→（EAO）
二、直言三段论有效式的成立条件及其证明
上述排列中，加括号的9个三段论式的有效性是有条件的，其余15个式的有效性是无条件的，前者成立的具体条件如下：
第一格AAI、EAO式和第二格AEO 、 EAO式都预设小前提主项S存在。第三格：AAI、EAO式预设大、小前提主项M存在，第四格 EAO预设小前提主项M存在。第四格AEO 式预设小前提谓项S存在，第四格AAI 式 预设大前提主项P存在。
可以归纳为两点：一、除了第四格AEO式预设谓项存在以外，其余的8个式都预设主项存在；二、除了第三格AAI、EAO式和第四格EAO式预设中项存在，第四格AAI式预设大项存在以外，其余的5个式都预设小项存在。
现在，举几个例子运用谓词逻辑理论来加以证明。
第一格AAA式是无条件成立的，即不预设主项存在也是有效的。它在谓词逻辑中可以表示为：x(Mx→Px) ∧x(Sx→Mx) → x(Sx→Px)。其证明过程如下：
证明：（1） x(Mx→Px)A1
（2） x(Sx→Mx)A2
（3）Ma→Pa(1) , -
（4）Sa→Ma(2) , -
（5）Sa→Pa(3),(4),HS
（6）x(Sx→Px)(5) , ＋
第三格AAI式在谓词逻辑中可以表示为： x(Mx→Px) ∧x(Mx→Sx) →x(Sx∧Px)。如果不预设主项存在，它就不一定有效；如果预设主项存在，即增加一个前提xMx，它就是有效的。其证明过程如下：
x(Mx→Px) ∧x(Mx→Sx) ∧xMx→x(Sx∧Px)
证明： （1） x(Mx→Px) A1
（2）x(Mx→Sx) A2
（3） xMx A3
（4） Ma a ,(3) , -
（5） Ma→Pa（1） , -
（6） Ma→Sa（2）, -
（7） Paa ,（4） ,（5） ,MP
（8） Saa ,（4） ,（6） ,MP
（9） Sa∧Paa ,（7） ,（8） , ∧＋
（10） x(Sx∧Px)（9）, ＋
第四格AEO式在谓词逻辑里可以表示为：x(Px→Mx) ∧x(Mx→┐Sx) →x(Sx∧┐Px)。如果不预设小前提的谓项存在，它就不一定有效；如果预设小前提的谓项存在，即增加一个前提xSx，它就是有效的。其证明过程如下：
x(Px→Mx)∧x(Mx→┐Sx)∧xSx→x(Sx∧┐Px)
证明：（1）x(Px→Mx)A1
（2）x(Mx→┐Sx)A2
（3）xSxA3
（4） Saa ,（3） ,-
（5）Pa→Ma（1）, -
（6） Ma→┐Sa（2） , -
（7） ┐Maa ,（4）,（6）,MT
（8） ┐Paa ,（5）,（7）,MT
（9）Sa∧┐Pa a,（4）,（8）, ∧＋
（10） x(Sx∧┐Px)（9） , ＋
三、直言三段论有效式的排列规律及其排列的必要性
（一） 直言三段论有效式的排列规律
上述排列除了第一格AAA式、第二格AOO式和第三格OAO式之外，其余的都有规律可循：四个格都有EIO式和EAO式。根据弱式规则，第三列可以推出第四列，第五列可以推出第六列。第二列中间都是A命题，上面两个相同且左右都是E命题，下面两个也相同且左右都是I命题。第三列左边都是A命题，右边要么是I命题要么是E命题。
（二） 直言三段论有效式有序排列的必要性
国外一些逻辑学家赋予三段论有效式以独特的名称，每个名称都包含三个元音（按照大前提、小前提和结论的顺序），代表着三段论的格和式。例如，第一格AAA式被命名为Barbara，其元音依次为a、a、a。［1］但是，对于中国人来说，要记住15个外文名称，并且熟练地运用，也并非易事。
其次，我们从三段论的256个可能的形式中，根据三段论的基本规则（4个）、导出规则（2个）和弱式规则（2个），推导出24个有效式，其目的无非是使人们在言语或文本中实际运用三段论时更加便捷。如果难以记住三段论24个有效式，便不但不想方设法去记或索性认为不必去记，而且在言语或文本中实际运用三段论时，只运用三段论规则（包括12个特殊规则）[3]而将三段论有效式束之高阁，显然，这与我们的初衷是背道而驰的。如果能够发现三段论有效式之间的内在联系，并且按照其规律性加以排列，从而让人们轻轻松松地记住望而生畏的24个有效式，使其得到十分广泛的应用，进而凸显其应有的价值，这正是我们这样排列的意义之所在。
参考文献：
[1] [美] 欧文•M•柯匹，卡尔•科恩 著 • 张建军，潘天群 等
译•逻辑学导论[M]•中国人民大学出版社，2007•274-275
[2]唐晓嘉，涂德辉•逻辑学导论[M]•西南师范大学出版社，
2004•201
[3]何向东•逻辑学教程（第二版）［M］•高等教育出版
社，2004
一、直言三段论有效式的演绎推导和有序排列
直言三段论有三个直言命题，每个直言命题可以有四种类型（A、E、I、O），因而这三个直言命题有64种（4×4×4）可能组合。每一种组合可以有四个格，因此，直言三段论有256个（64×4）可能的形式。这些形式中绝大部分是无效的，根据直言三段论的基本规则、导出规则和“弱式规则”则可以排除违反了至少一条规则的形式，剩下的就是直言三段论的有效式。
（一）直言三段论规则
基本规则：1、中项至少要周延一次；2、前提中不周延的项，在结论中不得周延；3、从两个否定命题不能得出结论；4、若前提中有一个否定命题，则结论为否定命题；若结论为否定命题，则前提中必有一个否定命题。[3]导出规则：1、从两个特称命题不能必然得出结论；2、前提中有一个特称命题，则结论必为特称命题[3]。此外，如果预设主项或谓项存在，还有两个规则，为方便起见，姑且叫做“弱式规则”：1、“能够得出全称结论的也能够得出特称结论”[3]；2、特称前提能够得出的结论，全称前提也能够得出。
（二）直言三段论有效式的演绎推导和有序排列
直言三段论的结论可以有四种类型(A、E、I、O)。
如果直言三段论的结论是A命题，那么其前提不可能是E命题或O命题。因为如果两个前提均为否定命题，就不能得出结论（基本规则3）；如果仅有一个前提为否定命题，那么结论为否定命题（基本规则4）。所以，前提只能是A命题或I命题。这有四种可能情况：II、AI、IA和AA。第一种情况前提均为特称命题，不能必然得出结论（导出规则1）；第二和第三两种情况前提中都有一个特称命题，其结论必为特称命题（导出规则2）。显然只有第四种情况成立。这意味着前提和结论都是A命题,即AAA式。第二格AAA式中项都不周延，违反了基本规则1。第三格和第四格AAA式，小前提的谓项（小项）不周延而在结论中周延，违反了基本规则2。第一格AAA式符合所有规则，所以它是有效式。
如果直言三段论的结论是E命题，前提就只能是全称命题而不可能是特称命题。因为如果前提都是特称命题，就不能得出结论（导出规则1）；如果前提中仅有一个特称命题，则结论必为特称命题（导出规则2）。既然结论E命题是否定命题，前提中就必有一个否定命题（基本规则4），而又不可能是特称否定命题，所以前提中必有一个E命题。前提是全称命题并且有一个E命题，由此可知，前提的组合可能是AE或 EA。因此，在结论为E命题的情况下，可能正确的形式为AEE或EAE。如果是AEE式，就不可能是第一格和第三格。因为大项在前提中不周延而在结论中周延，违反了基本规则2。AEE式为第二格和第四格时，符合所有规则，因而是有效式。如果是EAE式，就不可能是第三格和第四格。因为小项在前提中不周延而在结论中周延，违反了基本规则2。EAE为第一格和第二格时，符合所有规则，因而是有效式。
如果直言三段论的结论是I命题，前提就不可能是否定命题。因为如果两个前提都为否定命题，则不能得出结论（基本规则3）；如果两个前提中有一个否定命题，则结论必为否定命题（基本规则4）。前提只能是肯定命题，其组合可能是II、IA、AI或AA。如果前提为II时，则不能得出结论（导出规则1）。因此，在结论为I命题的情况下，可能正确的形式为IAI、AII或AAI。如果是IAI式，第一格和第二格的中项都不周延，违反了基本规则1；第三格和第四格符合所有规则，因而是有效式。如果是AII式，第二格和第四格的中项都不周延，违反了基本规则1；在第一格和第三格中符合所有规则，因而是有效式。由于第一格AII式、第三格IAI式和AII式、第四格IAI式都是有效式（已证），再根据弱式规则2，可得AAI式是第一格、第三格和第四格的有效式。
如果直言三段论的结论是I命题，前提就不可能是否定命题。因为如果两个前提都为否定命题，则不能得出结论（基本规则3）；如果两个前提中有一个否定命题，则结论必为否定命题（基本规则4）。前提只能是肯定命题，其组合可能是II、IA、AI或AA。如果前提为II时，则不能得出结论（导出规则1）。因此，在结论为I命题的情况下，可能正确的形式为IAI、AII或AAI。如果是IAI式，第一格和第二格的中项都不周延，违反了基本规则1；第三格和第四格符合所有规则，因而是有效式。如果是AII式，第二格和第四格的中项都不周延，违反了基本规则1；在第一格和第三格中符合所有规则，因而是有效式。由于第一格AII式、第三格IAI式和AII式、第四格IAI式都是有效式（已证），再根据弱式规则2，可得AAI式是第一格、第三格和第四格的有效式。
如果直言三段论的结论是O命题，前提就必有一个否定命题（基本规则4）。这样，前提的组合可能是AE、EA、AO、OA、IE、EI、IO或OI。如果前提为IO或OI，则不能得出结论（导出规则1）。如果前提为IE，则大项在前提中不周延而在结论中周延，违反了基本规则2。前提为EI时，在四个格中都符合所有的规则，因而是四个格的有效式。再根据弱式规则2可得，前提为EA时也是四个格的有效式。AEE是第二格和第四格的有效式，根据弱式规则1可得，AEO也是其有效式。如果前提为AO，则在第一格和第三格中不是有效的，因为大项在前提中不周延而在结论中周延，违反了基本规则2.；在第四格中也不是有效式，因为两个中项都不周延，违反了基本规则1；在第二格中是有效式，因为它符合所有的规则。如果前提是OA，则在第二格和第四格中不是有效的，因为大项在前提中不周延而在结论中周延，违反了基本规则2；在第一格中，两个中项都不周延，违反了基本规则1；在第三格中是有效的，因为它符合所有的规则。
现在，我们把推导出来的24个有效式排列如下：
第一格： AAAEAE AII →(AAI) EIO→( EAO )
第二格： AOOEAE AEE →(AEO) EIO→( EAO)
第三格： OAOIAI AII → （AAI）EIO→（EAO）
第四格：（AAI）←IAI AEE → （AEO）EIO→（EAO）
二、直言三段论有效式的成立条件及其证明
上述排列中，加括号的9个三段论式的有效性是有条件的，其余15个式的有效性是无条件的，前者成立的具体条件如下：
第一格AAI、EAO式和第二格AEO 、 EAO式都预设小前提主项S存在。第三格：AAI、EAO式预设大、小前提主项M存在，第四格 EAO预设小前提主项M存在。第四格AEO 式预设小前提谓项S存在，第四格AAI 式 预设大前提主项P存在。
可以归纳为两点：一、除了第四格AEO式预设谓项存在以外，其余的8个式都预设主项存在；二、除了第三格AAI、EAO式和第四格EAO式预设中项存在，第四格AAI式预设大项存在以外，其余的5个式都预设小项存在。
现在，举几个例子运用谓词逻辑理论来加以证明。
第一格AAA式是无条件成立的，即不预设主项存在也是有效的。它在谓词逻辑中可以表示为：x(Mx→Px) ∧x(Sx→Mx) → x(Sx→Px)。其证明过程如下：
证明：（1） x(Mx→Px)A1
（2） x(Sx→Mx)A2
（3）Ma→Pa(1) , -
（4）Sa→Ma(2) , -
（5）Sa→Pa(3),(4),HS
（6）x(Sx→Px)(5) , ＋
第三格AAI式在谓词逻辑中可以表示为： x(Mx→Px) ∧x(Mx→Sx) →x(Sx∧Px)。如果不预设主项存在，它就不一定有效；如果预设主项存在，即增加一个前提xMx，它就是有效的。其证明过程如下：
x(Mx→Px) ∧x(Mx→Sx) ∧xMx→x(Sx∧Px)
证明： （1） x(Mx→Px) A1
（2）x(Mx→Sx) A2
（3） xMx A3
（4） Ma a ,(3) , -
（5） Ma→Pa（1） , -
（6） Ma→Sa（2）, -
（7） Paa ,（4） ,（5） ,MP
（8） Saa ,（4） ,（6） ,MP
（9） Sa∧Paa ,（7） ,（8） , ∧＋
（10） x(Sx∧Px)（9）, ＋
第四格AEO式在谓词逻辑里可以表示为：x(Px→Mx) ∧x(Mx→┐Sx) →x(Sx∧┐Px)。如果不预设小前提的谓项存在，它就不一定有效；如果预设小前提的谓项存在，即增加一个前提xSx，它就是有效的。其证明过程如下：
x(Px→Mx)∧x(Mx→┐Sx)∧xSx→x(Sx∧┐Px)
证明：（1）x(Px→Mx)A1
（2）x(Mx→┐Sx)A2
（3）xSxA3
（4） Saa ,（3） ,-
（5）Pa→Ma（1）, -
（6） Ma→┐Sa（2） , -
（7） ┐Maa ,（4）,（6）,MT
（8） ┐Paa ,（5）,（7）,MT
（9）Sa∧┐Pa a,（4）,（8）, ∧＋
（10） x(Sx∧┐Px)（9） , ＋
三、直言三段论有效式的排列规律及其排列的必要性
（一） 直言三段论有效式的排列规律
上述排列除了第一格AAA式、第二格AOO式和第三格OAO式之外，其余的都有规律可循：四个格都有EIO式和EAO式。根据弱式规则，第三列可以推出第四列，第五列可以推出第六列。第二列中间都是A命题，上面两个相同且左右都是E命题，下面两个也相同且左右都是I命题。第三列左边都是A命题，右边要么是I命题要么是E命题。
（二） 直言三段论有效式有序排列的必要性
国外一些逻辑学家赋予三段论有效式以独特的名称，每个名称都包含三个元音（按照大前提、小前提和结论的顺序），代表着三段论的格和式。例如，第一格AAA式被命名为Barbara，其元音依次为a、a、a。［1］但是，对于中国人来说，要记住15个外文名称，并且熟练地运用，也并非易事。
其次，我们从三段论的256个可能的形式中，根据三段论的基本规则（4个）、导出规则（2个）和弱式规则（2个），推导出24个有效式，其目的无非是使人们在言语或文本中实际运用三段论时更加便捷。如果难以记住三段论24个有效式，便不但不想方设法去记或索性认为不必去记，而且在言语或文本中实际运用三段论时，只运用三段论规则（包括12个特殊规则）[3]而将三段论有效式束之高阁，显然，这与我们的初衷是背道而驰的。如果能够发现三段论有效式之间的内在联系，并且按照其规律性加以排列，从而让人们轻轻松松地记住望而生畏的24个有效式，使其得到十分广泛的应用，进而凸显其应有的价值，这正是我们这样排列的意义之所在。
参考文献：
[1] [美] 欧文•M•柯匹，卡尔•科恩 著 • 张建军，潘天群 等
译•逻辑学导论[M]•中国人民大学出版社，2007•274-275
[2]唐晓嘉，涂德辉•逻辑学导论[M]•西南师范大学出版社，
2004•201
[3]何向东•逻辑学教程（第二版）［M］•高等教育出版
社，2004