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【摘 要】提出了一种二维logistic离散动力系统，讨论了系统参数对系统基本动力行为的影响，得到了相关的定理。同时对系统的分叉进行了分析，并通过数值示例进行仿真，对文中论述进行了强有力的验证。
【关键词】logistic映射；混沌系统；超浑沌系统；分叉
1. 引言 非线性动力系统大体分为连续系统和离散系统两大类，连续系统可以根据庞克莱截面方法转换为离散系统，所以对离散混沌系统的控制问题进行研究具有普遍意义。Logistic映射[1-3]是1976年由数学生态学家R. May在英国《自然》杂志上发表的一篇后来影响深广的综述中提出的，后来经过Feigenbaum的出色研究，得出系统一旦发生倍周期分岔[4-9]，必然导致混沌现象的产生。对于一维Logistic映射及其推广的形式，研究的比较早也比较详细。但是一维Logistic映射仅有一个自由度，利用它只能产生一条直线或者曲线，为了绘制一幅图像，至少需要两个及两个以上的自由度，为此就需要构造二维及更高维的系统，分析图形与吸引子的结构特征，探讨了图形与吸引子之间的联系等。文献[4，，5]对一类三维混沌系统研究了它的hopf分叉，文献[7]对同类的共轭lorenz系统进行了控制，文献[6]对一类耦合Logistic离散动力系统进行了动力学分析，研究了相应的分叉值等。在此基础上，本文对二维Logistic离散动力系统[6]。
xn+1=axn（1-λxn）
yn+1=（b+cxn）yn（1-λyn） （1）
进行了参数动力学分析，并对通过计算机对系统的在不同参数下的分叉作了仿真。
2. 参数分析 系统（1）的Jacobian矩阵为
J（x，y）=a（1-2λx） 0
cy（1-λy）（b+cx）（1-2λy） （2）
由于（2）式是对角的，所以可以给出Lyapunov指数为
定理1 n∈N ，当a∈[0，4λ]，x0∈[0，a4λ] ，则xn∈[0，a4λ]
定理2 n∈N ，当a∈[0，4λ] ，x0∈[0，a4λ] ，y0 ∈[0，4λb+ac16λ2]，b∈[0，4λ-ac4λ]， c ∈[0，16λ2a]，则yn∈[0，4λb+ac16λ2]
证明：当n=0 时，0≤y0 ≤4λb+ac16λ2，假设当n=k 时，有0≤yk ≤4λb+ac16λ2 ，下证当n=k+1 时，有0≤yk+1 ≤ 4λb+ac16λ2
因为16λ24λb+ac（b+cxk）yk（ 4λb+ac16λ2-yk）≥0，所以（b+cxk）yk（1- 16λ24λb+acyk）≥0，又因为0 yk+1 =（b+cxk）yk（1-16λ4b+acyk）-（b+cxk）（1-16λ4b+ac）y2k≥0
由于h（y）=（b+cx）y（1- λy）在y= 12λ处有最大值b+cx4λ ，即
h（y）≤h（12λ）≤4λb+ac16λ2
所以有yn∈[0，4λb+ac16λ2]
定理3 n∈N ，当a∈[0，4λ] ，x0∈[0，a4λ] ，y0 ∈[0，4λb+ac16λ2，b∈[0，4λ-ac4λ]， c ∈[0，16λ2a]，则‖（xn，yn）‖22≤16λ2a2+16λ2b2+8λabc+a2c2256λ4
定理4 当a∈[0，4λ] ，x0∈[0，a4λ] ，y0 ∈[0，4λb+ac16λ2，b∈[0，4λ-ac4λ]， c ∈[0，16λ2a]，则e2≤ln（4λb+ac+8λ2）（4λb+ac）32λ3
定理5 如果x0∈[0，a4λ] ，y0 ∈[0，4λb+ac16λ2]，b∈[0，λ2+2λ-λ-ac4λ]， c ∈[0，4λλ2+2λ-4λ2a]，（1）当a∈（0， 3λ）系统有不动点吸引子；（2）当a∈[3λ， 3.5699457λ]，系统有极限环；（3）当a∈（3.5699457λ， 4λ），系统是浑沌的。
证明：（1）当0 （2）当3λ≤a≤3.5699457λ ，0 （3）当3.5699457λ0，e2<0 ， ，即系统是浑沌的。
3. 数值仿真 分析复杂的非线性系统可用在相空间观察其轨道的方法。非线性系统随时间的演变将趋于维数比原来相空间低的极限集合——吸引子。通常的简单吸引子有不动点、极限环和环面，简单吸引子受参数的影响，随着参数的变化，简单吸引子可逐渐发展为奇怪吸引子，此时系统是混沌的。
令λ=1 ，从图1，图2，图4，可以看到当a=2 ，b=-2 ，c=2 时， x稳定到定点，而y收敛到一个周期4轨道；当a=3.2 ，b=3.5 ，c=0.5 时，x收敛到一个周期2轨道， y也收敛到一个周期24轨道；当a=3.6 ，b=-2 ，c=2 时， x达到浑沌状态，而y收敛到一个周期1轨道；当a=0.5 ，b=-2 ，c=2 时， x稳定到定点，而y达到浑沌状态。从图5可以看到，当a> 3.5699457，b=3.5 ，c=0.5 时， x和y都达到浑沌状态，即系统为超浑沌系统。从图3，图6中更能看到当a>3.5699457 ，b=4 ，c=-1 时，系统亦为超浑沌系统。
4. 结论 本文在经典logistic映射的基础上，提出了一种二维logistic离散动力系统，通过对系统参数变化的讨论，得到了有关系统基本动力行为随参数变化而被影响的几个定理。同时对该离散系统的分叉进行了分析，并通过数值示例进行仿真，对文中论述进行了强有力的验证。 参考文献
[1] Zengru D， Sanglier M. A two-dimensional logistic model for the interaction of demand and supply and its bifurcations[J]. Chaos， Solitons & Fractals， 1996，7（12）：2259？2266
[2] Hastings A. Complex interactions between dispersal and dynamics： Lessons from coupled logistic equations. Ecology， 1993， 74（5）：1362？1372
[3] 唐驾时，欧阳克俭. logistic 模型的倍周期分岔控制[J]. 物理学报，2006，55（9）：4437-4441
[4] 王震，毛鹏伟. 一类三维混沌系统的分叉及稳定性分析[J]. 动力学与控制学报. 2008， 6（1）： 16-21
[5] Wang Zhen. Bifurcation Analysis and Feedback Control of a 3D Chaotic System[J]. Analysis in Theory and Applications. 2007， 23（4）：343-353
[6] Wang， Xingyuan， Luo chao. Dynamic Analysis of the Coupled Logistic Map[J].Journal of software， 2006， 17（4）：729-739
[7] 周蕊，王震，毛鵬伟，于晓明. 一类三维混沌系统的自适应同步[J]. 陕西科技大学学报，2008，26（4）：123～126
[8] Zeraoulia Elhadj， J. C. Sprott. The effect of modulating a parameter in the logistic map[J]. Chaos， 2008， 18， 023119
[9] A. Nandi， D. Dutta， J. K. Bhattacharjee，R. Ramaswamy. The phasemodulated logistic map[J]. Chaos， 2005， 15， 023107
收稿日期：2012-09-15
【关键词】logistic映射；混沌系统；超浑沌系统；分叉
1. 引言 非线性动力系统大体分为连续系统和离散系统两大类，连续系统可以根据庞克莱截面方法转换为离散系统，所以对离散混沌系统的控制问题进行研究具有普遍意义。Logistic映射[1-3]是1976年由数学生态学家R. May在英国《自然》杂志上发表的一篇后来影响深广的综述中提出的，后来经过Feigenbaum的出色研究，得出系统一旦发生倍周期分岔[4-9]，必然导致混沌现象的产生。对于一维Logistic映射及其推广的形式，研究的比较早也比较详细。但是一维Logistic映射仅有一个自由度，利用它只能产生一条直线或者曲线，为了绘制一幅图像，至少需要两个及两个以上的自由度，为此就需要构造二维及更高维的系统，分析图形与吸引子的结构特征，探讨了图形与吸引子之间的联系等。文献[4，，5]对一类三维混沌系统研究了它的hopf分叉，文献[7]对同类的共轭lorenz系统进行了控制，文献[6]对一类耦合Logistic离散动力系统进行了动力学分析，研究了相应的分叉值等。在此基础上，本文对二维Logistic离散动力系统[6]。
xn+1=axn（1-λxn）
yn+1=（b+cxn）yn（1-λyn） （1）
进行了参数动力学分析，并对通过计算机对系统的在不同参数下的分叉作了仿真。
2. 参数分析 系统（1）的Jacobian矩阵为
J（x，y）=a（1-2λx） 0
cy（1-λy）（b+cx）（1-2λy） （2）
由于（2）式是对角的，所以可以给出Lyapunov指数为
定理1 n∈N ，当a∈[0，4λ]，x0∈[0，a4λ] ，则xn∈[0，a4λ]
定理2 n∈N ，当a∈[0，4λ] ，x0∈[0，a4λ] ，y0 ∈[0，4λb+ac16λ2]，b∈[0，4λ-ac4λ]， c ∈[0，16λ2a]，则yn∈[0，4λb+ac16λ2]
证明：当n=0 时，0≤y0 ≤4λb+ac16λ2，假设当n=k 时，有0≤yk ≤4λb+ac16λ2 ，下证当n=k+1 时，有0≤yk+1 ≤ 4λb+ac16λ2
因为16λ24λb+ac（b+cxk）yk（ 4λb+ac16λ2-yk）≥0，所以（b+cxk）yk（1- 16λ24λb+acyk）≥0，又因为0
由于h（y）=（b+cx）y（1- λy）在y= 12λ处有最大值b+cx4λ ，即
h（y）≤h（12λ）≤4λb+ac16λ2
所以有yn∈[0，4λb+ac16λ2]
定理3 n∈N ，当a∈[0，4λ] ，x0∈[0，a4λ] ，y0 ∈[0，4λb+ac16λ2，b∈[0，4λ-ac4λ]， c ∈[0，16λ2a]，则‖（xn，yn）‖22≤16λ2a2+16λ2b2+8λabc+a2c2256λ4
定理4 当a∈[0，4λ] ，x0∈[0，a4λ] ，y0 ∈[0，4λb+ac16λ2，b∈[0，4λ-ac4λ]， c ∈[0，16λ2a]，则e2≤ln（4λb+ac+8λ2）（4λb+ac）32λ3
定理5 如果x0∈[0，a4λ] ，y0 ∈[0，4λb+ac16λ2]，b∈[0，λ2+2λ-λ-ac4λ]， c ∈[0，4λλ2+2λ-4λ2a]，（1）当a∈（0， 3λ）系统有不动点吸引子；（2）当a∈[3λ， 3.5699457λ]，系统有极限环；（3）当a∈（3.5699457λ， 4λ），系统是浑沌的。
证明：（1）当0
3. 数值仿真 分析复杂的非线性系统可用在相空间观察其轨道的方法。非线性系统随时间的演变将趋于维数比原来相空间低的极限集合——吸引子。通常的简单吸引子有不动点、极限环和环面，简单吸引子受参数的影响，随着参数的变化，简单吸引子可逐渐发展为奇怪吸引子，此时系统是混沌的。
令λ=1 ，从图1，图2，图4，可以看到当a=2 ，b=-2 ，c=2 时， x稳定到定点，而y收敛到一个周期4轨道；当a=3.2 ，b=3.5 ，c=0.5 时，x收敛到一个周期2轨道， y也收敛到一个周期24轨道；当a=3.6 ，b=-2 ，c=2 时， x达到浑沌状态，而y收敛到一个周期1轨道；当a=0.5 ，b=-2 ，c=2 时， x稳定到定点，而y达到浑沌状态。从图5可以看到，当a> 3.5699457，b=3.5 ，c=0.5 时， x和y都达到浑沌状态，即系统为超浑沌系统。从图3，图6中更能看到当a>3.5699457 ，b=4 ，c=-1 时，系统亦为超浑沌系统。
4. 结论 本文在经典logistic映射的基础上，提出了一种二维logistic离散动力系统，通过对系统参数变化的讨论，得到了有关系统基本动力行为随参数变化而被影响的几个定理。同时对该离散系统的分叉进行了分析，并通过数值示例进行仿真，对文中论述进行了强有力的验证。 参考文献
[1] Zengru D， Sanglier M. A two-dimensional logistic model for the interaction of demand and supply and its bifurcations[J]. Chaos， Solitons & Fractals， 1996，7（12）：2259？2266
[2] Hastings A. Complex interactions between dispersal and dynamics： Lessons from coupled logistic equations. Ecology， 1993， 74（5）：1362？1372
[3] 唐驾时，欧阳克俭. logistic 模型的倍周期分岔控制[J]. 物理学报，2006，55（9）：4437-4441
[4] 王震，毛鹏伟. 一类三维混沌系统的分叉及稳定性分析[J]. 动力学与控制学报. 2008， 6（1）： 16-21
[5] Wang Zhen. Bifurcation Analysis and Feedback Control of a 3D Chaotic System[J]. Analysis in Theory and Applications. 2007， 23（4）：343-353
[6] Wang， Xingyuan， Luo chao. Dynamic Analysis of the Coupled Logistic Map[J].Journal of software， 2006， 17（4）：729-739
[7] 周蕊，王震，毛鵬伟，于晓明. 一类三维混沌系统的自适应同步[J]. 陕西科技大学学报，2008，26（4）：123～126
[8] Zeraoulia Elhadj， J. C. Sprott. The effect of modulating a parameter in the logistic map[J]. Chaos， 2008， 18， 023119
[9] A. Nandi， D. Dutta， J. K. Bhattacharjee，R. Ramaswamy. The phasemodulated logistic map[J]. Chaos， 2005， 15， 023107
收稿日期：2012-09-15