一道高考题的解法再探

• 作 者: 鲁虹
• 出 处: 数理化学习·高三版
• 发表日期: 2011年3期
• 关键词: 高考题 离心率 直线 椭圆 题目 解法 焦点 复习

　　本文给出2010年高考全国卷二的12题的多种解法，供复习参考.
　　题目 如图1，已知椭圆C：x2a2
　　+y2b2=1 (a>b>0)的离心率为
　　32，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A、B两点，若
　　AF=3FB，则k=( )
　　解析1：（韦达定理）设椭圆的焦距为2c,则F（c,0).由椭圆的离心率为
　　32，可得c2=
　　34a2,b2=
　　14a2.所以椭圆可化为x2+4y2=a2.
　　设直线AB的方程为y=k(x-c),与椭圆方程联立
　　y=k(x-c),
　　x2+4y2=a2,
　　得(4k2+1)x2-8k2cx+4k2c2-a2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有
　　x1+x2=8k2c4k2+1
　　,x1x2=4k2c2-a24k2+1.而
　　=（c-x1,-y1),FB
　　=(x2-c,y2),由AF
　　=3FB得x1+3x2=4c.而x1+3x2=(x1+x2)+2x2=
　　8k2c4k2+1+2x2=4c,得x2=
　　4k2c+2c4k2+1.
　　从而有x1=4k2c-2c4k2+1.将x1
　　、x2代入x1x2=
　　4k2c2-a24k2+1,可得k=2
　　(舍负），故选（B）.