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【摘要】数学教育的根本目的在于提高学生的数学素养，而数学能力是数学素养的核心构成要素.数学探究活动是以学生能主动发现问题、提出问题、分析问题以及解决问题为目的的学习活动，这种学习活动有三种形式，分为四个过程.开展探究活动的关键在于设计有价值的问题，学生在问题引导下大胆进行探究，在探究过程中，教师要给学生留出足够的探究时间并给予必要的指导.
【关键词】数学探究；设计问题；探究发现；问题解决
《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《课标（2011年版）》）指出：“数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用.”[1]数学教育的根本目的是提高学生的数学素养，而数学能力是数学素养的核心构成要素.在教学中，结合具体内容，引导学生积极开展探究活动是培养学生数学能力的主要途径.1对数学探究的再认识
数学探究是指学生在教师的启发诱导下，以独立自主学习和合作讨论为前提，以解决问题为探究内容，以学生能主动发现问题、提出问题、分析问题、解决问题为目的的学习活动.
1.1探究活动的基本形式
数学学习本身就是一个师生共同探究的过程，数学探究活动的主体是学生，从这个意义上讲，学生的探究活动可分为三种基本形式[2]：
（1）独立探究
独立探究是指学生个体对所探究的问题进行独立思考与探究，是探究活动的最基本形式.教学中对于一些较为简单的数学基础知识，我们可以通过创设一定的问题情境，引导学生独立思考与探究，在独立探究的过程中自主发现有关知识，完成对《课标（2011年版）》界定的数学基础知识的学习.
（2）合作探究
合作探究是在合作学习的前提下进行的，是指学习小组内学生之间对探究问题共同进行探究活动，合作探究一般是在学生已经经过独立探究活动，但探究的问题仍得不到很好解决的前提下所采取的一种探究活动方式.
（3）引导探究
引导探究是在教师引导下学生对问题进行的研究，引导探究一般是在学生已经经过独立探究与合作探究活动，但绝大多数学生对所探究的问题仍感到无能为力或束手无策时所采取的一种探究方式.引导探究活动的方式是在学生独立探究与合作探究的基础上进行的.
由于探究问题的难度不同、加上学生的探究能力也存在一定的差异，所以选择探究活动的方式也往往有所不同.在课堂教学中，不管采用哪种探究方式，都必须遵循“教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、体会和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验”[1]的《课标（2011年版）》理念.
我们选择探究活动方式的原则是：能由学生独立探究完成的就不采用合作探究；能由学生合作探究完成的就不采用引导探究.在三种探究形式中，独立探究是前提，合作探究、引导探究是独立探究的补充和发展.数学探究活动的过程如图1所示[2]：图1
1.2探究活动的一般过程
一个完整的探究活动一般分为四个过程：
（1）提出问题
教师通过研究教学内容和分析学生的接受能力，精心设计一系列的问题（不是一个问题，而是由几个问题组成的“问题串”），呈现给学生.
（2）拟定探究方案
学生根据教师提出的问题，确定探究方向，拟定探究计划.当然这个方案的拟定很多情况下需要教师指导.
（3）实施探究
这是探究活动的关键环节.学生围绕教师所提出的问题及确定的探究方案，着手收集与问题相关的信息，进行一系列的活动（如阅读教材、独立思考、分析判断、实验操作，推理验算、归纳总结、相互交流等），在经历数学活动的过程中，进行自主探究学习，并且经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程.
（4）形成结论
学生在探究的基础上，根据逻辑关系和推理，找到问题的症结所在，对其中的因果关系形成自己的解释.当然，结论的归纳、总结往往需要教师的点拨和引导.
学生开展探究活动不一定严格按照这四个过程（如不一定要制定探究方案）进行，但第一个和第三个过程是不可缺少的.笔者认为，只要学生在问题的引导下能积极开展观察、思考、计算、推理、讨论等活动自主获得结论，就算经历了一个很有意义的探究活动.数学教学中长期坚持这样的练习，学生的综合数学能力将会得到提高和发展.
1.3开展探究活动的教育教学价值
澳大利亚一个物理教师曾经说过，他第一个十年在教物理，第二个十年在引导学生探究物理，第三个十年在为进行探究的学生提供支持和帮助.这位物理老师的话，很值得我们数学老师思考与借鉴.在数学教学中引导学生开展探究活动的意义主要表现在以下三个方面：
（1）加深对数学知识的理解
对于任何知识（当然包括数学知识），如果是学生通过探究活动自己发现的，将比教师直接讲授印象深刻，记忆长远.因为学生对通过探究得到的知识不仅“知其然”，而且还能“知其所以然”，从而达到对数学知识的深层次理解和掌握.
（2）学会研究问题的一般方法
学生通过探究获得知识的同时，将会经历一系列的活动，在经历这些活动的过程中，可积累研究问题的经验，掌握研究问题的一般方法，这对于他们继续学习直至将来的工作都具有重要的意义.
（3）有利于培养学生的创新意识
《课标（2011年版）》倡导培养学生的“创新意识”，这种意识形成的前提是要具备一定的创新精神和创新能力.学生通过开展探究活动，能体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心，能形成科学的态度和习惯，形成实事求是、精益求精、客观公正、敢于创新的精神，这些都是学生创新意识形成过程中不可或缺的因素，也是我们进行数学教育教学的崇高目标.2精心设计探究问题 开展探究活动，关键是设计好的问题，这样的“问题”不同于一般的数学题.罗增儒教授认为，这样的数学题具有一些基本的特征，其中之一是“探究性”，即对于这样的问题，我们“没有现成的直接方法、程序或算法”，学生不能简单地模仿现成的公式或沿用常规的解题套路，需要进行观察、实验、猜测、计算、推理、验证等探究活动才能解决[3].设计这样的问题，需要教师在备课中多下功夫，因此，许多老师感觉不如用传统的讲授法省时省力，下面的考题对于倡导实施探究教学具有“指挥棒”的作用.
2.1原题呈现
问题提出（2016年青岛市中考数学第23题）如何将边长为n（n≥5，且n为整数）的正方形分割为一些1×5或2×3的矩形（a×b的矩形指边长分别为a，b的矩形）？
问题探究我们先从简单的问题开始研究解决，再把复杂问题转化为已解决的问题.
探究一
如图2①，当n=5时，可将正方形分割为五个1×5的矩形.
如图2②，当n=6时，可将正方形分割为六个2×3的矩形.
如图2③，当n=7时，可将正方形分割为五个1×5的矩形和四个2×3的矩形.
如图2④，当n=8时，可将正方形分割为八个1×5的矩形和四个2×3的矩形.
如图2⑤，当n=9时，可将正方形分割为九个1×5的矩形和六个2×3的矩形.
所以，当n=10，11，12，13，14时，均可将正方形分割为一个5×5的正方形、一个
（n-5）×（n-5）的正方形和两个5×（n-5）的矩形.显然，5×5的正方形和5×（n-5）的矩形均可分割为1×5的矩形，而（n-5）×（n-5）的正方形是边长分别为5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割为一些1×5或2×3的矩形.
探究三
当n=15，16，17，18，19时，分别将正方形按下列方式分割（图4）：
第三部分问题解决，回到本题的核心，当正方形的边长为n（n≥5，且n为整数）时，按图6的方式均可将正方形分割为一个5m×5m的正方形，一个（n-5m）×（n-5m）的正方形和两个5m×（n-5m）的矩形.显然5m×5m的正方形和5m×（n-5m）的矩形均可分割为1×5的矩形，而（n-5m）×（n-5m）的正方形又是边长分别为5，6，7，8，9的正方形，用探究的方法可分割为一些1×5或2×3的矩形.
第四部分实际应用的答案如图7所示.图6图7
2.3试题点评
（1）体现了《课标（2011年版）》的理念
《课标（2011年版）》提出“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”[1].这是我们进行数学教育教学必须遵循的核心理念.长期以来，我们一直强调数学教学要面向全体，但是一到课堂上往往又表现为“一刀切”，教学主要针对“优秀生”展开，对于“学困生”常常是顾不上，具体表现在“三个统一”（例题统一，练习题统一，要求统一）上.这样的作法是不符合上述理念的.
本题对于改变教师的这种教学现状有一定的导向作用：考题分四部分，考生通过解答这个问题都有收获：即是学习最困难的学生，通过阅读、思考探究一和探究二，也能仿照探究一和探究二的过程完成探究三的解答“画出边长为18，19的正方形分割示意图.”后面的问题解决和实际应用部分，主要针对优等生设计的.笔者认为，开展探究活动是面向全体学生的具体表现，因为无论哪个层次的学生在探究的过程中都有收获.因此，教学中我们应着眼于教学过程来认识“面向全体”[4]，例如一个题目，有多问，多问之间有一定层次，鼓励学生努力进行解答，但不要求全体学生都要完成对所有问题的解答.
《课标（2011年版）》在“评价建议”中提出，“数学教学评价的主要目的是全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学.评价应以课程目标和内容标准为依据，体现数学课程的基本理念，全面评价学生在知识技能、数学思考、问题解决和情感态度等方面的表现”[1].
本题的解答需要学生具有较强的阅读理解能力、观察分析能力以及书面表达能力，综合考查学生的多种数学能力.学生通过解答本题，培养了综合运用有关知识与方法解决问题的能力，有利于问题意识、应用意识和创新意识的形成与发展，积累了探究问题的经验.是落实《课标（2011年版）》提出的“运用数学的思维方式进行思考，增强发现问题和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”[1]课程目标的具体体现.
（2）重视对思想方法的考查
数学思想蕴涵在数学知识的形成、发展和应用的过程中.数学思想方法是数学的灵魂，是对数学知识和方法在更高层次的概括与提炼，数学思想方法的学习和领悟能使学生所学的知识不再是零散的知识点，它能帮助学生形成有序的知识链，建立良好的认知结构；它是铭记在人们头脑中起永恒作用的数学观点和文化，是使学生提高数学思维水平，建立科学的数学观念，从而发展数学、运用数学的保证[5].
数学思想方法理应成为中考试卷考查的核心之一.本题通过对问题的探究，主要考查了学生对转化与化归、数形结合等数学思想方法的理解和掌握情况.
（3）凸显数学现实性
《课标（2011年版）》指出，“素材的选用应充分考虑学生的认知水平和活动经验.这些素材应当在反映数学本质的前提下尽可能地贴近学生的现实，以利于他们经历从现实情境中抽象数学知识与方法的过程”[1].
本题选取的素材极为“普通”，贴近学生的生活实际.以常规的知识和方法为载体，较好地考查了考生的综合数学能力和学科素养，这对于引导学生多方法、多视角思考、发现和解决问题，实现数学教学从注重结果向注重过程转变，从学生被动接受向主动发现转变，从而最终实现由“学会”到“会学”的转变具有重要的意义.3实施探究教学应注意的问题
3.1精心设计问题
数学探究活动源于“问题”，终于解决“问题”，可以说“问题”伴随在整个探究活动的过程之中.这就决定了要开展数学探究活动，教师首先要精心设计问题.在设计问题时，一要注意问题的合适性，既要与学生的发展水平相适应，也要与学科课程内容相联系；二是设置的问题要有一定的难度，既能引发学生的数学思考，又要让学生通过思考能探究到问题的答案，实现“跳一跳”能“摘到果子”的目的.学生在这样的问题引导下，通过自己的探究不仅能获得知识，还能使学生的知识结构和能力水平都得到相应的提高、发展，逐步实现由“最近发展区”转化为“现有发展水平”的目标.
3.2留给学生足够的思考时间
探究活动必须有时间作保障，在引导学生进行探究活动时，要按照《课标（2011年版）》提出的“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”[1]的要求，千万不要提出问题让学生探究一会后，便草草“收场”，这样的探究是“假探究”，还不如教师直接讲授效果好.
3.3发挥教师指导者的作用
《课标（2011年版）》指出，“有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者”[1].在探究活动中，老师一定要尊重学生的个性，充分调动学生探究的积极性，发挥其主观能动性.当然，学生在探究过程中，可能会遇到这样或那样的问题，这时教师应给予必要的帮助和指导：一是指导学生多渠道收集信息，如观察、试验、调查、测量、操作等途径；二是当学生探究过程受阻或无法继续探究下去时，教师可提供新的信息或提出新的问题，以帮助学生能继续探究，使探究过程能不断地向前深入.
数学家波利亚说过“学习任何知识的最佳途径是自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系”[6].在数学教学中，引导学生进行探究活动应成为主旋律之一.教师应在深入研究《课标（2011年版）》和教材的基础上，以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，精心设计问题系列，引导学生积极主动地进行探究活动，让学生在探究的过程中获得数学的基础知识，形成基本技能，感悟数学的基本思想与方法，获得基本的数学活动经验，从而实现《课标（2011年版）》提出的课程目标.
参考文献
[1]义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012
[2]李树臣.正确认识探究活动，精心设计探究问题——探究活动的基本形式与探究性问题的主要类型[J].中学数学杂志，2014（10）
[3]罗增儒.中学数学解题的理论与实践[M].南宁：广西教育出版社，2008
[4]李树臣等.精心设计数学课堂，努力上好每一节课——上好一节数学课的几个必要条件[J].中学数学杂志，2015（12）
[5]李海东.重视数学思想方法的教学──“中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践”初中第六次课题会议成果综述[J].中国数学教育，2011（1-2）
[6]李建华.波利亚的“问题解决”理论及其发展[J].数学通报，2009（12）
【关键词】数学探究；设计问题；探究发现；问题解决
《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《课标（2011年版）》）指出：“数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用.”[1]数学教育的根本目的是提高学生的数学素养，而数学能力是数学素养的核心构成要素.在教学中，结合具体内容，引导学生积极开展探究活动是培养学生数学能力的主要途径.1对数学探究的再认识
数学探究是指学生在教师的启发诱导下，以独立自主学习和合作讨论为前提，以解决问题为探究内容，以学生能主动发现问题、提出问题、分析问题、解决问题为目的的学习活动.
1.1探究活动的基本形式
数学学习本身就是一个师生共同探究的过程，数学探究活动的主体是学生，从这个意义上讲，学生的探究活动可分为三种基本形式[2]：
（1）独立探究
独立探究是指学生个体对所探究的问题进行独立思考与探究，是探究活动的最基本形式.教学中对于一些较为简单的数学基础知识，我们可以通过创设一定的问题情境，引导学生独立思考与探究，在独立探究的过程中自主发现有关知识，完成对《课标（2011年版）》界定的数学基础知识的学习.
（2）合作探究
合作探究是在合作学习的前提下进行的，是指学习小组内学生之间对探究问题共同进行探究活动，合作探究一般是在学生已经经过独立探究活动，但探究的问题仍得不到很好解决的前提下所采取的一种探究活动方式.
（3）引导探究
引导探究是在教师引导下学生对问题进行的研究，引导探究一般是在学生已经经过独立探究与合作探究活动，但绝大多数学生对所探究的问题仍感到无能为力或束手无策时所采取的一种探究方式.引导探究活动的方式是在学生独立探究与合作探究的基础上进行的.
由于探究问题的难度不同、加上学生的探究能力也存在一定的差异，所以选择探究活动的方式也往往有所不同.在课堂教学中，不管采用哪种探究方式，都必须遵循“教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、体会和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验”[1]的《课标（2011年版）》理念.
我们选择探究活动方式的原则是：能由学生独立探究完成的就不采用合作探究；能由学生合作探究完成的就不采用引导探究.在三种探究形式中，独立探究是前提，合作探究、引导探究是独立探究的补充和发展.数学探究活动的过程如图1所示[2]：图1
1.2探究活动的一般过程
一个完整的探究活动一般分为四个过程：
（1）提出问题
教师通过研究教学内容和分析学生的接受能力，精心设计一系列的问题（不是一个问题，而是由几个问题组成的“问题串”），呈现给学生.
（2）拟定探究方案
学生根据教师提出的问题，确定探究方向，拟定探究计划.当然这个方案的拟定很多情况下需要教师指导.
（3）实施探究
这是探究活动的关键环节.学生围绕教师所提出的问题及确定的探究方案，着手收集与问题相关的信息，进行一系列的活动（如阅读教材、独立思考、分析判断、实验操作，推理验算、归纳总结、相互交流等），在经历数学活动的过程中，进行自主探究学习，并且经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程.
（4）形成结论
学生在探究的基础上，根据逻辑关系和推理，找到问题的症结所在，对其中的因果关系形成自己的解释.当然，结论的归纳、总结往往需要教师的点拨和引导.
学生开展探究活动不一定严格按照这四个过程（如不一定要制定探究方案）进行，但第一个和第三个过程是不可缺少的.笔者认为，只要学生在问题的引导下能积极开展观察、思考、计算、推理、讨论等活动自主获得结论，就算经历了一个很有意义的探究活动.数学教学中长期坚持这样的练习，学生的综合数学能力将会得到提高和发展.
1.3开展探究活动的教育教学价值
澳大利亚一个物理教师曾经说过，他第一个十年在教物理，第二个十年在引导学生探究物理，第三个十年在为进行探究的学生提供支持和帮助.这位物理老师的话，很值得我们数学老师思考与借鉴.在数学教学中引导学生开展探究活动的意义主要表现在以下三个方面：
（1）加深对数学知识的理解
对于任何知识（当然包括数学知识），如果是学生通过探究活动自己发现的，将比教师直接讲授印象深刻，记忆长远.因为学生对通过探究得到的知识不仅“知其然”，而且还能“知其所以然”，从而达到对数学知识的深层次理解和掌握.
（2）学会研究问题的一般方法
学生通过探究获得知识的同时，将会经历一系列的活动，在经历这些活动的过程中，可积累研究问题的经验，掌握研究问题的一般方法，这对于他们继续学习直至将来的工作都具有重要的意义.
（3）有利于培养学生的创新意识
《课标（2011年版）》倡导培养学生的“创新意识”，这种意识形成的前提是要具备一定的创新精神和创新能力.学生通过开展探究活动，能体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心，能形成科学的态度和习惯，形成实事求是、精益求精、客观公正、敢于创新的精神，这些都是学生创新意识形成过程中不可或缺的因素，也是我们进行数学教育教学的崇高目标.2精心设计探究问题 开展探究活动，关键是设计好的问题，这样的“问题”不同于一般的数学题.罗增儒教授认为，这样的数学题具有一些基本的特征，其中之一是“探究性”，即对于这样的问题，我们“没有现成的直接方法、程序或算法”，学生不能简单地模仿现成的公式或沿用常规的解题套路，需要进行观察、实验、猜测、计算、推理、验证等探究活动才能解决[3].设计这样的问题，需要教师在备课中多下功夫，因此，许多老师感觉不如用传统的讲授法省时省力，下面的考题对于倡导实施探究教学具有“指挥棒”的作用.
2.1原题呈现
问题提出（2016年青岛市中考数学第23题）如何将边长为n（n≥5，且n为整数）的正方形分割为一些1×5或2×3的矩形（a×b的矩形指边长分别为a，b的矩形）？
问题探究我们先从简单的问题开始研究解决，再把复杂问题转化为已解决的问题.
探究一
如图2①，当n=5时，可将正方形分割为五个1×5的矩形.
如图2②，当n=6时，可将正方形分割为六个2×3的矩形.
如图2③，当n=7时，可将正方形分割为五个1×5的矩形和四个2×3的矩形.
如图2④，当n=8时，可将正方形分割为八个1×5的矩形和四个2×3的矩形.
如图2⑤，当n=9时，可将正方形分割为九个1×5的矩形和六个2×3的矩形.
所以，当n=10，11，12，13，14时，均可将正方形分割为一个5×5的正方形、一个
（n-5）×（n-5）的正方形和两个5×（n-5）的矩形.显然，5×5的正方形和5×（n-5）的矩形均可分割为1×5的矩形，而（n-5）×（n-5）的正方形是边长分别为5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割为一些1×5或2×3的矩形.
探究三
当n=15，16，17，18，19时，分别将正方形按下列方式分割（图4）：
第三部分问题解决，回到本题的核心，当正方形的边长为n（n≥5，且n为整数）时，按图6的方式均可将正方形分割为一个5m×5m的正方形，一个（n-5m）×（n-5m）的正方形和两个5m×（n-5m）的矩形.显然5m×5m的正方形和5m×（n-5m）的矩形均可分割为1×5的矩形，而（n-5m）×（n-5m）的正方形又是边长分别为5，6，7，8，9的正方形，用探究的方法可分割为一些1×5或2×3的矩形.
第四部分实际应用的答案如图7所示.图6图7
2.3试题点评
（1）体现了《课标（2011年版）》的理念
《课标（2011年版）》提出“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”[1].这是我们进行数学教育教学必须遵循的核心理念.长期以来，我们一直强调数学教学要面向全体，但是一到课堂上往往又表现为“一刀切”，教学主要针对“优秀生”展开，对于“学困生”常常是顾不上，具体表现在“三个统一”（例题统一，练习题统一，要求统一）上.这样的作法是不符合上述理念的.
本题对于改变教师的这种教学现状有一定的导向作用：考题分四部分，考生通过解答这个问题都有收获：即是学习最困难的学生，通过阅读、思考探究一和探究二，也能仿照探究一和探究二的过程完成探究三的解答“画出边长为18，19的正方形分割示意图.”后面的问题解决和实际应用部分，主要针对优等生设计的.笔者认为，开展探究活动是面向全体学生的具体表现，因为无论哪个层次的学生在探究的过程中都有收获.因此，教学中我们应着眼于教学过程来认识“面向全体”[4]，例如一个题目，有多问，多问之间有一定层次，鼓励学生努力进行解答，但不要求全体学生都要完成对所有问题的解答.
《课标（2011年版）》在“评价建议”中提出，“数学教学评价的主要目的是全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学.评价应以课程目标和内容标准为依据，体现数学课程的基本理念，全面评价学生在知识技能、数学思考、问题解决和情感态度等方面的表现”[1].
本题的解答需要学生具有较强的阅读理解能力、观察分析能力以及书面表达能力，综合考查学生的多种数学能力.学生通过解答本题，培养了综合运用有关知识与方法解决问题的能力，有利于问题意识、应用意识和创新意识的形成与发展，积累了探究问题的经验.是落实《课标（2011年版）》提出的“运用数学的思维方式进行思考，增强发现问题和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”[1]课程目标的具体体现.
（2）重视对思想方法的考查
数学思想蕴涵在数学知识的形成、发展和应用的过程中.数学思想方法是数学的灵魂，是对数学知识和方法在更高层次的概括与提炼，数学思想方法的学习和领悟能使学生所学的知识不再是零散的知识点，它能帮助学生形成有序的知识链，建立良好的认知结构；它是铭记在人们头脑中起永恒作用的数学观点和文化，是使学生提高数学思维水平，建立科学的数学观念，从而发展数学、运用数学的保证[5].
数学思想方法理应成为中考试卷考查的核心之一.本题通过对问题的探究，主要考查了学生对转化与化归、数形结合等数学思想方法的理解和掌握情况.
（3）凸显数学现实性
《课标（2011年版）》指出，“素材的选用应充分考虑学生的认知水平和活动经验.这些素材应当在反映数学本质的前提下尽可能地贴近学生的现实，以利于他们经历从现实情境中抽象数学知识与方法的过程”[1].
本题选取的素材极为“普通”，贴近学生的生活实际.以常规的知识和方法为载体，较好地考查了考生的综合数学能力和学科素养，这对于引导学生多方法、多视角思考、发现和解决问题，实现数学教学从注重结果向注重过程转变，从学生被动接受向主动发现转变，从而最终实现由“学会”到“会学”的转变具有重要的意义.3实施探究教学应注意的问题
3.1精心设计问题
数学探究活动源于“问题”，终于解决“问题”，可以说“问题”伴随在整个探究活动的过程之中.这就决定了要开展数学探究活动，教师首先要精心设计问题.在设计问题时，一要注意问题的合适性，既要与学生的发展水平相适应，也要与学科课程内容相联系；二是设置的问题要有一定的难度，既能引发学生的数学思考，又要让学生通过思考能探究到问题的答案，实现“跳一跳”能“摘到果子”的目的.学生在这样的问题引导下，通过自己的探究不仅能获得知识，还能使学生的知识结构和能力水平都得到相应的提高、发展，逐步实现由“最近发展区”转化为“现有发展水平”的目标.
3.2留给学生足够的思考时间
探究活动必须有时间作保障，在引导学生进行探究活动时，要按照《课标（2011年版）》提出的“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”[1]的要求，千万不要提出问题让学生探究一会后，便草草“收场”，这样的探究是“假探究”，还不如教师直接讲授效果好.
3.3发挥教师指导者的作用
《课标（2011年版）》指出，“有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者”[1].在探究活动中，老师一定要尊重学生的个性，充分调动学生探究的积极性，发挥其主观能动性.当然，学生在探究过程中，可能会遇到这样或那样的问题，这时教师应给予必要的帮助和指导：一是指导学生多渠道收集信息，如观察、试验、调查、测量、操作等途径；二是当学生探究过程受阻或无法继续探究下去时，教师可提供新的信息或提出新的问题，以帮助学生能继续探究，使探究过程能不断地向前深入.
数学家波利亚说过“学习任何知识的最佳途径是自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系”[6].在数学教学中，引导学生进行探究活动应成为主旋律之一.教师应在深入研究《课标（2011年版）》和教材的基础上，以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，精心设计问题系列，引导学生积极主动地进行探究活动，让学生在探究的过程中获得数学的基础知识，形成基本技能，感悟数学的基本思想与方法，获得基本的数学活动经验，从而实现《课标（2011年版）》提出的课程目标.
参考文献
[1]义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012
[2]李树臣.正确认识探究活动，精心设计探究问题——探究活动的基本形式与探究性问题的主要类型[J].中学数学杂志，2014（10）
[3]罗增儒.中学数学解题的理论与实践[M].南宁：广西教育出版社，2008
[4]李树臣等.精心设计数学课堂，努力上好每一节课——上好一节数学课的几个必要条件[J].中学数学杂志，2015（12）
[5]李海东.重视数学思想方法的教学──“中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践”初中第六次课题会议成果综述[J].中国数学教育，2011（1-2）
[6]李建华.波利亚的“问题解决”理论及其发展[J].数学通报，2009（12）