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四川西南交通大学峨眉校区基础课部 峨眉山 614202
【摘要】针对n项和在n趋于无穷大时的极限，讨论了这类极限的主要求法。
【关键词】n项和 极限 夹逼准则 定积分
极限是高等数学这门学科的基础，在求极限的众多题目中我们时常会碰到求n项和在n趋于无穷大时的极限，此时极限的四则运算法则失效，我们需寻求另外的求极限的方法。关于这一类极限的求法，主要有以下几种。
1.若n项和能直接求出，则先求出和再求极限。
例1 求极限limn→∞1n2+2n2+...+nn2。
分析：因为n项和1n2+2n2+...+nn2能直接求出，所以先求出n项和再求极限。
解：因为1n2+2n2+...+nn2=1+2+...+nn2 =12n（n+1）n2=121+1n，
所以limn→∞1n2+2n2+...+nn2
=limn→∞121+1n=12。
2. 若n项和不能直接求出，则要考虑用数列极限的夹逼准则、定积分的定义、常数项级数求和、收敛的常数项级数的性质等进行计算。
例2 求极限limn→∞1n6+n+22n6+2n+...+n2n6+n2。
分析：因为n项和1n6+n+22n6+2n+...+n2n6+n2不能直接求出，但所求极限满足数列极限的夹逼准则的条件，所以可用数列极限的夹逼准则进行计算。
解：记Tn=1n6+n+22n6+2n+...+n2n6+n2，
则1+22+32+...+n2n6+n2≤Tn≤1+22+32+...+n2n6+n，
而limn→∞1+22+32+...+n2n6+n2=limn→∞16n（n+1）（2n+1）n6+n2 =16limn→∞（1+1n）（2+1n）1+1n4=13，
limn→∞1+22+32+...+n2n6+n=limn→∞16n（n+1）（2n+1）n6+n =16limn→∞（1+1n）（2+1n）1+1n5=13，
由数列极限的夹逼准则，得limn→∞Tn=13，即limn→∞1n6+n+22n6+2n+...+n2n6+n2=13。
例3 求极限limn→∞1n+1+1n+2+...+1n+n。
分析：因为n项和1n+1+1n+2+...+1n+n不能直接求出，所求极限不满足数列极限的夹逼准则的条件，但可以配成定积分的定义式，所以可用定积分的定义将其转化为定积分进行计算。
解：因为limn→∞1n+1+1n+2+...+1n+n =limn→∞1n11+1n+11+2n+...+11+nn=limn→∞1n∑ni=111+in，
而函数11+x在其定义域内连续，所以函数11+x在定义域的任何闭区间上的定积分都存在，则由定积分的定义，得 limn→∞1n∑ni=111+in=∫1011+xdx=ln（1+x）10=ln2，
故 limn→∞1n+1+1n+2+...+1n+n=ln2。
例4 求极限limn→∞ln（1+1n）n+1+ln（1+2n）n+122+...+ln（1+nn）n+1n2。
分析：因为n项和ln（1+1n）n+1+ln（1+2n）n+122+...+ln（1+nn）n+1n2不能直接求出，所求极限也不满足数列极限的夹逼准则的条件，也不能配成定积分的定义式，而要将数列极限的夹逼准则和定积分的定义结合使用才能求出。
解：记 Tn=ln（1+1n）n+1+ln（1+2n）n+122+...+ln（1+nn）n+1n2，
则 ln（1+1n）+ln（1+2n）+...+ln（1+nn）n+1≤Tn≤ln（1+1n）+ln（1+2n）+...+ln（1+nn）n，
又 limn→∞ln（1+1n）+ln（1+2n）+...+ln（1+nn）n=limn→∞1n∑ni=1ln1+in=∫10ln（1+x）dx
=xln（1+x）10-∫10x1+xdx=ln2-∫10（1-11+x）dx=ln2-1+ln（1+x）10=2ln2-1，
limn→∞ln（1+1n）+ln（1+2n）+...+ln（1+nn）n+1=limn→∞nn+1·ln（1+1n）+ln（1+2n）+...+ln（1+nn）n
=limn→∞nn+1·limn→∞ln（1+1n）+ln（1+2n）+...+ln（1+nn）n=1·（2ln2-1）=2ln2-1，
由数列极限的夹逼准则，得limn→∞Tn=2ln2-1，即
limn→∞ln（1+1n）n+1+ln（1+2n）n+122+...+ln（1+nn）n+1n2 =2ln2-1。
例5 求极限limn→∞12+322+523+...+2n-12n。
分析：因为n项和12+322+523+...+2n-12n不能直接求出，但所求极限是常数项级数∑∞n=12n-12n的前n项和的极限，即为级数∑∞n=12n-12n的和，而常数项级数∑∞n=12n-12n是幂级数∑∞n=1（2n-1）x2n在x=12时对应的级数，幂级数∑∞n=1（2n-1）x2n的和函数容易求出，所以要先求出幂级数∑∞n=1（2n-1）x2n的和函数S（x），再求和函数S（x）在x=12时的函数值。
解：因为limn→∞12+322+523+...+2n-12n=∑∞n=12n-12n，令S（x）=∑∞n=1（2n-1）x2n，x∈（-1，1）；
而 S（x）=∑∞n=1（2n-1）x2n=x2∑∞n=1（2n-1）x2n-2 =x2∑∞n=1（x2n-1）′=x2∑∞n=1x2n-1′ =x2x1-x2′ =x2（1+x2）（1-x2）2，x∈（-1，1）；
所以∑∞n=12n-12n=S12=121+121-122=3，即limn→∞12+322+523+...+2n-12n=3。
注：本题也可先将原极限写成
limn→∞12+322+523+...+2n-12n=∑∞n=12n-12n=∑∞n=1n2n-1-∑∞n=112n，
形式，然后求出幂级数∑∞n=1nxn-1的和函数在x=12处的函数值以及等比级数∑∞n=112n的和即可。
例6 求极限limn→∞1n∑nk=113k1+1kk2。
分析：因为n项和1n∑nk=113k1+1kk2不能直接求出，但极限limn→∞1n=0，limn→∞∑nk=113k1+1kk2是常数项级数∑∞k=113n1+1nn2的前n项和的极限，即为级数∑∞k=113n1+1nn2的和，所以要利用收敛的常数项级数的性质来求极限。
解：对级数∑∞k=113n1+1nn2，有limn→∞n13n1+1nn2=limn→∞131+1nn=e3<1，
由正项级数的根值判别法，得级数∑∞k=113n1+1nn2收敛，从而级数∑∞k=113n1+1nn2是个确定的常数，记为∑∞k=113n1+1nn2=A（A是确定的常数），即limn→∞∑nk=113k1+1kk2=A，所以
limn→∞1n∑nk=113k1+1kk2=limn→∞1n·limn→∞∑nk=113k1+1kk2=0·A=0。
例7 求极限limn→∞2n+12n+1+2n+32n+2+...+4n-122n
分析：因为n项和2n+12n+1+2n+32n+2+...+4n-122n不能直接求出，但2n+12n+1+2n+32n+2+...+4n-122n是常数项级数∑∞n=12n-12n的第n+1项到第2n项的和，所以要利用收敛的常数项级数的性质来求极限。
解：因为limn→∞2n+12n+1+2n+32n+2+...+4n-122n=limn→∞∑2nk=n+12k-12k；
记Sn=∑nk=12k-12k，由常数项级数收敛的定义及例5的结论，得limn→∞Sn=∑∞n=12n-12n=3；
从而 limn→∞S2n=limn→∞Sn=3，又∑2nk=n+12k-12k=S2n-Sn，
所以limn→∞∑2nk=n+12k-12k=limn→∞（S2n-Sn）=0，故limn→∞2n+12n+1+2n+32n+2+...+4n-122n=0。
参考文献
[1] 高等数学（第六版）下册，同济大学数学系编，高等教育出版社.
[2] 数学分析（第二版）下册，陈纪修，於崇华 金路，高等教育出版社.
【摘要】针对n项和在n趋于无穷大时的极限，讨论了这类极限的主要求法。
【关键词】n项和 极限 夹逼准则 定积分
极限是高等数学这门学科的基础，在求极限的众多题目中我们时常会碰到求n项和在n趋于无穷大时的极限，此时极限的四则运算法则失效，我们需寻求另外的求极限的方法。关于这一类极限的求法，主要有以下几种。
1.若n项和能直接求出，则先求出和再求极限。
例1 求极限limn→∞1n2+2n2+...+nn2。
分析：因为n项和1n2+2n2+...+nn2能直接求出，所以先求出n项和再求极限。
解：因为1n2+2n2+...+nn2=1+2+...+nn2 =12n（n+1）n2=121+1n，
所以limn→∞1n2+2n2+...+nn2
=limn→∞121+1n=12。
2. 若n项和不能直接求出，则要考虑用数列极限的夹逼准则、定积分的定义、常数项级数求和、收敛的常数项级数的性质等进行计算。
例2 求极限limn→∞1n6+n+22n6+2n+...+n2n6+n2。
分析：因为n项和1n6+n+22n6+2n+...+n2n6+n2不能直接求出，但所求极限满足数列极限的夹逼准则的条件，所以可用数列极限的夹逼准则进行计算。
解：记Tn=1n6+n+22n6+2n+...+n2n6+n2，
则1+22+32+...+n2n6+n2≤Tn≤1+22+32+...+n2n6+n，
而limn→∞1+22+32+...+n2n6+n2=limn→∞16n（n+1）（2n+1）n6+n2 =16limn→∞（1+1n）（2+1n）1+1n4=13，
limn→∞1+22+32+...+n2n6+n=limn→∞16n（n+1）（2n+1）n6+n =16limn→∞（1+1n）（2+1n）1+1n5=13，
由数列极限的夹逼准则，得limn→∞Tn=13，即limn→∞1n6+n+22n6+2n+...+n2n6+n2=13。
例3 求极限limn→∞1n+1+1n+2+...+1n+n。
分析：因为n项和1n+1+1n+2+...+1n+n不能直接求出，所求极限不满足数列极限的夹逼准则的条件，但可以配成定积分的定义式，所以可用定积分的定义将其转化为定积分进行计算。
解：因为limn→∞1n+1+1n+2+...+1n+n =limn→∞1n11+1n+11+2n+...+11+nn=limn→∞1n∑ni=111+in，
而函数11+x在其定义域内连续，所以函数11+x在定义域的任何闭区间上的定积分都存在，则由定积分的定义，得 limn→∞1n∑ni=111+in=∫1011+xdx=ln（1+x）10=ln2，
故 limn→∞1n+1+1n+2+...+1n+n=ln2。
例4 求极限limn→∞ln（1+1n）n+1+ln（1+2n）n+122+...+ln（1+nn）n+1n2。
分析：因为n项和ln（1+1n）n+1+ln（1+2n）n+122+...+ln（1+nn）n+1n2不能直接求出，所求极限也不满足数列极限的夹逼准则的条件，也不能配成定积分的定义式，而要将数列极限的夹逼准则和定积分的定义结合使用才能求出。
解：记 Tn=ln（1+1n）n+1+ln（1+2n）n+122+...+ln（1+nn）n+1n2，
则 ln（1+1n）+ln（1+2n）+...+ln（1+nn）n+1≤Tn≤ln（1+1n）+ln（1+2n）+...+ln（1+nn）n，
又 limn→∞ln（1+1n）+ln（1+2n）+...+ln（1+nn）n=limn→∞1n∑ni=1ln1+in=∫10ln（1+x）dx
=xln（1+x）10-∫10x1+xdx=ln2-∫10（1-11+x）dx=ln2-1+ln（1+x）10=2ln2-1，
limn→∞ln（1+1n）+ln（1+2n）+...+ln（1+nn）n+1=limn→∞nn+1·ln（1+1n）+ln（1+2n）+...+ln（1+nn）n
=limn→∞nn+1·limn→∞ln（1+1n）+ln（1+2n）+...+ln（1+nn）n=1·（2ln2-1）=2ln2-1，
由数列极限的夹逼准则，得limn→∞Tn=2ln2-1，即
limn→∞ln（1+1n）n+1+ln（1+2n）n+122+...+ln（1+nn）n+1n2 =2ln2-1。
例5 求极限limn→∞12+322+523+...+2n-12n。
分析：因为n项和12+322+523+...+2n-12n不能直接求出，但所求极限是常数项级数∑∞n=12n-12n的前n项和的极限，即为级数∑∞n=12n-12n的和，而常数项级数∑∞n=12n-12n是幂级数∑∞n=1（2n-1）x2n在x=12时对应的级数，幂级数∑∞n=1（2n-1）x2n的和函数容易求出，所以要先求出幂级数∑∞n=1（2n-1）x2n的和函数S（x），再求和函数S（x）在x=12时的函数值。
解：因为limn→∞12+322+523+...+2n-12n=∑∞n=12n-12n，令S（x）=∑∞n=1（2n-1）x2n，x∈（-1，1）；
而 S（x）=∑∞n=1（2n-1）x2n=x2∑∞n=1（2n-1）x2n-2 =x2∑∞n=1（x2n-1）′=x2∑∞n=1x2n-1′ =x2x1-x2′ =x2（1+x2）（1-x2）2，x∈（-1，1）；
所以∑∞n=12n-12n=S12=121+121-122=3，即limn→∞12+322+523+...+2n-12n=3。
注：本题也可先将原极限写成
limn→∞12+322+523+...+2n-12n=∑∞n=12n-12n=∑∞n=1n2n-1-∑∞n=112n，
形式，然后求出幂级数∑∞n=1nxn-1的和函数在x=12处的函数值以及等比级数∑∞n=112n的和即可。
例6 求极限limn→∞1n∑nk=113k1+1kk2。
分析：因为n项和1n∑nk=113k1+1kk2不能直接求出，但极限limn→∞1n=0，limn→∞∑nk=113k1+1kk2是常数项级数∑∞k=113n1+1nn2的前n项和的极限，即为级数∑∞k=113n1+1nn2的和，所以要利用收敛的常数项级数的性质来求极限。
解：对级数∑∞k=113n1+1nn2，有limn→∞n13n1+1nn2=limn→∞131+1nn=e3<1，
由正项级数的根值判别法，得级数∑∞k=113n1+1nn2收敛，从而级数∑∞k=113n1+1nn2是个确定的常数，记为∑∞k=113n1+1nn2=A（A是确定的常数），即limn→∞∑nk=113k1+1kk2=A，所以
limn→∞1n∑nk=113k1+1kk2=limn→∞1n·limn→∞∑nk=113k1+1kk2=0·A=0。
例7 求极限limn→∞2n+12n+1+2n+32n+2+...+4n-122n
分析：因为n项和2n+12n+1+2n+32n+2+...+4n-122n不能直接求出，但2n+12n+1+2n+32n+2+...+4n-122n是常数项级数∑∞n=12n-12n的第n+1项到第2n项的和，所以要利用收敛的常数项级数的性质来求极限。
解：因为limn→∞2n+12n+1+2n+32n+2+...+4n-122n=limn→∞∑2nk=n+12k-12k；
记Sn=∑nk=12k-12k，由常数项级数收敛的定义及例5的结论，得limn→∞Sn=∑∞n=12n-12n=3；
从而 limn→∞S2n=limn→∞Sn=3，又∑2nk=n+12k-12k=S2n-Sn，
所以limn→∞∑2nk=n+12k-12k=limn→∞（S2n-Sn）=0，故limn→∞2n+12n+1+2n+32n+2+...+4n-122n=0。
参考文献
[1] 高等数学（第六版）下册，同济大学数学系编，高等教育出版社.
[2] 数学分析（第二版）下册，陈纪修，於崇华 金路，高等教育出版社.