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【摘要】翻转课堂是信息技术环境下的一种新型教学模式，其教学设计和教学活动都是以学生的学习为主线，学生是课堂教学关注的中心，这样可以满足学生多样性的学习要求.本文以微积分基本公式这一节为例，探讨如何在翻转课堂教学模式下进行教学设计，并总结出教学反思.
【关键词】翻转课堂;微积分基本公式;教学设计
【基金项目】河南省高等教育教学改革研究项目（2019SJGLX277）;河南工业大学2018 年本科教育教学改革研究与实践专项项目（GJYJ-ZX55，GJYJ-ZX54）
一、引 言
2018年8月，教育部印发了《关于狠抓新时代全国高等学校本科教育工作会议精神落实的通知》，要求各高校严抓本科教育，淘汰“水课”，打造“金课”.为此，高校教师们都在致力于教学方法的改革，在狠抓课程建设、不断提高教学质量方面做了大量富有成效的工作.2018年11月，在广州召开的第十一届“中国大学教学论坛”上，中国高等教育学会副会长张大良提出：“要重塑以学习者为中心的新型教育教学生态，在互联网环境下的翻转课堂，其实是最好的学习方式，让学生从观看变为体验，充当一小时老师、一堂课老师，这样将会促进学生主动探求知识，综合锻炼基本能力.”翻转课堂又称“反转课堂”，翻转了传统教学模式，把传统课堂教学中的知识通过当前的信息技术翻转到课前让学生自主完成，而知识内化以老师和学生、学生和学
生讨论的形式翻转到课堂上进行[1].翻转课堂的优势在于从先教后学变为先学后教，学生从被动学习变为主动学习.每接觸一节新课，学生可以学习两遍，第一遍，带着问题自己学，第二遍，集中解决重难点问题.这一模式可以培养学生思维的深刻性、批判性，塑造学生主动学习的能力.
《高等数学》是高校理工科各专业的一门重要基础课，对于培养和提高学生的创新能力与综合素质起着极为重要的作用.本文结合翻转课堂的教学特点，并基于翻转课堂在高等数学教学中的实践研究，以微积分基本公式这一节为例，详细介绍了翻转课堂的教学设计和实施流程，并给出教学反思，以探索高等数学课程教学改革的创新与发展，提高教学效果.
二、翻转课堂教学模式下教学设计的基本流程
（一）教学目标分析
微积分基本公式在整个数学领域，特别是微积分领域占有极其重要的地位，正是这个公式的发现，才标志着微积分的真正建立.该公式揭示了定积分的值与被积函数的原函数之间的关系，为定积分的计算提供了简单有效的一般方法，具有非常重要的理论价值和实际意义，为后续课程的学习打下了坚实的基础.通过翻转课堂教学模式和方法，我们期望学生达到以下目标.
1.知识目标：（1）理解积分上限函数的意义和本质;（2）掌握积分上限函数的求导公式以及在求极限等数学问题中的应用;（3）掌握微积分基本公式，并会利用该公式计算一些简单的定积分.
2.能力目标：（1）培养学生自主学习的能力，提高学生思考问题、分析问题、探究数学规律的能力;（2）能充分利用网络资源开展课外增量学习，并根据自己的实际情况制订科学、合理的学习计划，从而达到增效学习的目的.
3.情感目标：（1）能让学生喜欢高等数学，热爱高等数学，能感受到微积分的博大精深;（2）学会理解并尊重他人，学会如何同他人进行富有成效的合作，培养团队合作意识和能力，养成对学习勇于担当和精益求精的精神.
（二）教学过程实施
微积分基本公式这一节主要围绕“课前、课中、课后”这三个环节进行教学设计.
1.课前设计
课前设计主要进行以下工作.
（1）分析工作：在传统教学模式下，教师只是口头上要求学生进行课前预习，但究竟怎么预习，预习之后达到的目标是什么，并没有详细告知学生，这时预习全凭学生自觉进行，即使是比较自觉努力的学生，也只是大致浏览一下课本，了解大致内容是什么，根本达不到预习的目的.之所以出现这样的现象，是因为学生预习时没有目的性，没有带着问题进行，没有本着消化吸收的理念进行预习.而翻转课堂教学模式可以改变这一现象.翻转课堂采用的是让学生积极主动学习的探究性学习方式，通过预习环节让学生充分理解课本内容，夯实基础，让学生自己掌控学习，培养学生自主管理的能力，提高学习效率，使学生个性化发展.
（2）提供教学资源：提前一周将学习任务单、教学课件、微课视频以及教学视频网址发给学生，让学生在一周内完成预习任务.
学习任务单有以下几个任务.
1）引例结论：∫T2T1v（t）dt=s（T2）-s（T1），根据速度函数和路程函数之间的关系，由特殊到一般，大胆猜想出定积分的计算公式是什么.
2）如何理解积分上限的函数Φ（x）=∫xaf（t）dt，该函数的特殊性和普遍性分别是什么？
3）如何求积分上限函数的导数？
4）如何用洛必达法则求解极限问题limx→0∫x0cos t2dtx.
5）微积分的基本公式是什么？如何用该公式计算定积分？
6）积分中值定理和微分中值定理之间的关系是什么？
（3）对学生的要求：将学生按照宿舍进行分组，学生可以在宿舍或图书馆自主观看老师提供的学习资源，并根据自身情况安排学习进程，不必担心教学节奏快慢的问题，如遇到不理解的问题还可以寻求老师或小组同学的帮助.注意要带着老师布置的学习任务单进行自主学习，并将自己学习到的主要内容、遇到的问题以及解决方法以笔记的形式记下来，用于课堂交流.
2.课中设计
翻转课堂最大的好处就是全面提升了课堂的互动，具体表现在教师和学生之间以及学生与学生之间.教师的角色已经从内容的呈现者转变为学生的教练，使得学生的主体地位得到彰显，学生的个性化学习成为可能，课堂中师生有更多时间用于解决学习问题，进行深层次互动，使学生真正理解课程内容，有效促进教学目标的达成[2]. 课中设计主要由以下几个方面组成.
（1）小组讨论，分享学习心得.每个小组推荐一名代表，从六个预习思考题出发，分享自己的学习心得，小组其他成员可以补充说明，并将本小组在学习中遇到的疑难问题提出来，其他小组同学参与讨论，也可以是辩论的形式，使整个课堂呈现出热烈的学习气氛，实现开放式课堂.翻转后的课堂不再是教师灌输知识的过程，而是学生真正成为课堂的主人，既有助于知识的内化、巩固和提高，也培养了学生团队合作的能力.
（2）课堂解答.在翻转课堂上，教师的身份变成了学习的指导者，将学生存在问题的知识点在课堂上给予集中讲解，详细解答.经过学生汇报，我们发现学生集中存在的问题有两个：一是对积分上限函数的理解，二是积分中值定理与微分中值定理之间的关系.针对第一个问题，可利用一个直观的动画给学生演示，积分上限的函数Φ（x）=∫xaf（t）dt的自变量的位置在积分上限，对应规则是做定积分，它是一个普通的一元函数，具有一元函数所有的特征.针对第二个问题，可通过下面的等式使学生充分理解，即∫baf（t）dt=f（ξ）（b-a）=F′（ξ）（b-a）=F（b）-F（a），说明微积分基本公式作为一座桥梁将积分中值定理和微分中值定理联系起来.通过学生自己在课前学习和参与课堂讨论，加上教师在课堂上点拨重难点知识，学生的学习效果将会大大提升.
（3）知识拓展.积分上限函数的求导公式Φ′（x）=∫xaf（t）dt′=f（x）是一个非常重要的结论，可以将其推广到更一般的情形，使得该结论使用的范围更加广泛.可引导学生利用复合函数求导法则写出以下推广结论：
∫φ（x）af（t）dt′=f[φ（x）]φ′（x），
∫φ（x）ψ（x）f（t）dt′=f[φ（x）]φ′（x）-f[ψ（x）]ψ′（x），
从而培养学生的发散思维能力和推理能力.
（4）课堂在线测试.在课堂中给出以下几道测试题，当堂检验学生的学习效果.
1）∫3a01a2 x2dx;
2）∫2π0|sin x|dx;
3）limx→0∫1cos xe-t2dtx2.
將学生的课堂参与度和测试结果计入平时成绩，对学生及教学效果进行合理评价，并据此调整教学方法.
（5）归纳总结.经过以上教学过程，和学生一起总结本节课主要内容，有以下几点：1）积分上限函数Φ（x）=∫xaf（t）dt是一个一元函数，既特殊又普通;2）求导公式Φ′（x）=∫xaf（t）dt′=f（x）也叫微积分基本定理，总结其意义、推广以及应用;3）微积分基本公式∫baf（t）dt=F（b）-F（a）在微积分领域中的地位和应用.在总结微积分基本公式时，给学生介绍历史上著名的公案：牛顿、莱布尼兹之争，让学生了解该公式的历史背景.另外，介绍莱布尼兹为了证明这个公式付出了十几年的艰辛，告诉同学们，科学上的很多真理都是在经历无数次挫折、失败之后才得出的，鼓励同学们正视挫折，正确对待挫折，这样才能让挫折变成我们走向成功的阶梯.以此对学生实施素质教育，将思政元素融入课堂，使得整个课堂得以升华.
3.课后设计
课后布置两项作业：第一项作业为教师指定的几道课后习题，让学生所学知识得以巩固提高;第二项作业为阅读指定参考文献：[1]陆宜清.浅谈变限积分函数及其应用[J].南阳师范学院学报，2018，17（6）：5-9.[2]张慧芳.关于变上限积分函数及N-L公式的探讨[J].安顺学院学报，2016，18（4）：122-124.[3]李庆娟.探讨积分上限函数的应用[J].高等数学研究，2015，18（6）：21-22.以此培养学生查阅和阅读文献的能力，从而达到增效学习的目的.
三、教学后记
尽管翻转课堂的好处明显，但其目前在国内的实践还存在一些问题.翻转课堂想要达到良好的实施效果，不仅要有翻转的形式，还要有翻转的内涵和本质.这就对教师和学生都提出了较高的要求.首先，要求教师对翻转课堂的教学理论和本质规律有深入准确的把握，要求教师必须具备优秀的课堂管理和课程设计能力，在翻转课堂实践中遇到各种问题时，要能正确应对并予以解决，使得课堂能够顺利进行.其次，对学生来说，这种教学模式在课前需要学生有很强的自主性，在课中需要学生进行大量合作，对于已经习惯传统教学模式的他们还需要时间去适应[3].总之，翻转课堂的“以学生为中心，激发学生内驱力”这一核心理念值得我们深刻思考与借鉴，沉下来对翻转课堂进行深入研究和思考是非常重要的，这需要经过长期的教学实践才能逐渐成熟.
【参考文献】
[1]王春鸽.函数的极限翻转课堂教学设计[J].数学学习与研究，2018（12）：5.
[2]周海钰.基于微课的翻转课堂教学模式在《高等数学》教学中的应用研究[J].辽宁师专学报，2017，19（2）：14-16.
[3]江万满.基于翻转课堂的高等数学教学设计研究[J].内蒙古财经大学学报，2019，17（3）：120-122.
【关键词】翻转课堂;微积分基本公式;教学设计
【基金项目】河南省高等教育教学改革研究项目（2019SJGLX277）;河南工业大学2018 年本科教育教学改革研究与实践专项项目（GJYJ-ZX55，GJYJ-ZX54）
一、引 言
2018年8月，教育部印发了《关于狠抓新时代全国高等学校本科教育工作会议精神落实的通知》，要求各高校严抓本科教育，淘汰“水课”，打造“金课”.为此，高校教师们都在致力于教学方法的改革，在狠抓课程建设、不断提高教学质量方面做了大量富有成效的工作.2018年11月，在广州召开的第十一届“中国大学教学论坛”上，中国高等教育学会副会长张大良提出：“要重塑以学习者为中心的新型教育教学生态，在互联网环境下的翻转课堂，其实是最好的学习方式，让学生从观看变为体验，充当一小时老师、一堂课老师，这样将会促进学生主动探求知识，综合锻炼基本能力.”翻转课堂又称“反转课堂”，翻转了传统教学模式，把传统课堂教学中的知识通过当前的信息技术翻转到课前让学生自主完成，而知识内化以老师和学生、学生和学
生讨论的形式翻转到课堂上进行[1].翻转课堂的优势在于从先教后学变为先学后教，学生从被动学习变为主动学习.每接觸一节新课，学生可以学习两遍，第一遍，带着问题自己学，第二遍，集中解决重难点问题.这一模式可以培养学生思维的深刻性、批判性，塑造学生主动学习的能力.
《高等数学》是高校理工科各专业的一门重要基础课，对于培养和提高学生的创新能力与综合素质起着极为重要的作用.本文结合翻转课堂的教学特点，并基于翻转课堂在高等数学教学中的实践研究，以微积分基本公式这一节为例，详细介绍了翻转课堂的教学设计和实施流程，并给出教学反思，以探索高等数学课程教学改革的创新与发展，提高教学效果.
二、翻转课堂教学模式下教学设计的基本流程
（一）教学目标分析
微积分基本公式在整个数学领域，特别是微积分领域占有极其重要的地位，正是这个公式的发现，才标志着微积分的真正建立.该公式揭示了定积分的值与被积函数的原函数之间的关系，为定积分的计算提供了简单有效的一般方法，具有非常重要的理论价值和实际意义，为后续课程的学习打下了坚实的基础.通过翻转课堂教学模式和方法，我们期望学生达到以下目标.
1.知识目标：（1）理解积分上限函数的意义和本质;（2）掌握积分上限函数的求导公式以及在求极限等数学问题中的应用;（3）掌握微积分基本公式，并会利用该公式计算一些简单的定积分.
2.能力目标：（1）培养学生自主学习的能力，提高学生思考问题、分析问题、探究数学规律的能力;（2）能充分利用网络资源开展课外增量学习，并根据自己的实际情况制订科学、合理的学习计划，从而达到增效学习的目的.
3.情感目标：（1）能让学生喜欢高等数学，热爱高等数学，能感受到微积分的博大精深;（2）学会理解并尊重他人，学会如何同他人进行富有成效的合作，培养团队合作意识和能力，养成对学习勇于担当和精益求精的精神.
（二）教学过程实施
微积分基本公式这一节主要围绕“课前、课中、课后”这三个环节进行教学设计.
1.课前设计
课前设计主要进行以下工作.
（1）分析工作：在传统教学模式下，教师只是口头上要求学生进行课前预习，但究竟怎么预习，预习之后达到的目标是什么，并没有详细告知学生，这时预习全凭学生自觉进行，即使是比较自觉努力的学生，也只是大致浏览一下课本，了解大致内容是什么，根本达不到预习的目的.之所以出现这样的现象，是因为学生预习时没有目的性，没有带着问题进行，没有本着消化吸收的理念进行预习.而翻转课堂教学模式可以改变这一现象.翻转课堂采用的是让学生积极主动学习的探究性学习方式，通过预习环节让学生充分理解课本内容，夯实基础，让学生自己掌控学习，培养学生自主管理的能力，提高学习效率，使学生个性化发展.
（2）提供教学资源：提前一周将学习任务单、教学课件、微课视频以及教学视频网址发给学生，让学生在一周内完成预习任务.
学习任务单有以下几个任务.
1）引例结论：∫T2T1v（t）dt=s（T2）-s（T1），根据速度函数和路程函数之间的关系，由特殊到一般，大胆猜想出定积分的计算公式是什么.
2）如何理解积分上限的函数Φ（x）=∫xaf（t）dt，该函数的特殊性和普遍性分别是什么？
3）如何求积分上限函数的导数？
4）如何用洛必达法则求解极限问题limx→0∫x0cos t2dtx.
5）微积分的基本公式是什么？如何用该公式计算定积分？
6）积分中值定理和微分中值定理之间的关系是什么？
（3）对学生的要求：将学生按照宿舍进行分组，学生可以在宿舍或图书馆自主观看老师提供的学习资源，并根据自身情况安排学习进程，不必担心教学节奏快慢的问题，如遇到不理解的问题还可以寻求老师或小组同学的帮助.注意要带着老师布置的学习任务单进行自主学习，并将自己学习到的主要内容、遇到的问题以及解决方法以笔记的形式记下来，用于课堂交流.
2.课中设计
翻转课堂最大的好处就是全面提升了课堂的互动，具体表现在教师和学生之间以及学生与学生之间.教师的角色已经从内容的呈现者转变为学生的教练，使得学生的主体地位得到彰显，学生的个性化学习成为可能，课堂中师生有更多时间用于解决学习问题，进行深层次互动，使学生真正理解课程内容，有效促进教学目标的达成[2]. 课中设计主要由以下几个方面组成.
（1）小组讨论，分享学习心得.每个小组推荐一名代表，从六个预习思考题出发，分享自己的学习心得，小组其他成员可以补充说明，并将本小组在学习中遇到的疑难问题提出来，其他小组同学参与讨论，也可以是辩论的形式，使整个课堂呈现出热烈的学习气氛，实现开放式课堂.翻转后的课堂不再是教师灌输知识的过程，而是学生真正成为课堂的主人，既有助于知识的内化、巩固和提高，也培养了学生团队合作的能力.
（2）课堂解答.在翻转课堂上，教师的身份变成了学习的指导者，将学生存在问题的知识点在课堂上给予集中讲解，详细解答.经过学生汇报，我们发现学生集中存在的问题有两个：一是对积分上限函数的理解，二是积分中值定理与微分中值定理之间的关系.针对第一个问题，可利用一个直观的动画给学生演示，积分上限的函数Φ（x）=∫xaf（t）dt的自变量的位置在积分上限，对应规则是做定积分，它是一个普通的一元函数，具有一元函数所有的特征.针对第二个问题，可通过下面的等式使学生充分理解，即∫baf（t）dt=f（ξ）（b-a）=F′（ξ）（b-a）=F（b）-F（a），说明微积分基本公式作为一座桥梁将积分中值定理和微分中值定理联系起来.通过学生自己在课前学习和参与课堂讨论，加上教师在课堂上点拨重难点知识，学生的学习效果将会大大提升.
（3）知识拓展.积分上限函数的求导公式Φ′（x）=∫xaf（t）dt′=f（x）是一个非常重要的结论，可以将其推广到更一般的情形，使得该结论使用的范围更加广泛.可引导学生利用复合函数求导法则写出以下推广结论：
∫φ（x）af（t）dt′=f[φ（x）]φ′（x），
∫φ（x）ψ（x）f（t）dt′=f[φ（x）]φ′（x）-f[ψ（x）]ψ′（x），
从而培养学生的发散思维能力和推理能力.
（4）课堂在线测试.在课堂中给出以下几道测试题，当堂检验学生的学习效果.
1）∫3a01a2 x2dx;
2）∫2π0|sin x|dx;
3）limx→0∫1cos xe-t2dtx2.
將学生的课堂参与度和测试结果计入平时成绩，对学生及教学效果进行合理评价，并据此调整教学方法.
（5）归纳总结.经过以上教学过程，和学生一起总结本节课主要内容，有以下几点：1）积分上限函数Φ（x）=∫xaf（t）dt是一个一元函数，既特殊又普通;2）求导公式Φ′（x）=∫xaf（t）dt′=f（x）也叫微积分基本定理，总结其意义、推广以及应用;3）微积分基本公式∫baf（t）dt=F（b）-F（a）在微积分领域中的地位和应用.在总结微积分基本公式时，给学生介绍历史上著名的公案：牛顿、莱布尼兹之争，让学生了解该公式的历史背景.另外，介绍莱布尼兹为了证明这个公式付出了十几年的艰辛，告诉同学们，科学上的很多真理都是在经历无数次挫折、失败之后才得出的，鼓励同学们正视挫折，正确对待挫折，这样才能让挫折变成我们走向成功的阶梯.以此对学生实施素质教育，将思政元素融入课堂，使得整个课堂得以升华.
3.课后设计
课后布置两项作业：第一项作业为教师指定的几道课后习题，让学生所学知识得以巩固提高;第二项作业为阅读指定参考文献：[1]陆宜清.浅谈变限积分函数及其应用[J].南阳师范学院学报，2018，17（6）：5-9.[2]张慧芳.关于变上限积分函数及N-L公式的探讨[J].安顺学院学报，2016，18（4）：122-124.[3]李庆娟.探讨积分上限函数的应用[J].高等数学研究，2015，18（6）：21-22.以此培养学生查阅和阅读文献的能力，从而达到增效学习的目的.
三、教学后记
尽管翻转课堂的好处明显，但其目前在国内的实践还存在一些问题.翻转课堂想要达到良好的实施效果，不仅要有翻转的形式，还要有翻转的内涵和本质.这就对教师和学生都提出了较高的要求.首先，要求教师对翻转课堂的教学理论和本质规律有深入准确的把握，要求教师必须具备优秀的课堂管理和课程设计能力，在翻转课堂实践中遇到各种问题时，要能正确应对并予以解决，使得课堂能够顺利进行.其次，对学生来说，这种教学模式在课前需要学生有很强的自主性，在课中需要学生进行大量合作，对于已经习惯传统教学模式的他们还需要时间去适应[3].总之，翻转课堂的“以学生为中心，激发学生内驱力”这一核心理念值得我们深刻思考与借鉴，沉下来对翻转课堂进行深入研究和思考是非常重要的，这需要经过长期的教学实践才能逐渐成熟.
【参考文献】
[1]王春鸽.函数的极限翻转课堂教学设计[J].数学学习与研究，2018（12）：5.
[2]周海钰.基于微课的翻转课堂教学模式在《高等数学》教学中的应用研究[J].辽宁师专学报，2017，19（2）：14-16.
[3]江万满.基于翻转课堂的高等数学教学设计研究[J].内蒙古财经大学学报，2019，17（3）：120-122.