抽象函数方程教学的一些探讨

• 作 者: 朱兰萍
• 出 处: 中国科教创新导刊
• 发表日期: 2011年25期

　　摘 要:本文主要讨论了抽象函数方程解的性质及其应用。
　　关键词:抽象方程连续性可导性单调性可积性局部有界性
　　中图分类号:G420 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)09(a)-0094-02
　　
　　设函数定义在整个上,且满足方程
　　
　　自然地,我们会想到应为线性函数,但[1]指出抽象方程具有不连续解,也就是说解未必为,那么方程的解何时为呢?下面我们就探讨这个问题,首先探讨满足方程的函数的性质。
　　引理1:为奇函数,,且。
　　引理2:具有平移不变性,即若在处具有某种性质(如局部有界性、连续、可导),则在上处处具有该性质。
　　引理3:若在处单调增(减),即当时,();当时,(),则在上处处单调增(减),进而在上单调增(减).
　　引理4:若在某区间上可积,则在任意有限闭区间上可积.证明:我们只证引理2,其余留给读者自证。设在处连续,则
　　时,。从而对任, 。故在处连续。
　　若在处可导,则对,有
　　,
　　即在处可导,且。最后,若设在处局部有界,则,从而时,
　　
　　。
　　下面我们给出抽象方程解为线性函数的条件。
　　定理1:设函数定义在整个上,且满足方程
　　
　　若满足下列条件之一,则。
　　(1)在某处连续;(2)在某处可导;(3)在某处单调;(4)在某有限闭子区间上可积;(5)在某处局部有界。
　　证明:(1)由引理1和引理2知,在上处处连续,且。对,存在,由连续性,
　　。
　　(2)由引理2知,在上处处可导,且,则由,,令,即得,故。
　　(3)由引理3知,在上单调,不妨设在上单调增,则对任何,存在。故由引理1,,两边关于取极限,即得。
　　（4)由引理4知,在任意有限闭子区间上可积。对方程两边关于积分,,
　　即,进而
　　.由于右式中可以互换,则,令,即得。
　　(5)不妨设在处局部有界,≤由1)知,我们仅需证在处连续,事实上,,使得,从而
　　。证毕。
　　注1:为保证方程的解为通常所给的条件为在上连续或可导(见[2])。定理1给出了5个不同条件,还给出每个条件情形的详细证明,主要目的是让学生体会不同条件下完全不同的证明方法。我们还应注意5个条件中(5)最弱,而且(5)还可以减弱为在某处局部有上(或下)界。
　　下面我们给出定理1的简单应用,证明基本用函数代换,我们略去不证。
　　定理2:设非零函数定义在上,
　　。
　　若满足定理1中5个条件之一,则。
　　定理3:设非零函数定义在上,。
　　若满足定理1中5个条件之一,则。
　　定理4:设非零函数定义在上,
　　。若满足定理1中5个条件之一,则。
　　定理5:设非零函数定义在上,
　　。
　　若满足定理1中5个条件之一,则。
　　
　　参考文献
　　[1] 谢邦杰.超穷数和超穷归纳法[M].长春:吉林出版社,1979.
　　[2] 华东师范大学数学系.数学分析(上册,第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.