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【摘要】“多位数乘或除以一位数的笔算”是计算教学的重要内容，北师大版教材将这一内容安排在三年级上下两册分别教学。竖式计算属于程序性知识，教师在教学时容易走入灌输式教学的误区。根据以往教学中学生存在的困惑点和乘除法竖式学习的体验点，教师可以以“创造、择优、规范”的视角开展单元整合教学：创造——联系中理解竖式的算理;择优——思辨中感悟规定的普适;规范——练习中促进算理的理解。
【关键词】单元整合教学;创造;择优;规范
乘除法是小学数学计算教学中的重要内容，北师大版教材将“多位数乘或除以一位数的口算与笔算”教学安排在三年级，上册教学乘、除法的口算及乘法的笔算;下册教学除法的笔算。笔者围绕这一内容，从分析学生学习中的困惑开始，进行了相关的教学实践研究。
一、学生学习的两个困惑点
（一）为什么乘法竖式要并成一层，而除法竖式却要分成两层？
笔者针对“12×4”的乘法竖式在3个班进行了前测，发现40%左右的同学列出两种分层的竖式（如图1），从结果看两种竖式都准确地求出了积，从过程看，两种竖式也没有逻辑错误。
教材借助智慧老人的话“乘法竖式通常这样写”规范了竖式书写格式（如图2），学生往往是用被动接受的方式接纳这种方法，不一定明白规定背后的道理。
在学了乘法竖式后，笔者针对“68÷2”的除法竖式又对这3个班进行了前测，发现80%以上的学生采用了一层竖式的格式（如图3）。
可见，乘法竖式给除法竖式带来了负迁移，虽然教材编排了“分小棒”的操作，但分小棒的方法很多，教材中“先整捆再单根”的分法似有刻意迎合除法竖式格式之嫌，学生对“为什么乘法竖式并成一层，而除法竖式却要分成两层”依旧充满困惑。
（二）为什么乘法要从低位算起，而除法却要从高位算起？
笔算乘法要从低位乘起，如计算48×2，先计算8×2=16，把l（也就是10）写在进位处，将6记录在个位上，再计算4×2=8（实际是40×2=80），将8（80）加上进位的1（10）等于9（90），在十位记录下来。但让学生感到困惑的是口算乘法时，一般从高位乘起，如同样计算48×2，先算“40x2=80”，然后算“8×2=16”，再将两次乘得的积相加，得到80 16=96。虽然教师会用“不容易出错”等原因做出解释，但这还是会让很多学生感到不解。
同样，口算除法“68÷2”时，是先算“60÷2”，还是先算“8÷2”，在数学逻辑上没有本质差别，但竖式计算一般统一规定为从高位除起，教材借助分小棒的操作活动解释这个规定，难以令学生心服口服，同样也是学生学习的困惑。
二、学生学习的三个体验点
竖式教学中，如果只将规范格式告诉学生，就是静态的教学。只有站在创造的角度，将学生的思维激活，才是动态的教学。乘除法竖式的学习要实现动态教学，有以下三个不可或缺的体验点。
（一）竖式是对口算过程的简便记录
竖式的本质就是对口算过程的简便记录。口算是乘除法竖式的生长点，“12×4”和“68÷2”都是分别计算两次再把所得的结果相加。教学中可以尝试让学生重走竖式的创造之路，在知识的形成过程中体会竖式是对口算过程的简便记录，这是学生在乘除法计算相关学习中不可或缺的体验。
（二）基于算理的竖式都是好的创造
以下形式的竖式，几乎在每个班的学生中都会出现（如图4）。
不同的竖式都是学生自己的精彩创造，甚至也是古人曾经的创造。教学中教师应设法让学生基于算理创造竖式，并寻找每一种创造蕴含的道理，让学生在创造的过程中打开思维，深度理解竖式计算的算理，这是学生学习中一个重要的体验点。
（三）规范格式是使用中的主动择优
竖式计算法则是一种规定，规定的得来需要充分的理由。教学中把乘除法竖式放在一起思考，学生更容易感悟“普适性”这一法则规定的原则，现在竖式的计算法则其实是各种不同的竖式在使用过程中人们择优的结果，这也是学生学习这部分内容需要经历的体验。
三、基于“创造、择优、规范”的视角开展单元整合教学
为了有效地突破困惑点，夯实体验点，更好地运用乘法竖式创造过程中两层写法对除法竖式的迁移作用，笔者对这部分内容进行了单元整合教学实践，利用乘除法竖式“本质同形式异”这一特点尝试结构化教学，助力学生的数学理解。为了体现延续性，整合过的上下册内容均在同一个班进行教学，整合的方式如表1所示。
表1“多位数乘或除以一位数的笔算”单元整合教学结构调整表
（一）单元整合的依据
整合就是通过协调、融合，将零散的要素组合在一起，主要体现在教材重组中，通过调整教学内容的顺序、合并或增加部分内容、改变教学方式等途径，试图达到学科内知识点的整合。
1.改造学习经验的需要
在对“12×4”“68÷2”列竖式的前测中可以看出，学生对如何列竖式有属于自己的个性化学习经验（如图4）。但通过访谈发现，学生對竖式的由来不清楚，对规定背后的道理也不清楚。单元整合教学可以更好地改造学生的已有经验，让学生更深刻地理解规定背后的道理。
2.打通教材编排的需要
教材中乘除法竖式的规范格式学生不容易理解，当学生用两层的形式记录口算乘法时，教材借助智慧老人“乘法竖式通常这样写”的话语把两层规范成了一层;当学生利用乘法竖式的经验把“68÷2”的竖式也写成一层时，教材又借助分小棒的操作告诉学生应该写成两层。按照教材教学，往往教得生硬学得被动。单元整合教学可以有效利用乘法竖式过程中出现的两层经验助力学生理解除法竖式的规范格式。
3.实现自我生长的需要
竖式的规定之所以让学生感到生硬，是因为其被割裂为一块独立的空间，缺少算理的支持和学生自身的体验，难以与学生的既有水平衔接。单元整合教学可以抓住口算这一生长点，通过记录口算驱动学生创造竖式，在充分的体验与交流中实现主动择优。 （二）单元整合的教学目标
在充分理解教学内容、了解学生学习的困惑与需求后，笔者将教学内容进行整合，确定了每课时教学目标（如表2）。
（三）单元整合的教学实践
1.创造：联系中理解竖式的算理
乘除法竖式对成人来讲是已有经验，但对儿童来讲是在自己经验之上的创造，是儿童自己独有的精彩观念。
（1）复习口算，为竖式的创造明确起点。
数学是讲道理的，计算课的道理在算理，竖式的道理是对口算方法的记录。
教学中先安排20分钟短课复习乘除法口算（主要内容如图5），然后在对比沟通中提炼出两位数乘或除以一位数口算“分别计算两次，再把两次所得的结果相加”的相同点，为竖式的研究做好认知铺垫。
（2）记录口算，为竖式的创造搭建支架。
通过问题“你能想办法把12×4的口算过程记录下来吗”驱动学生对乘法的研究，学生创造出了画图、表格、竖式等不同的记录方法（如图6）。交流中大家发现用竖式记录更方便，而且三种不同形式的竖式都与口算有关联，既关联算理也为后面两层除法竖式的创造埋下伏笔。
在此基础上请学生直接创造除法竖式。学生创造出了三种不同的竖式（如图7），从前两种竖式可以清楚地看出除了两次，但除的顺序不同，而第三种竖式除两次的过程不如前两种清晰。三种竖式相加的过程都比乘法竖式更隐蔽。
（3）反馈评议，为学生的创造点赞。
学生创造的竖式不一定规范，但都不违背算理，并且学生在创造的过程中真正理解了竖式的简洁性，进一步体会到乘除法竖式的算理。所以反馈评议的过程是对学生创造的肯定，同时提出下节课要思考的问题：“这么多种竖式，到底哪一种更实用，更适合作为统一的规定呢？”
2.择优：思辨中感悟规定的普适性
学生创造了多种不同的竖式，但教材中给出的竖式只有一种。让学生体会到规定的合理性是第三课时的目标，因此笔者给学生安排了50分钟的探究、交流时间。
（1）明确标准，自主体验尝试择优。
郑毓信教授指出：“数学核心素养的基本含义就在于我们应当通过数学教学帮助学生思维，并能使他们逐步学会想得更清晰、更深入、更全面、更合理。”这么多合乎算理的创造，哪一种适合作为统一的规定？引导学生交流得出“简便、清楚”的标准后，就放手让他们画一画、分一分、算一算，给足学生自主探究的空间（如图8）。
（2）交流思辨，举例论证达成共识。
数学是一门思辨的学科，计算课同样需要让学生在思辨中体验、对比，发现算法，并深入地理解算理。
对学生创造的三个乘法竖式，教师提出问题驱动学生思考：为什么只要一层？两层怎么不好？应从哪位乘起，为什么？学生在交流中道出了两位数乘一位數乘法竖式的真谛：“如果乘数是三位数、四位数，那岂不是要很多层了？容易出错。”“后面有那么多0，我们容易把数位对错。”“我们在做加法时也是这样进位的。”“如果从十位算起，个位有进位的话，十位不是又得擦掉了？”
学生对三个除法竖式的思辨更精彩。有学生说：“我支持两层的，因为它更清楚地把除两次的过程记录下来。”“清楚”一词说服了全体学生。关于从高位除起还是从低位除起的问题，有学生说“和乘法一样，从低位除起”，也有学生说“应该从高位除起”，还有学生说“从高位除起和从低位除起差不多”。这时有几位学生不约而同地提出用不同的方法算一算“58÷3”，以下是两种比较有代表性的作品（如图9）。
实践是检验真理的唯一标准。通过思辨，学生不仅得出了规范格式，而且加深了对竖式意义的理解，在具体化描述的过程中深入理解了计算法则，并使数学思维获得发展，提升了分析、比较、归纳等数学素养。
（3）回顾反思，感悟规范加深体验。
回顾反思同样能助力学生对算理的理解，因此笔者除了引导学生回顾正确的竖式格式外，还引导学生回顾了乘除法竖式得出的全过程，让学生感受乘除法竖式规定的得来及美妙之处，感受数学严谨的科学美、辩证的哲理美、简洁的形式美。
3.规范：练习中促进算理的理解
算理的理解和格式的规范是相互促进的，两者协同发挥效用，能提高计算正确率。
（1）在规范表达中感悟算理。
虽然探究乘除法竖式得来的过程是开放的，但运用正确格式计算的过程可以是收拢的。在达成乘除法竖式的规范格式后，笔者先让学生用自己的语言表达乘除法竖式的格式要求，再一起来看规范的数学语言是如何表达的。这正是建构学中的同化与顺应，帮助学生实现自身与外界的动态平衡。
（2）在巩固练习中提升技能。
计算教学中不需要耍花棒，学生只需扎扎实实地练，并结合前面的学习体验进行分析与反思，理解后再进行练习，在练习中促进理解、提升技能。
单元整合后的乘除法竖式教学，从“创造、择优、规范”的视角关联知识的内在结构，学生通过多种方式感悟乘除法竖式计算的算理，体会数学知识之间的内在关联，获得了高质量的数学学习。
【关键词】单元整合教学;创造;择优;规范
乘除法是小学数学计算教学中的重要内容，北师大版教材将“多位数乘或除以一位数的口算与笔算”教学安排在三年级，上册教学乘、除法的口算及乘法的笔算;下册教学除法的笔算。笔者围绕这一内容，从分析学生学习中的困惑开始，进行了相关的教学实践研究。
一、学生学习的两个困惑点
（一）为什么乘法竖式要并成一层，而除法竖式却要分成两层？
笔者针对“12×4”的乘法竖式在3个班进行了前测，发现40%左右的同学列出两种分层的竖式（如图1），从结果看两种竖式都准确地求出了积，从过程看，两种竖式也没有逻辑错误。
教材借助智慧老人的话“乘法竖式通常这样写”规范了竖式书写格式（如图2），学生往往是用被动接受的方式接纳这种方法，不一定明白规定背后的道理。
在学了乘法竖式后，笔者针对“68÷2”的除法竖式又对这3个班进行了前测，发现80%以上的学生采用了一层竖式的格式（如图3）。
可见，乘法竖式给除法竖式带来了负迁移，虽然教材编排了“分小棒”的操作，但分小棒的方法很多，教材中“先整捆再单根”的分法似有刻意迎合除法竖式格式之嫌，学生对“为什么乘法竖式并成一层，而除法竖式却要分成两层”依旧充满困惑。
（二）为什么乘法要从低位算起，而除法却要从高位算起？
笔算乘法要从低位乘起，如计算48×2，先计算8×2=16，把l（也就是10）写在进位处，将6记录在个位上，再计算4×2=8（实际是40×2=80），将8（80）加上进位的1（10）等于9（90），在十位记录下来。但让学生感到困惑的是口算乘法时，一般从高位乘起，如同样计算48×2，先算“40x2=80”，然后算“8×2=16”，再将两次乘得的积相加，得到80 16=96。虽然教师会用“不容易出错”等原因做出解释，但这还是会让很多学生感到不解。
同样，口算除法“68÷2”时，是先算“60÷2”，还是先算“8÷2”，在数学逻辑上没有本质差别，但竖式计算一般统一规定为从高位除起，教材借助分小棒的操作活动解释这个规定，难以令学生心服口服，同样也是学生学习的困惑。
二、学生学习的三个体验点
竖式教学中，如果只将规范格式告诉学生，就是静态的教学。只有站在创造的角度，将学生的思维激活，才是动态的教学。乘除法竖式的学习要实现动态教学，有以下三个不可或缺的体验点。
（一）竖式是对口算过程的简便记录
竖式的本质就是对口算过程的简便记录。口算是乘除法竖式的生长点，“12×4”和“68÷2”都是分别计算两次再把所得的结果相加。教学中可以尝试让学生重走竖式的创造之路，在知识的形成过程中体会竖式是对口算过程的简便记录，这是学生在乘除法计算相关学习中不可或缺的体验。
（二）基于算理的竖式都是好的创造
以下形式的竖式，几乎在每个班的学生中都会出现（如图4）。
不同的竖式都是学生自己的精彩创造，甚至也是古人曾经的创造。教学中教师应设法让学生基于算理创造竖式，并寻找每一种创造蕴含的道理，让学生在创造的过程中打开思维，深度理解竖式计算的算理，这是学生学习中一个重要的体验点。
（三）规范格式是使用中的主动择优
竖式计算法则是一种规定，规定的得来需要充分的理由。教学中把乘除法竖式放在一起思考，学生更容易感悟“普适性”这一法则规定的原则，现在竖式的计算法则其实是各种不同的竖式在使用过程中人们择优的结果，这也是学生学习这部分内容需要经历的体验。
三、基于“创造、择优、规范”的视角开展单元整合教学
为了有效地突破困惑点，夯实体验点，更好地运用乘法竖式创造过程中两层写法对除法竖式的迁移作用，笔者对这部分内容进行了单元整合教学实践，利用乘除法竖式“本质同形式异”这一特点尝试结构化教学，助力学生的数学理解。为了体现延续性，整合过的上下册内容均在同一个班进行教学，整合的方式如表1所示。
表1“多位数乘或除以一位数的笔算”单元整合教学结构调整表
（一）单元整合的依据
整合就是通过协调、融合，将零散的要素组合在一起，主要体现在教材重组中，通过调整教学内容的顺序、合并或增加部分内容、改变教学方式等途径，试图达到学科内知识点的整合。
1.改造学习经验的需要
在对“12×4”“68÷2”列竖式的前测中可以看出，学生对如何列竖式有属于自己的个性化学习经验（如图4）。但通过访谈发现，学生對竖式的由来不清楚，对规定背后的道理也不清楚。单元整合教学可以更好地改造学生的已有经验，让学生更深刻地理解规定背后的道理。
2.打通教材编排的需要
教材中乘除法竖式的规范格式学生不容易理解，当学生用两层的形式记录口算乘法时，教材借助智慧老人“乘法竖式通常这样写”的话语把两层规范成了一层;当学生利用乘法竖式的经验把“68÷2”的竖式也写成一层时，教材又借助分小棒的操作告诉学生应该写成两层。按照教材教学，往往教得生硬学得被动。单元整合教学可以有效利用乘法竖式过程中出现的两层经验助力学生理解除法竖式的规范格式。
3.实现自我生长的需要
竖式的规定之所以让学生感到生硬，是因为其被割裂为一块独立的空间，缺少算理的支持和学生自身的体验，难以与学生的既有水平衔接。单元整合教学可以抓住口算这一生长点，通过记录口算驱动学生创造竖式，在充分的体验与交流中实现主动择优。 （二）单元整合的教学目标
在充分理解教学内容、了解学生学习的困惑与需求后，笔者将教学内容进行整合，确定了每课时教学目标（如表2）。
（三）单元整合的教学实践
1.创造：联系中理解竖式的算理
乘除法竖式对成人来讲是已有经验，但对儿童来讲是在自己经验之上的创造，是儿童自己独有的精彩观念。
（1）复习口算，为竖式的创造明确起点。
数学是讲道理的，计算课的道理在算理，竖式的道理是对口算方法的记录。
教学中先安排20分钟短课复习乘除法口算（主要内容如图5），然后在对比沟通中提炼出两位数乘或除以一位数口算“分别计算两次，再把两次所得的结果相加”的相同点，为竖式的研究做好认知铺垫。
（2）记录口算，为竖式的创造搭建支架。
通过问题“你能想办法把12×4的口算过程记录下来吗”驱动学生对乘法的研究，学生创造出了画图、表格、竖式等不同的记录方法（如图6）。交流中大家发现用竖式记录更方便，而且三种不同形式的竖式都与口算有关联，既关联算理也为后面两层除法竖式的创造埋下伏笔。
在此基础上请学生直接创造除法竖式。学生创造出了三种不同的竖式（如图7），从前两种竖式可以清楚地看出除了两次，但除的顺序不同，而第三种竖式除两次的过程不如前两种清晰。三种竖式相加的过程都比乘法竖式更隐蔽。
（3）反馈评议，为学生的创造点赞。
学生创造的竖式不一定规范，但都不违背算理，并且学生在创造的过程中真正理解了竖式的简洁性，进一步体会到乘除法竖式的算理。所以反馈评议的过程是对学生创造的肯定，同时提出下节课要思考的问题：“这么多种竖式，到底哪一种更实用，更适合作为统一的规定呢？”
2.择优：思辨中感悟规定的普适性
学生创造了多种不同的竖式，但教材中给出的竖式只有一种。让学生体会到规定的合理性是第三课时的目标，因此笔者给学生安排了50分钟的探究、交流时间。
（1）明确标准，自主体验尝试择优。
郑毓信教授指出：“数学核心素养的基本含义就在于我们应当通过数学教学帮助学生思维，并能使他们逐步学会想得更清晰、更深入、更全面、更合理。”这么多合乎算理的创造，哪一种适合作为统一的规定？引导学生交流得出“简便、清楚”的标准后，就放手让他们画一画、分一分、算一算，给足学生自主探究的空间（如图8）。
（2）交流思辨，举例论证达成共识。
数学是一门思辨的学科，计算课同样需要让学生在思辨中体验、对比，发现算法，并深入地理解算理。
对学生创造的三个乘法竖式，教师提出问题驱动学生思考：为什么只要一层？两层怎么不好？应从哪位乘起，为什么？学生在交流中道出了两位数乘一位數乘法竖式的真谛：“如果乘数是三位数、四位数，那岂不是要很多层了？容易出错。”“后面有那么多0，我们容易把数位对错。”“我们在做加法时也是这样进位的。”“如果从十位算起，个位有进位的话，十位不是又得擦掉了？”
学生对三个除法竖式的思辨更精彩。有学生说：“我支持两层的，因为它更清楚地把除两次的过程记录下来。”“清楚”一词说服了全体学生。关于从高位除起还是从低位除起的问题，有学生说“和乘法一样，从低位除起”，也有学生说“应该从高位除起”，还有学生说“从高位除起和从低位除起差不多”。这时有几位学生不约而同地提出用不同的方法算一算“58÷3”，以下是两种比较有代表性的作品（如图9）。
实践是检验真理的唯一标准。通过思辨，学生不仅得出了规范格式，而且加深了对竖式意义的理解，在具体化描述的过程中深入理解了计算法则，并使数学思维获得发展，提升了分析、比较、归纳等数学素养。
（3）回顾反思，感悟规范加深体验。
回顾反思同样能助力学生对算理的理解，因此笔者除了引导学生回顾正确的竖式格式外，还引导学生回顾了乘除法竖式得出的全过程，让学生感受乘除法竖式规定的得来及美妙之处，感受数学严谨的科学美、辩证的哲理美、简洁的形式美。
3.规范：练习中促进算理的理解
算理的理解和格式的规范是相互促进的，两者协同发挥效用，能提高计算正确率。
（1）在规范表达中感悟算理。
虽然探究乘除法竖式得来的过程是开放的，但运用正确格式计算的过程可以是收拢的。在达成乘除法竖式的规范格式后，笔者先让学生用自己的语言表达乘除法竖式的格式要求，再一起来看规范的数学语言是如何表达的。这正是建构学中的同化与顺应，帮助学生实现自身与外界的动态平衡。
（2）在巩固练习中提升技能。
计算教学中不需要耍花棒，学生只需扎扎实实地练，并结合前面的学习体验进行分析与反思，理解后再进行练习，在练习中促进理解、提升技能。
单元整合后的乘除法竖式教学，从“创造、择优、规范”的视角关联知识的内在结构，学生通过多种方式感悟乘除法竖式计算的算理，体会数学知识之间的内在关联，获得了高质量的数学学习。