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随着新一轮义务教育课程改革深入推进后，拓展性课程成为了热点话题。我们认为，数学拓展性课程，应该体现两个特征：第一，激发学生学习数学的兴趣；第二，激活学生思维，开发学生潜能。而以游戏为载体，发展学生的数学思维能力，应该是数学拓展性课程中的一种形式。
一、内容设计构想
在一次练习中，有一道习题引起了笔者注意：在8×8的棋盘右下角有一颗棋子，甲、乙两人轮流下棋，规定只能下在前一颗棋子的上面、左面或者左上方距离一格处，谁能用自己的棋子占领左上角谁就获胜，如果甲先下，那么谁会赢？
学生练习后，笔者在批改时发现，全班没有一位学生能够解决。经过交流发现，学生无法解决的原因有三：第一，部分学生不能理解题意，无法解题；第二，无法选择或有效使用“倒推”这一策略；第三，学生对必胜策略的寻找毫无头绪，无从下手。
究其原因，下棋是两个拥有理性思维的人之间的一种博弈，如果将这道题完全放给一个学生课后单独去做，没有两个人之间的对弈经验，学生很难从博弈角度去思考问题，思考也很难全面。
那么，这样的材料我们何不将其整理变形，构架一堂拓展课呢？笔者据此设计了“棋盘上的奥秘”这一数学拓展课课例。基本教学思路：第一，有师生对弈的引领，有生生对弈的探索以及三方讨论；第二，课堂中给予学生充分的对弈体验，让学生在与他人下棋的过程中，自主萌生博弈观念、倒推策略；第三，课程内容有一定的难度，因此，材料呈现循序渐进，环节推进张弛有度，逐步逼近学习目标。
二、教学内容
在“8×8”“8×8-5×5”的棋盘右下角放一颗棋子，以它为起点，两人轮流在这个棋盘上下棋，规定只能下在前一颗棋子的上面、左面或者左上方距离一格处，谁能用自己的棋子占领左上角谁就获胜。找出必胜策略。
三、教学目标
1.在下棋活动中学会用尝试验证和倒推的方法探索必胜策略。
2.在经历与他人博弈下棋的过程中，培养逻辑推理能力；尝试解释自己的思考过程，培养语言表达能力。
3.培养数学学习兴趣。
四、教学过程
（一）回顾微课内容，引出课程中心
在授课前一天，学生已在家观看微课“棋盘上的奥秘”，内容为：红红和明明两人在12×12的棋盘上下棋，规定从右下角开始，两人轮流下，且只能下在前一颗棋子左上方距离一格或两格处，谁先抢到左上角的点，谁就获胜。红红因抢到必胜点，三局都获胜。
师：昨天看了微课，谁能告诉我，为什么红红三局都能赢？
生：因为红红抢到了3号点，在3号点上，不管对手下一格还是下两格，都能抢到终点。
師：像这样，不管对手如何下，都能保证必胜的点，我们叫它必胜点。
师：想要下到这个必胜点，又得下到哪些点呢？
生：想要下到3号点，我们必须抢到2号点，想要抢到2号点，必须抢到1号点。
师：我们用倒推的方法找出了所有的必胜点。所以在这个棋盘上，要后下，下必胜点，才能获胜。
【设计意图】这部分内容是整堂课的准备环节。有以下几个意图：①在微课中演示12×12的棋盘及根据相应的游戏规则的操作，便于学生熟悉棋盘，理解8×8棋盘的游戏规则；②引出在一维线上进行逆向推理的核心能力问题；③定义了必胜点并规范必胜策略的说法，使学生后续作答更具指向性。
（二）利用8×8的棋盘，在对弈中感悟尝试和倒推
1.理解规则。
展示题目：在8×8的棋盘上的右下角放一颗棋子，以它为起点，两人轮流在这个棋盘上下棋，规定只能下在前一颗棋子的上面、左面或者左上方距离一格处，谁能用自己的棋子占领左上角谁就获胜。
师：如果我的第一颗棋子下在这里，那么你的棋子可以下在哪里？
生：可以下在您的棋子的上面、左面或者左上方。
师生对弈，当教师下在距离终点2格处的点时，学生认输。
师：老师下到哪个点的时候，你觉得老师一定能赢，为什么？
生：老师下到这个点时我觉得老师肯定赢了，因为我只能往上，老师就能抢到终点了。
【设计意图】因有12×12棋盘游戏的微课学习，学生对8×8的棋盘上的游戏规则比较容易理解。同时，师生对弈是为了保证全班学生都能掌握游戏规则，感知第一个必胜点，为下面找必胜点做铺垫。
2.探索必胜策略。
师：你想不想赢老师？给你时间探索赢老师的方法。
师布置任务：请同学们拿出练习纸，你可以和同桌对弈，下到哪个点的时候你觉得自己肯定能赢，把这样的点记录在必胜点记录区。
【设计意图】在这里，我们必须给予学生充分的对弈体验，在对弈中，让学生萌生博弈观念，倒推思路。
3.反馈。
（1）错误点
师：请找到这个点的同学来说一说是怎么想的。
生：下到这个点，如果对手往上，我就可以往左上抢到终点；如果对手往左上，我就直接往上抢到终点。
生（反驳）：下到这个点，如果对手往左，那么我就只能往上，这样终点就被对手抢到了，所以这个点不是必胜点。
（2）往下、往右倒推点
师：看来这个点不能保证我一定能赢，所以这个点不是必胜点，这个点呢？
生：如果我抢到这个点，对手就只能往上，我就能抢到终点。
师：这位同学也找到了这个点，同时还找到了另一个点，你怎么想？
生：如果我抢到这个点，对手就只能往左，我就能抢到终点。
（3）右下倒推点
师：你还发现哪个是必胜点，说说看。
生：这个点是必胜点，如果对方往左走，那我也往左，就可以抢到1号必胜点；如果对方往上，那我也往上，就可以抢到2号必胜点；如果对方往左上，那我也往左上，就直接抢到终点，也就是说只要我抢到这个点，不管对手往哪个方向下，我都能抢到终点。 师：他说的让你明白了吗？谁能用自己的话再来说一说？
【设计意图】学生的对弈过程，实际上是一个试误的过程，不断地在各个点上尝试，然后发现：哪个点上不能保证一定能赢，哪个点上，不管对手怎么下一定能赢。这里的反馈分为三个层次，第一个层次，反馈错误点，让学生再次明确，下棋是一种博弈，在你想往对自己有利的方向发展时，对手也是这么想的，只有“不管对手如何下，都能保证必胜的点才是必胜点”；第二个层次，往右、往下的必胜点推导，为反馈右下必胜点做铺垫；第三个层次，右下必胜点推导，右下的必胜点的寻找稍有难度，通过多次复述的方式，让学生充分理解。
4.带领倒推。
师：那怎么才能抢到这个点呢？
生：我觉得应该抢到这3个点，抢到1号点，对方往上，我也往上，就能抢到那个点；抢到2号点，对方往左，我也能抢到这个点；抢到3号点，对方往左我就能抢到1号点，对方往上，我就能抢到2号点，对方往左上，我就能直接抢到这个点。
生：我们已经知道，要抢到终点，必须抢到离终点两格的这3个点。现在，我们可以直接把这个点当成终点，就可以直接倒推出这3个点。
师：谁能像他这样来找一找能让我们抢到这个点的必胜点？
生：和刚才一样，我们可以把这个点当成终点，那我必须抢到这3个必胜点。
【设计意图】这一环节是基于学情的带领倒推，这里要反馈两种倒推方式：①边试误边倒推→对前一环节的再一次尝试和巩固；②建立模型后的倒推→类比倒推，建立模型，学会简化。
5.学生自主找必胜点。
师：你能像刚才那几位同学那样，找到所有的必胜点吗？试一试。
6.师生对弈2局均生赢。
师生对弈均生赢。
师：看来你已经找到必胜策略了。请把你找必胜点的过程，和同学们说一说。
生：想要抢到这个点，必须抢到这个点；想要抢到这个点必须抢到这个点；想要抢到这个点必须抢到这个点……
师：他刚才是在干吗？
生：从终点开始往起点倒推。
师：所以必胜策略是？
生：先走，走必胜点。
【设计意图】学生赢了教师，受到了极大鼓舞，获得了数学学习的成就感。此环节注意引导：想要抢到这个点，必须抢到这个点；想要抢到这个点，必须抢到这个点……通过语言规范，领悟“倒推”原理。
7.小结。
师：回顾一下，为了找到这个棋盘上的必胜策略，我们先做了什么，又做了什么？
生：先尝试，找出离终点最近的3个必胜点，再从终点开始，往起点倒推。
师：同学们，我们通过倒推的方法找完必胜点之后，老师和这位同学对弈，其实就是在验证大家的必胜策略是否正确。（板书：验证）
【设计意图】回顾解决问题的全过程，并告知学生：必胜策略找到后的对弈其实是一种验证，使解决问题的过程更完整。
（三）出示8×8-5×5棋盘，引发认知冲突
1.自行找必胜点。
师：把两个棋盘放在一起呢？请你独立思考，找出必胜策略。
2.反馈。
生：想要抢到这个点，必须抢到这个点；想要抢到这个点必须抢到这个点；想要抢到这个点必须抢到这个点……所以必胜策略是先走，走必胜点。
师：我们来验证一下。（生黑棋先走，师白棋后走）
师：你不是已经找到必胜点了吗？为什么还会输？
生：必胜策略有误。
师：我们用验证的方法发现，我们的必胜策略是有漏洞的。老师下到哪个点的时候你觉得必胜策略可能是有漏洞的？
生：没考虑老师往上走。
师：看来我们认为的必胜点，还存在着漏洞，说明我们在倒推的过程中必须考虑对手的各种可能性，让自己的思维更严谨、更全面。（板书：严谨、全面）。那么真正的必胜点在哪儿呢？
【设计意图】学习了前面的知识，学生会产生思维定势，以为只要进行“田”字倒推即可，这一环节让学生产生了强烈的认知冲突，从而促进学生反思：①得出必胜策略后要进行验证；②倒推时务必严密思维。这一环节，既让学生体验了反思的意义，又让学生感受到完整的解决问题的过程。
（四）回顾所学，全课小结
师：在今天这堂课上，你有什么新的收获？
生：在寻找策略的时候我们可以先尝试一下，找找感觉。
生：学会用倒推的方法去解决数学和生活问题。
生：思考问题要严密。
生：倒推后的顺向验证能帮我们验证倒退结果是否真的正确。
五、教学反思
（一）关于材料
本课例，采用学生十分喜爱的下棋游戏，学生兴趣高涨，求知欲强烈。从8×8到8×8-5×5，棋盘在不断地演变，学生也在层次不断递进的材料引导下，触碰他們的“最近发展区”，从原来的没有一个学生能够解决问题，到最后的几乎每个学生都至少能够解决8×8的棋盘，不同程度的学生有不同层次的收获。
（二）关于过程
在课堂上，教师放手让学生通过不断的试误，在尝试中进行自我纠错、反思和辨正，在量变下慢慢积累经验最后“顿悟”质变，让学生自发地去寻找解决问题的策略，有了最深刻的体验。
让教学中的每一个设计，都有效服务于学生的成长。整堂课的每一个过程设计都有教师的设计意图、细化目标。尽管材料不断演变，但本课例的每一个材料都紧紧围绕“博弈”“倒推”展开，将最大的力气用在培养学生的推理能力上。
（三）关于内容的延伸
授课后，我们也一直在思考棋盘的材料是否有更多可挖掘和探索的地方。如将规则改成只能往上或往左走，那么必胜策略会怎样？这时候必胜策略的得出，除了可以在棋盘上倒推，还可以将棋盘上的路线拉成一根能走17步的线段，那么这时候棋盘就和抢数游戏完全相通了，方法和策略也在不同的材料中延伸贯通了，看来很多数学游戏可以成为我们开发的资源。
（浙江省杭州采荷第一小学教育集团 310000）
一、内容设计构想
在一次练习中，有一道习题引起了笔者注意：在8×8的棋盘右下角有一颗棋子，甲、乙两人轮流下棋，规定只能下在前一颗棋子的上面、左面或者左上方距离一格处，谁能用自己的棋子占领左上角谁就获胜，如果甲先下，那么谁会赢？
学生练习后，笔者在批改时发现，全班没有一位学生能够解决。经过交流发现，学生无法解决的原因有三：第一，部分学生不能理解题意，无法解题；第二，无法选择或有效使用“倒推”这一策略；第三，学生对必胜策略的寻找毫无头绪，无从下手。
究其原因，下棋是两个拥有理性思维的人之间的一种博弈，如果将这道题完全放给一个学生课后单独去做，没有两个人之间的对弈经验，学生很难从博弈角度去思考问题，思考也很难全面。
那么，这样的材料我们何不将其整理变形，构架一堂拓展课呢？笔者据此设计了“棋盘上的奥秘”这一数学拓展课课例。基本教学思路：第一，有师生对弈的引领，有生生对弈的探索以及三方讨论；第二，课堂中给予学生充分的对弈体验，让学生在与他人下棋的过程中，自主萌生博弈观念、倒推策略；第三，课程内容有一定的难度，因此，材料呈现循序渐进，环节推进张弛有度，逐步逼近学习目标。
二、教学内容
在“8×8”“8×8-5×5”的棋盘右下角放一颗棋子，以它为起点，两人轮流在这个棋盘上下棋，规定只能下在前一颗棋子的上面、左面或者左上方距离一格处，谁能用自己的棋子占领左上角谁就获胜。找出必胜策略。
三、教学目标
1.在下棋活动中学会用尝试验证和倒推的方法探索必胜策略。
2.在经历与他人博弈下棋的过程中，培养逻辑推理能力；尝试解释自己的思考过程，培养语言表达能力。
3.培养数学学习兴趣。
四、教学过程
（一）回顾微课内容，引出课程中心
在授课前一天，学生已在家观看微课“棋盘上的奥秘”，内容为：红红和明明两人在12×12的棋盘上下棋，规定从右下角开始，两人轮流下，且只能下在前一颗棋子左上方距离一格或两格处，谁先抢到左上角的点，谁就获胜。红红因抢到必胜点，三局都获胜。
师：昨天看了微课，谁能告诉我，为什么红红三局都能赢？
生：因为红红抢到了3号点，在3号点上，不管对手下一格还是下两格，都能抢到终点。
師：像这样，不管对手如何下，都能保证必胜的点，我们叫它必胜点。
师：想要下到这个必胜点，又得下到哪些点呢？
生：想要下到3号点，我们必须抢到2号点，想要抢到2号点，必须抢到1号点。
师：我们用倒推的方法找出了所有的必胜点。所以在这个棋盘上，要后下，下必胜点，才能获胜。
【设计意图】这部分内容是整堂课的准备环节。有以下几个意图：①在微课中演示12×12的棋盘及根据相应的游戏规则的操作，便于学生熟悉棋盘，理解8×8棋盘的游戏规则；②引出在一维线上进行逆向推理的核心能力问题；③定义了必胜点并规范必胜策略的说法，使学生后续作答更具指向性。
（二）利用8×8的棋盘，在对弈中感悟尝试和倒推
1.理解规则。
展示题目：在8×8的棋盘上的右下角放一颗棋子，以它为起点，两人轮流在这个棋盘上下棋，规定只能下在前一颗棋子的上面、左面或者左上方距离一格处，谁能用自己的棋子占领左上角谁就获胜。
师：如果我的第一颗棋子下在这里，那么你的棋子可以下在哪里？
生：可以下在您的棋子的上面、左面或者左上方。
师生对弈，当教师下在距离终点2格处的点时，学生认输。
师：老师下到哪个点的时候，你觉得老师一定能赢，为什么？
生：老师下到这个点时我觉得老师肯定赢了，因为我只能往上，老师就能抢到终点了。
【设计意图】因有12×12棋盘游戏的微课学习，学生对8×8的棋盘上的游戏规则比较容易理解。同时，师生对弈是为了保证全班学生都能掌握游戏规则，感知第一个必胜点，为下面找必胜点做铺垫。
2.探索必胜策略。
师：你想不想赢老师？给你时间探索赢老师的方法。
师布置任务：请同学们拿出练习纸，你可以和同桌对弈，下到哪个点的时候你觉得自己肯定能赢，把这样的点记录在必胜点记录区。
【设计意图】在这里，我们必须给予学生充分的对弈体验，在对弈中，让学生萌生博弈观念，倒推思路。
3.反馈。
（1）错误点
师：请找到这个点的同学来说一说是怎么想的。
生：下到这个点，如果对手往上，我就可以往左上抢到终点；如果对手往左上，我就直接往上抢到终点。
生（反驳）：下到这个点，如果对手往左，那么我就只能往上，这样终点就被对手抢到了，所以这个点不是必胜点。
（2）往下、往右倒推点
师：看来这个点不能保证我一定能赢，所以这个点不是必胜点，这个点呢？
生：如果我抢到这个点，对手就只能往上，我就能抢到终点。
师：这位同学也找到了这个点，同时还找到了另一个点，你怎么想？
生：如果我抢到这个点，对手就只能往左，我就能抢到终点。
（3）右下倒推点
师：你还发现哪个是必胜点，说说看。
生：这个点是必胜点，如果对方往左走，那我也往左，就可以抢到1号必胜点；如果对方往上，那我也往上，就可以抢到2号必胜点；如果对方往左上，那我也往左上，就直接抢到终点，也就是说只要我抢到这个点，不管对手往哪个方向下，我都能抢到终点。 师：他说的让你明白了吗？谁能用自己的话再来说一说？
【设计意图】学生的对弈过程，实际上是一个试误的过程，不断地在各个点上尝试，然后发现：哪个点上不能保证一定能赢，哪个点上，不管对手怎么下一定能赢。这里的反馈分为三个层次，第一个层次，反馈错误点，让学生再次明确，下棋是一种博弈，在你想往对自己有利的方向发展时，对手也是这么想的，只有“不管对手如何下，都能保证必胜的点才是必胜点”；第二个层次，往右、往下的必胜点推导，为反馈右下必胜点做铺垫；第三个层次，右下必胜点推导，右下的必胜点的寻找稍有难度，通过多次复述的方式，让学生充分理解。
4.带领倒推。
师：那怎么才能抢到这个点呢？
生：我觉得应该抢到这3个点，抢到1号点，对方往上，我也往上，就能抢到那个点；抢到2号点，对方往左，我也能抢到这个点；抢到3号点，对方往左我就能抢到1号点，对方往上，我就能抢到2号点，对方往左上，我就能直接抢到这个点。
生：我们已经知道，要抢到终点，必须抢到离终点两格的这3个点。现在，我们可以直接把这个点当成终点，就可以直接倒推出这3个点。
师：谁能像他这样来找一找能让我们抢到这个点的必胜点？
生：和刚才一样，我们可以把这个点当成终点，那我必须抢到这3个必胜点。
【设计意图】这一环节是基于学情的带领倒推，这里要反馈两种倒推方式：①边试误边倒推→对前一环节的再一次尝试和巩固；②建立模型后的倒推→类比倒推，建立模型，学会简化。
5.学生自主找必胜点。
师：你能像刚才那几位同学那样，找到所有的必胜点吗？试一试。
6.师生对弈2局均生赢。
师生对弈均生赢。
师：看来你已经找到必胜策略了。请把你找必胜点的过程，和同学们说一说。
生：想要抢到这个点，必须抢到这个点；想要抢到这个点必须抢到这个点；想要抢到这个点必须抢到这个点……
师：他刚才是在干吗？
生：从终点开始往起点倒推。
师：所以必胜策略是？
生：先走，走必胜点。
【设计意图】学生赢了教师，受到了极大鼓舞，获得了数学学习的成就感。此环节注意引导：想要抢到这个点，必须抢到这个点；想要抢到这个点，必须抢到这个点……通过语言规范，领悟“倒推”原理。
7.小结。
师：回顾一下，为了找到这个棋盘上的必胜策略，我们先做了什么，又做了什么？
生：先尝试，找出离终点最近的3个必胜点，再从终点开始，往起点倒推。
师：同学们，我们通过倒推的方法找完必胜点之后，老师和这位同学对弈，其实就是在验证大家的必胜策略是否正确。（板书：验证）
【设计意图】回顾解决问题的全过程，并告知学生：必胜策略找到后的对弈其实是一种验证，使解决问题的过程更完整。
（三）出示8×8-5×5棋盘，引发认知冲突
1.自行找必胜点。
师：把两个棋盘放在一起呢？请你独立思考，找出必胜策略。
2.反馈。
生：想要抢到这个点，必须抢到这个点；想要抢到这个点必须抢到这个点；想要抢到这个点必须抢到这个点……所以必胜策略是先走，走必胜点。
师：我们来验证一下。（生黑棋先走，师白棋后走）
师：你不是已经找到必胜点了吗？为什么还会输？
生：必胜策略有误。
师：我们用验证的方法发现，我们的必胜策略是有漏洞的。老师下到哪个点的时候你觉得必胜策略可能是有漏洞的？
生：没考虑老师往上走。
师：看来我们认为的必胜点，还存在着漏洞，说明我们在倒推的过程中必须考虑对手的各种可能性，让自己的思维更严谨、更全面。（板书：严谨、全面）。那么真正的必胜点在哪儿呢？
【设计意图】学习了前面的知识，学生会产生思维定势，以为只要进行“田”字倒推即可，这一环节让学生产生了强烈的认知冲突，从而促进学生反思：①得出必胜策略后要进行验证；②倒推时务必严密思维。这一环节，既让学生体验了反思的意义，又让学生感受到完整的解决问题的过程。
（四）回顾所学，全课小结
师：在今天这堂课上，你有什么新的收获？
生：在寻找策略的时候我们可以先尝试一下，找找感觉。
生：学会用倒推的方法去解决数学和生活问题。
生：思考问题要严密。
生：倒推后的顺向验证能帮我们验证倒退结果是否真的正确。
五、教学反思
（一）关于材料
本课例，采用学生十分喜爱的下棋游戏，学生兴趣高涨，求知欲强烈。从8×8到8×8-5×5，棋盘在不断地演变，学生也在层次不断递进的材料引导下，触碰他們的“最近发展区”，从原来的没有一个学生能够解决问题，到最后的几乎每个学生都至少能够解决8×8的棋盘，不同程度的学生有不同层次的收获。
（二）关于过程
在课堂上，教师放手让学生通过不断的试误，在尝试中进行自我纠错、反思和辨正，在量变下慢慢积累经验最后“顿悟”质变，让学生自发地去寻找解决问题的策略，有了最深刻的体验。
让教学中的每一个设计，都有效服务于学生的成长。整堂课的每一个过程设计都有教师的设计意图、细化目标。尽管材料不断演变，但本课例的每一个材料都紧紧围绕“博弈”“倒推”展开，将最大的力气用在培养学生的推理能力上。
（三）关于内容的延伸
授课后，我们也一直在思考棋盘的材料是否有更多可挖掘和探索的地方。如将规则改成只能往上或往左走，那么必胜策略会怎样？这时候必胜策略的得出，除了可以在棋盘上倒推，还可以将棋盘上的路线拉成一根能走17步的线段，那么这时候棋盘就和抢数游戏完全相通了，方法和策略也在不同的材料中延伸贯通了，看来很多数学游戏可以成为我们开发的资源。
（浙江省杭州采荷第一小学教育集团 310000）