论文部分内容阅读
图表信息的识别能力是科学探究能力的核心. 图像的方程（函数关系式）、斜率、特殊点、面积、截距等几何量与物理量的对应是处理图像问题的关键，通过分析再现过程情景是认识图像问题的基础，领会图像中所包含的物理规律就能突破认知的障碍.受力图像反映了运动过程中物体受力的规律，可确定物体运动的性质. 运动图像反映了物体运动的变化情况，能够确定物体受力的条件. 二者结合，就能够综合反映物体运动的情况. 综合分析受力图像与运动图像，关键是找到两类图像的联系点，应用牛顿运动定律与运动学规律，结合初始条件，再现运动过程.
解决图像问题，首先要弄清图像与函数的对应关系.中学物理中常见的函数关系，通常采取将非线性函数转化为线性函数的方法，称之为“化曲为直”的方法，这样可以使研究的问题简单明了，使物理量之间的关系一目了然. 对于物理图像，不能仅仅只看它的形状，而应当从物理意义上去理解，很多形状相同的图像，它们的物理意义是不一样的.
一、速度[-]时间图像
即[v-t]图像，横轴表示时间，纵轴表示速度. 如图1.
静止物体的[v-t]图像是一条与横轴重合的直线.
匀速直线运动的[v-t]图像是一条与横轴平行的直线，如图线④.
匀变速直线运动的[v-t]图像是一条倾斜直线，所在直线的斜率表示加速度大小及方向；当直线斜率（加速度）与运动速度相同时，物体做匀加速直线运动，如图线①；当直线斜率（加速度）与运动速度相反时，物体做匀减速直线运动，如图线⑤.
加速度减小的加速运动如图中②表示，加速度减小的减速运动如图线⑦.
加速度增大的加速运动如图中③表示，加速度增大的减速运动如图线⑥.
例1 图2为甲、乙两物体做直线运动的[v-t]图像.下列表述正确的是（ ）
A．乙做匀加速直线运动
B．0～ls内甲和乙的位移相等
C．甲和乙的加速度方向相同
D．甲的加速度比乙的小
[乙][甲][1 2 3][2][1]
图2
解析 甲、乙两物体在速度图像里的图形都是倾斜的直线，表明两物体都做匀变速直线运动，乙是匀加速运动，甲是匀减速运动，加速度方向不同，选项A正确，C错误；由速度图像中图线与坐标所围的面积表示位移，可知在0～ls内，甲通过的位移大于乙通过的位移，选项B错误；由斜率表示加速度，可知甲的加速度大于乙的加速度，选项D错误.
答案 A
点拨 速度[-]时间图像的特点：
①因速度是矢量，故图像只能表示物体运动的两个方向，[t]轴上方代表的“正方向”，[t]轴下方代表的是“负方向”，故它只能描述物体做“直线运动”的情况，如果做曲线运动，因位移和速度为矢量，则画不出物体的“位移[-]时间”图像，但是可以分方向表示.
②没有时间[t]的“负轴”，因时间没有负值，画图时要注意.
③图线的斜率代表该点的加速度，斜率的大小表示加速度的大小，斜率的正负表示加速度的方向.
④速度的图线与时间轴所夹的“面积”表示物体的位移，而两物体的速度图线间所夹的面积则表示它们的相对位移.
拓展 ①如图3，一物体做加速直线运动，依次通过[A、B、C]三点，且[AB=BC.]物体在[AB]段加速度为[a1]，在[BC]段加速度为[a2]，且[B]点的速度[υB=υA+υC2]，讨论它们加速度的关系.
图3
作出物体的速度图像如图4，图线下方所围成的面积在数值上等于物体的位移，由几何知识，知图线[b、c]不满足[AB=BC]，而图线[a]可满足.又斜率表示加速度，则[a1
图4
②如图5，物块[A、B]用轻弹簧连接，放在光滑的水平面上.现用水平恒力[F]向右推物块[A]，从开始运动到弹簧压缩至最短的过程中，判断[A、B]加速度相等时的速度关系及弹簧压缩量最大时的加速度关系.
图5
分析两物体的受力，由牛顿第二定律，有[aA=F-kΔxmA]，[aB=kΔxmB]，作用过程中压缩量[Δx]增大，可知[A]做加速度减小的加速运动，[B]做加速度增大的加速运动，画出两物块的运动图像如图6，[t1]时刻加速度相等时，有[vA>vB]；当[t2]时刻速度相等时，弹簧压缩量最大，通过图像斜率，知[aA
图6
二、位移[-]时间图像
即[x-t]图像，横轴表示时间，纵轴表示位移.静止的[x-t]图像是一条与横轴平行或重合的直线；匀速直线运动的[x-t]图像是一条倾斜直线，所在直线的斜率表示运动速度的大小及方向；匀变速直线运动的[x-t]图像是一条抛物线，所在曲线的斜率同样表示运动速度的大小及方向；与纵轴的交点表示物体在[t=0]时的初始位置.
例2 甲、乙两车同时同向沿直线驶向某地，甲在前一半时间以[v1]匀速运动，后一半时间以[v2]匀速运动.乙在前一半路程以[v1]匀速运动，后一半路程以[v2]匀速运动.则先到达目的地的是（ ）
A．甲 B．乙
C．同时到达 D．无法判断
解析 假设[v1>v2]，画出甲与乙的[x-t]图线如图7，可知[t乙＞t甲]，则甲先到达目的地．若[v2>v1]，也可以得到同样的结果.
答案 A
点拨 此题也能用[v－t]图像求解，无论用哪种图像，都比用计算的方法简捷．
拓展 ①如图8，一个固定在水平面上的光滑物块，其左侧面是斜面[AB]，右侧面是曲面[AC]，已知[AB]和[AC]的长度相同．两个小球[p、q]同时从[A]点分别沿[AB]和[AC]由静止开始下滑，比较它们到达水平面所用的时间.
利用[v－t]图像可定性地进行比较．由于[q]小球运行的轨迹是曲线，无法表示速度，可以在同一个[v-t]图像中作出[p、q]小球的速率[-]时间图线，这时的面积表示运行的轨迹长度，如图9.开始时[q]小球的加速度较大，斜率较大；由于机械能守恒，末速率[vm]相同，即曲线末端在同一水平图线上.为使路程相同（曲线和横轴所围的面积相同），显然[q]小球用的时间较少，则[q]小球先到达． [图9]
②一质点作简谐运动，图像如图10，试讨论在0.2s到0.3s这段时间内质点的运动情况.
据牛顿第二定律，有[a=F回m=-kxm]，说明加速度与位移大小成正比，方向相反.而[v=ΔxΔt]，速度为位置变化的变化快慢，即位移的变化率，在图中作出[a-t]和[v-t]图，如图11所示.可以得出结论：质点沿正方向运动，且速度不断增大，沿正方向的加速度不断减小.
③图12是一物体在某一星球表面竖直向上抛出的[x-t]图像，不计空气阻力.由图中数据可求出该行星表面重力加速度大小与初速度大小：上抛高度[h=v202g=25m]，运行时间[t=2v0g=5s]，则重力加速度为[g=8m/s2]，初速度为
三、关联运动图像
位移[-]时间图像或速度[-]时间图像上除了反映一个物体的运动，也可以反映多个物体的运动.例如在追击问题中，只知道汽车甲沿着平直的公路以速度[v0]做匀速直线运动，当它路过某处的同时，该处有一辆汽车乙开始做初速为零的匀加速直线运动，去追赶甲车，它们的运动图像如图13. 假设乙以某一加速度运动，由图像可知，开始甲运动得比乙快，经过[v0a]时间两者速度相等，距离最大，其值为图中阴影[A]的面积.随后乙汽车的速度大于甲汽车的速度，两车间的距离逐渐减小.再经过[v0a]的时间，乙车追上甲车，其时乙车的速度为[2v0.]由于乙车的加速度[a]的大小未知，故不知乙车追上甲车所用的时间和所通过的路程.
[甲][乙]
图13
例3 两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为[v0].若前车突然以恒定加速度刹车，在它刚停车时，后车以前车的加速度开始刹车.已知前车在刹车过程所行驶的距离为[x]，若要两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时应保持的距离至少为（ ）
A. [x] B. [2x] C. [3x] D. [4x]
解析 方法一：前车在刹车过程中，有
[x前=v02t=x]
因刹车后的运动一样，故只要求出在前车刹车过程中后车运动的位移即可.后车在前车刹车过程中，一直做匀速运动，位移为[x后=v0t=2x]，这也是两车在匀速时必须相距的距离.
方法二：依题意作出两车的[v-t]图，如图14，从图中可以看出两车在匀速行驶时保持的距离至少应为[2x].
答案 B
点拨 追及和相遇或避免碰撞的问题的求解，关键在于掌握两个物体的位置、位移及速度的关系. 其基本思路是对两个物体研究，画出运动过程示意图,列位移和速度关系式.如图15，假设初始时刻前后两车相距[Δx0]，在时刻[t]时相距为[Δx]，则[Δx=x前-x后+Δx0]，可以对[Δx]进行讨论，通过此式分析追击和相遇问题中，①是否追上（[Δx=0]），②最大间距，③最小间距等问题.
追者和被追者[v]相等（即[v后=v前]）是能否追上、两者间的距离有极大或极小值、避免碰撞的临界条件.只有这样找出时间、位移、速度的关系，才能求出结果，并在必要时进行讨论.
拓展 追击问题中除了画常规的情景图和[v-t]图外，还可以采取画[x-t]图的形式，如图16.
甲表示匀加速运动的物体（图线①）追击前方匀速运动的物体（图线②），交点表示追上，在速度相等（斜率相同）时有距离的最大值.
乙表示匀速运动的物体追击前方匀加速运动的物体（图线①），有可能出现三种情况，物体追上时[v后>v前]，后来会出现反超即第二次相遇的情况，如图线②；如果追上时[v后=v前]，只能相遇一次，如图线③；也有可能追不上，如图线④，当[v后=v前]时两物体相距最远.
丙表示匀减速运动的物体追击前方匀速运动的物体，也可能出现三种情况，道理与乙类似.
解决图像问题，首先要弄清图像与函数的对应关系.中学物理中常见的函数关系，通常采取将非线性函数转化为线性函数的方法，称之为“化曲为直”的方法，这样可以使研究的问题简单明了，使物理量之间的关系一目了然. 对于物理图像，不能仅仅只看它的形状，而应当从物理意义上去理解，很多形状相同的图像，它们的物理意义是不一样的.
一、速度[-]时间图像
即[v-t]图像，横轴表示时间，纵轴表示速度. 如图1.
静止物体的[v-t]图像是一条与横轴重合的直线.
匀速直线运动的[v-t]图像是一条与横轴平行的直线，如图线④.
匀变速直线运动的[v-t]图像是一条倾斜直线，所在直线的斜率表示加速度大小及方向；当直线斜率（加速度）与运动速度相同时，物体做匀加速直线运动，如图线①；当直线斜率（加速度）与运动速度相反时，物体做匀减速直线运动，如图线⑤.
加速度减小的加速运动如图中②表示，加速度减小的减速运动如图线⑦.
加速度增大的加速运动如图中③表示，加速度增大的减速运动如图线⑥.
例1 图2为甲、乙两物体做直线运动的[v-t]图像.下列表述正确的是（ ）
A．乙做匀加速直线运动
B．0～ls内甲和乙的位移相等
C．甲和乙的加速度方向相同
D．甲的加速度比乙的小
[乙][甲][1 2 3][2][1]
图2
解析 甲、乙两物体在速度图像里的图形都是倾斜的直线，表明两物体都做匀变速直线运动，乙是匀加速运动，甲是匀减速运动，加速度方向不同，选项A正确，C错误；由速度图像中图线与坐标所围的面积表示位移，可知在0～ls内，甲通过的位移大于乙通过的位移，选项B错误；由斜率表示加速度，可知甲的加速度大于乙的加速度，选项D错误.
答案 A
点拨 速度[-]时间图像的特点：
①因速度是矢量，故图像只能表示物体运动的两个方向，[t]轴上方代表的“正方向”，[t]轴下方代表的是“负方向”，故它只能描述物体做“直线运动”的情况，如果做曲线运动，因位移和速度为矢量，则画不出物体的“位移[-]时间”图像，但是可以分方向表示.
②没有时间[t]的“负轴”，因时间没有负值，画图时要注意.
③图线的斜率代表该点的加速度，斜率的大小表示加速度的大小，斜率的正负表示加速度的方向.
④速度的图线与时间轴所夹的“面积”表示物体的位移，而两物体的速度图线间所夹的面积则表示它们的相对位移.
拓展 ①如图3，一物体做加速直线运动，依次通过[A、B、C]三点，且[AB=BC.]物体在[AB]段加速度为[a1]，在[BC]段加速度为[a2]，且[B]点的速度[υB=υA+υC2]，讨论它们加速度的关系.
图3
作出物体的速度图像如图4，图线下方所围成的面积在数值上等于物体的位移，由几何知识，知图线[b、c]不满足[AB=BC]，而图线[a]可满足.又斜率表示加速度，则[a1
图4
②如图5，物块[A、B]用轻弹簧连接，放在光滑的水平面上.现用水平恒力[F]向右推物块[A]，从开始运动到弹簧压缩至最短的过程中，判断[A、B]加速度相等时的速度关系及弹簧压缩量最大时的加速度关系.
图5
分析两物体的受力，由牛顿第二定律，有[aA=F-kΔxmA]，[aB=kΔxmB]，作用过程中压缩量[Δx]增大，可知[A]做加速度减小的加速运动，[B]做加速度增大的加速运动，画出两物块的运动图像如图6，[t1]时刻加速度相等时，有[vA>vB]；当[t2]时刻速度相等时，弹簧压缩量最大，通过图像斜率，知[aA
图6
二、位移[-]时间图像
即[x-t]图像，横轴表示时间，纵轴表示位移.静止的[x-t]图像是一条与横轴平行或重合的直线；匀速直线运动的[x-t]图像是一条倾斜直线，所在直线的斜率表示运动速度的大小及方向；匀变速直线运动的[x-t]图像是一条抛物线，所在曲线的斜率同样表示运动速度的大小及方向；与纵轴的交点表示物体在[t=0]时的初始位置.
例2 甲、乙两车同时同向沿直线驶向某地，甲在前一半时间以[v1]匀速运动，后一半时间以[v2]匀速运动.乙在前一半路程以[v1]匀速运动，后一半路程以[v2]匀速运动.则先到达目的地的是（ ）
A．甲 B．乙
C．同时到达 D．无法判断
解析 假设[v1>v2]，画出甲与乙的[x-t]图线如图7，可知[t乙＞t甲]，则甲先到达目的地．若[v2>v1]，也可以得到同样的结果.
答案 A
点拨 此题也能用[v－t]图像求解，无论用哪种图像，都比用计算的方法简捷．
拓展 ①如图8，一个固定在水平面上的光滑物块，其左侧面是斜面[AB]，右侧面是曲面[AC]，已知[AB]和[AC]的长度相同．两个小球[p、q]同时从[A]点分别沿[AB]和[AC]由静止开始下滑，比较它们到达水平面所用的时间.
利用[v－t]图像可定性地进行比较．由于[q]小球运行的轨迹是曲线，无法表示速度，可以在同一个[v-t]图像中作出[p、q]小球的速率[-]时间图线，这时的面积表示运行的轨迹长度，如图9.开始时[q]小球的加速度较大，斜率较大；由于机械能守恒，末速率[vm]相同，即曲线末端在同一水平图线上.为使路程相同（曲线和横轴所围的面积相同），显然[q]小球用的时间较少，则[q]小球先到达． [图9]
②一质点作简谐运动，图像如图10，试讨论在0.2s到0.3s这段时间内质点的运动情况.
据牛顿第二定律，有[a=F回m=-kxm]，说明加速度与位移大小成正比，方向相反.而[v=ΔxΔt]，速度为位置变化的变化快慢，即位移的变化率，在图中作出[a-t]和[v-t]图，如图11所示.可以得出结论：质点沿正方向运动，且速度不断增大，沿正方向的加速度不断减小.
③图12是一物体在某一星球表面竖直向上抛出的[x-t]图像，不计空气阻力.由图中数据可求出该行星表面重力加速度大小与初速度大小：上抛高度[h=v202g=25m]，运行时间[t=2v0g=5s]，则重力加速度为[g=8m/s2]，初速度为
三、关联运动图像
位移[-]时间图像或速度[-]时间图像上除了反映一个物体的运动，也可以反映多个物体的运动.例如在追击问题中，只知道汽车甲沿着平直的公路以速度[v0]做匀速直线运动，当它路过某处的同时，该处有一辆汽车乙开始做初速为零的匀加速直线运动，去追赶甲车，它们的运动图像如图13. 假设乙以某一加速度运动，由图像可知，开始甲运动得比乙快，经过[v0a]时间两者速度相等，距离最大，其值为图中阴影[A]的面积.随后乙汽车的速度大于甲汽车的速度，两车间的距离逐渐减小.再经过[v0a]的时间，乙车追上甲车，其时乙车的速度为[2v0.]由于乙车的加速度[a]的大小未知，故不知乙车追上甲车所用的时间和所通过的路程.
[甲][乙]
图13
例3 两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为[v0].若前车突然以恒定加速度刹车，在它刚停车时，后车以前车的加速度开始刹车.已知前车在刹车过程所行驶的距离为[x]，若要两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时应保持的距离至少为（ ）
A. [x] B. [2x] C. [3x] D. [4x]
解析 方法一：前车在刹车过程中，有
[x前=v02t=x]
因刹车后的运动一样，故只要求出在前车刹车过程中后车运动的位移即可.后车在前车刹车过程中，一直做匀速运动，位移为[x后=v0t=2x]，这也是两车在匀速时必须相距的距离.
方法二：依题意作出两车的[v-t]图，如图14，从图中可以看出两车在匀速行驶时保持的距离至少应为[2x].
答案 B
点拨 追及和相遇或避免碰撞的问题的求解，关键在于掌握两个物体的位置、位移及速度的关系. 其基本思路是对两个物体研究，画出运动过程示意图,列位移和速度关系式.如图15，假设初始时刻前后两车相距[Δx0]，在时刻[t]时相距为[Δx]，则[Δx=x前-x后+Δx0]，可以对[Δx]进行讨论，通过此式分析追击和相遇问题中，①是否追上（[Δx=0]），②最大间距，③最小间距等问题.
追者和被追者[v]相等（即[v后=v前]）是能否追上、两者间的距离有极大或极小值、避免碰撞的临界条件.只有这样找出时间、位移、速度的关系，才能求出结果，并在必要时进行讨论.
拓展 追击问题中除了画常规的情景图和[v-t]图外，还可以采取画[x-t]图的形式，如图16.
甲表示匀加速运动的物体（图线①）追击前方匀速运动的物体（图线②），交点表示追上，在速度相等（斜率相同）时有距离的最大值.
乙表示匀速运动的物体追击前方匀加速运动的物体（图线①），有可能出现三种情况，物体追上时[v后>v前]，后来会出现反超即第二次相遇的情况，如图线②；如果追上时[v后=v前]，只能相遇一次，如图线③；也有可能追不上，如图线④，当[v后=v前]时两物体相距最远.
丙表示匀减速运动的物体追击前方匀速运动的物体，也可能出现三种情况，道理与乙类似.