论文部分内容阅读
一、匀变速运动
不计重力的带电粒子进入匀强电场，做匀变速运动.如果是平行进入匀强电场，则在电场中做匀变速直线运动，如匀加速直线运动或匀减速直线运动；如果是垂直进入匀强电场，则在电场中做匀变速曲线运动(类平抛运动)；如果既不垂直也不平行地进入匀强电场，可将速度分解，沿电场线方向做匀变速运动，垂直于电场线方向做匀速运动，即类斜抛运动.
一般情况下带电粒子所受电场力远大于重力，可以不计重力，认为只有电场力作用.电场力做功，由动能定理，有[W=qU=ΔEk]，此式与电场是否匀强电场无关，与带电粒子的运动性质、轨迹形状也无关.当电荷量为[q]、质量为[m]、初速度为[v0]的带电粒子经电压[U]加速后，速度变为[v1]，由动能定理，有[qU＝mv12－mv02]．若[v0=0]，则有[v1=2qUm]，这个关系式对任意静电场都是适用的．
例1 带电粒子垂直进入匀强电场，讨论速度偏转角与位移偏转角的关系.
解析 电荷的受力、速度、位移有如下关系
[∑Fx=0∑Fy=Eq=ma]，[vx=v0vy=at]，[x=v0ty=12at2]
某段时间内平抛物体的速度偏转角θ和位移偏转角α之间有[tanθ=2tanα],其中，[tanθ=vyvx=gtv0],[tanα=yx=12gt2v0t=gt2v0].当带电粒子以一定速度垂直于电场线方向进入匀强电场时，其运动是类平抛运动.
如图1，设带电粒子质量为m，电荷量为q，以一定的速度[v0]垂直于电场线方向飞入匀强偏转电场，偏转电压为[U1].若粒子飞出电场时偏转角为[θ]，有
图1
[tanθ=atv0=qU1d m×lv0v0=qU1lmv20d]
在图中作出粒子离开偏转电场时速度的反向延长线，与初速度方向交于[O]点，[O]点与电场边缘的距离为[x]，有[x=ytanθ=12at2tanθ=qU1l2/(2mdv20)qU1l/(mdv20)=l2]
得到粒子从偏转电场中射出时，就象是从极板中间的[l2]处沿直线射出的结论.
二、圆周运动
带电粒子在电场中可以做匀速圆周运动，如点电荷形成的电场中带电粒子在等势面上的运动，或绳拉着小球在竖直面内运动，当重力与电场力相等时，只在绳的拉力提供向心力时的运动.若竖直面内重力与电场力不相等时，也可以做非匀速圆周运动，跟竖直面内小球的圆周运动类似，这时只要把重力与电场力的合力看作“等效重力”就可以了.
例2 如图2，长为[L]的细线上端固定在[O]点，下端系质量为[m]的小球，将它置于很大的匀强电场中，电场强度为[E]，方向水平向右.已知小球在[B]点时平衡，细线与竖直线的夹角为[a]. 求：
（1）当悬线与竖直方向夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细线到竖直位置时，小球速度恰好为零？
（2）当细线与竖直方向夹角为[a]时，至少要给小球一个多大的冲量，才能使小球做圆周运动？
解析 （1）小球在[B]点受力如图3甲，由题意，知[Eg=mgtana.]设小球由与竖直方向夹角为[ϕ]运动至[A]时速度为零，由能量守恒，有
[mgL(1－cosϕ)=qELsinϕ，]
而[Eq=mgtana]，解得[ϕ=2a]．也可以等效为单摆，[B]为平衡位置，[A]为左端最大位移，右端最大位移与竖直方向的夹角[ϕ=2a]．
（2）由于小球在匀强电场和重力场的复合场中运动，其最高点为[D]，最低点为[B]．如图3乙，在[D]点的临界条件是沿绳拉力为0，重力与场力的合力提供向心力，即[mgcosα=mv2DL]，从[B]到[D]之间，能量守恒，有
[12mv2B=12mv2D+2Lmgcosα] （可以认为小球在复合场中等效重力加速度[g′=g/cosa]）
解得 [vB=5gLcosα]
给小球施加冲量至少应为 [I=mvB=m5gLcosα]
点拨 物体在竖直平面内做变速圆周运动，中学阶段仅研究通过最高点和最低点的情况.对电场中的圆周运动，可引入“等效重力场”概念，把重力场和匀强电场的问题简化为只有一个场的问题，从而将重力场中的相关规律有效地迁移过来.如讨论“最高点”的最小速度，单摆的周期等.
三、摆动或振动
例3 质量为[m]、带电量为[-q]的小球，用长为[l]的细线固定在如图4甲的匀强电场中保持静止，匀强电场的场强为[E]，方向竖直向下．现用一绝缘棒给其一个水平冲量，使之转过微小角度（小于50），如图4乙.求小球由最大偏离位置再次回到初位置时所经历的时间．
解析 首先单摆在地面附近的重力场中，做小角度摆动时，可认为做简谐运动，振动周期为[T=2πlg]. 因带电小球在重力场和匀强电场中运动，可以将重力场和电场的复合场等效为一个新的“重力场”，其等效重力加速度[g′=qE-mgm]．由于转过的是微小角度（小于50），可知带电小球在复合场中做类单摆运动，其平衡位置在初位置．小球由最大偏离位置再次回到初位置时所经历的时间[t=T4]， [T=2πlg′]，得到小球由最大偏离位置再次回到初位置时所经历的时间为[t=π2mlqE-mg]．
点拨 在大小确定的竖直方向的电场力和重力的作用下，带电小球在竖直面内所做的运动可视为简谐运动，可求出小球的等效重力加速度[g′]（也称为视重加速度），其大小为小球相对静止于平衡点时，绳所受拉力与球质量的比值，代入单摆的周期公式[T=2πlg′]即可，其中[l]为等效摆长.
不计重力的带电粒子进入匀强电场，做匀变速运动.如果是平行进入匀强电场，则在电场中做匀变速直线运动，如匀加速直线运动或匀减速直线运动；如果是垂直进入匀强电场，则在电场中做匀变速曲线运动(类平抛运动)；如果既不垂直也不平行地进入匀强电场，可将速度分解，沿电场线方向做匀变速运动，垂直于电场线方向做匀速运动，即类斜抛运动.
一般情况下带电粒子所受电场力远大于重力，可以不计重力，认为只有电场力作用.电场力做功，由动能定理，有[W=qU=ΔEk]，此式与电场是否匀强电场无关，与带电粒子的运动性质、轨迹形状也无关.当电荷量为[q]、质量为[m]、初速度为[v0]的带电粒子经电压[U]加速后，速度变为[v1]，由动能定理，有[qU＝mv12－mv02]．若[v0=0]，则有[v1=2qUm]，这个关系式对任意静电场都是适用的．
例1 带电粒子垂直进入匀强电场，讨论速度偏转角与位移偏转角的关系.
解析 电荷的受力、速度、位移有如下关系
[∑Fx=0∑Fy=Eq=ma]，[vx=v0vy=at]，[x=v0ty=12at2]
某段时间内平抛物体的速度偏转角θ和位移偏转角α之间有[tanθ=2tanα],其中，[tanθ=vyvx=gtv0],[tanα=yx=12gt2v0t=gt2v0].当带电粒子以一定速度垂直于电场线方向进入匀强电场时，其运动是类平抛运动.
如图1，设带电粒子质量为m，电荷量为q，以一定的速度[v0]垂直于电场线方向飞入匀强偏转电场，偏转电压为[U1].若粒子飞出电场时偏转角为[θ]，有
图1
[tanθ=atv0=qU1d m×lv0v0=qU1lmv20d]
在图中作出粒子离开偏转电场时速度的反向延长线，与初速度方向交于[O]点，[O]点与电场边缘的距离为[x]，有[x=ytanθ=12at2tanθ=qU1l2/(2mdv20)qU1l/(mdv20)=l2]
得到粒子从偏转电场中射出时，就象是从极板中间的[l2]处沿直线射出的结论.
二、圆周运动
带电粒子在电场中可以做匀速圆周运动，如点电荷形成的电场中带电粒子在等势面上的运动，或绳拉着小球在竖直面内运动，当重力与电场力相等时，只在绳的拉力提供向心力时的运动.若竖直面内重力与电场力不相等时，也可以做非匀速圆周运动，跟竖直面内小球的圆周运动类似，这时只要把重力与电场力的合力看作“等效重力”就可以了.
例2 如图2，长为[L]的细线上端固定在[O]点，下端系质量为[m]的小球，将它置于很大的匀强电场中，电场强度为[E]，方向水平向右.已知小球在[B]点时平衡，细线与竖直线的夹角为[a]. 求：
（1）当悬线与竖直方向夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细线到竖直位置时，小球速度恰好为零？
（2）当细线与竖直方向夹角为[a]时，至少要给小球一个多大的冲量，才能使小球做圆周运动？
解析 （1）小球在[B]点受力如图3甲，由题意，知[Eg=mgtana.]设小球由与竖直方向夹角为[ϕ]运动至[A]时速度为零，由能量守恒，有
[mgL(1－cosϕ)=qELsinϕ，]
而[Eq=mgtana]，解得[ϕ=2a]．也可以等效为单摆，[B]为平衡位置，[A]为左端最大位移，右端最大位移与竖直方向的夹角[ϕ=2a]．
（2）由于小球在匀强电场和重力场的复合场中运动，其最高点为[D]，最低点为[B]．如图3乙，在[D]点的临界条件是沿绳拉力为0，重力与场力的合力提供向心力，即[mgcosα=mv2DL]，从[B]到[D]之间，能量守恒，有
[12mv2B=12mv2D+2Lmgcosα] （可以认为小球在复合场中等效重力加速度[g′=g/cosa]）
解得 [vB=5gLcosα]
给小球施加冲量至少应为 [I=mvB=m5gLcosα]
点拨 物体在竖直平面内做变速圆周运动，中学阶段仅研究通过最高点和最低点的情况.对电场中的圆周运动，可引入“等效重力场”概念，把重力场和匀强电场的问题简化为只有一个场的问题，从而将重力场中的相关规律有效地迁移过来.如讨论“最高点”的最小速度，单摆的周期等.
三、摆动或振动
例3 质量为[m]、带电量为[-q]的小球，用长为[l]的细线固定在如图4甲的匀强电场中保持静止，匀强电场的场强为[E]，方向竖直向下．现用一绝缘棒给其一个水平冲量，使之转过微小角度（小于50），如图4乙.求小球由最大偏离位置再次回到初位置时所经历的时间．
解析 首先单摆在地面附近的重力场中，做小角度摆动时，可认为做简谐运动，振动周期为[T=2πlg]. 因带电小球在重力场和匀强电场中运动，可以将重力场和电场的复合场等效为一个新的“重力场”，其等效重力加速度[g′=qE-mgm]．由于转过的是微小角度（小于50），可知带电小球在复合场中做类单摆运动，其平衡位置在初位置．小球由最大偏离位置再次回到初位置时所经历的时间[t=T4]， [T=2πlg′]，得到小球由最大偏离位置再次回到初位置时所经历的时间为[t=π2mlqE-mg]．
点拨 在大小确定的竖直方向的电场力和重力的作用下，带电小球在竖直面内所做的运动可视为简谐运动，可求出小球的等效重力加速度[g′]（也称为视重加速度），其大小为小球相对静止于平衡点时，绳所受拉力与球质量的比值，代入单摆的周期公式[T=2πlg′]即可，其中[l]为等效摆长.