论文部分内容阅读
动量定理是力学中的一条重要规律，不仅适用于单质点，也适用于质点系；不仅适用于恒力作用过程，也适用于变力作用过程；不仅适用于力的持续作用过程，也适用于力的间断作用过程；不仅适用于宏观低速领域，也适用于微观高速领域；不仅在力学中普遍使用，在物理学的其他领域也被广泛应用.
例1 在水平向右的匀强电场中，质量为[m]的带正电的质点所受重力[mg]是电场力的[3]倍. 现将其以初速[v0]竖直上抛，如图1，则小球到速度最小时所经历的时间为（ ）
将所受重力和电场力等效为“新的重力”，方向如图所示. 可知，质点在场中做类斜抛运动，到达“物理最高点”时，速度最小，沿“物理水平方向”（与“物理竖直方向”垂直）. 该过程中速度（动量）矢量变化如图2. 有[tanα=Fmg=13]，则[α=30°.]等效重力加速度
[g′=gcos300=2g3]
[Δv=v0cos300=g′t]
联立解得[t=3v04g]
或者根据动量定理，有[mg′t=mΔv]
解得[t=3v04g].
方法二：用正交分解法求解.
根据动量定理的分量式，有
水平方向[Ft=mvx]，题设[mg=3F]，故得
[vx=axt=g3t]
竖直方向[-mgt=mvy-mv0]，得
[vy=v0-ayt=v0-gt]
实际速度[v=v2x+v2y]，则
[v=v2x+v2y=13g2t2+(v0-gt)2=43g2t2-2v0gt+v20=43g2(t-3v04g)2+(v02)2]
显然，[t=3v04g]时，速度最小且为[v02].
答案 D
点拨 本题方法一抓住质点速度最小时的特征条件是：到达“物理最高点”时，速度最小，沿“物理水平方向”，用矢量三角形求解，简洁明快. 方法二先找到速度大小与时间的函数关系，再求极值，数学技巧较高.
例2 重力不可忽略的带电小球质量为[m]，带电量为[+q]. 在垂直纸面向里、磁感应强度为[B]的水平匀强磁场中释放，如图3，求下降的最大高度和能获得的最大速度.
解析 从能的角度看，洛伦兹力恒不做功，[W洛=0],机械能守恒[mghm=12mv2m]；从力的角度看，洛伦兹力是变力，根据动量定理分量式，在水平方向，有
[f1xt=mvm-0]，即[qBvy×t=mvm]
而[hm=vyt]，得[qBhm=mvm]
联立解得[vm=2mgqB],[hm=2m2g(qB)2]
点拨 本题小球受变力作用，从力的角度根据动量定理用正交分解法处理简便；从能的角度，这里洛伦兹力不做功，机械能守恒，也可用动能定理联立.
例3 如图4，水平桌面上光滑平行导轨电阻不计、间距为[L]. 其上正交横跨放置质量为[m]、电阻为[R]的导体棒. 导轨所在处外加竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为[B]. 电源的电动势为[E]、内阻为[r]. 电键闭合后，看到导体棒在导轨上滑动小段距离抛到水平地板上. 落地位置与导轨平面高度差为[h]，水平射程为[s]. 则（ ）
A. 导棒在导轨上运动时通过的电流为[I=ER+r]
B. 导棒在导轨上做匀加速运动，加速度为[a=BLEm(R+r)]
C. 电源释放的电量为[Δq=msBLg2h]
D. 电源释放的电能为[ΔE=ms2g4h]
解析 导体棒在导轨上运动时，除起始时刻外，棒切割磁感线产生了感应电动势，对电路而言是反电动势，故不是纯电阻电路，电流为[I=E-BLvR+r]，选项A错；棒所受安培力[F=BLI]及产生的加速度均随电流变化，不是匀变速运动，选项B错；变力作用过程，可用动量定理求解[BLIΔt=mv-0]，其中[IΔt=Δq]，[v=st=sg2h]，联立解得[Δq=msBLg2h]，选项C对；电源释放的电能为[ΔE=Δq×E],转化为电路的焦耳热、电磁辐射能和导体棒的机械能，选项D错.
答案 C
点拨 安培力作用引起导体棒动量变化的问题中，根据[BLIΔt=Δp]和[IΔt=Δq]求某段时间内流过导体棒的电量，是一种常用技巧. 本题将一道常规题改造为概念新题，通过剖析短暂过程中的复杂物理现象，深刻理解物理过程及其规律的适用条件，避免盲目乱套公式.
例4 如图5，在光滑水平面上有两个方向相反的匀强磁场垂直穿过，磁场的宽度为[L]，磁感应强度大小为[B]，水平面上放有一边长为[a﹙a＜L﹚]正方形金属线框，电阻为[R]. 若线框从磁场区左边以水平初速[v0]进入磁场，刚好能从磁场区右侧全部出来，求线框穿过磁场的三个分界面过程中，通过导线横截面的电量之比和产生的焦耳热量之比.
解析 线圈穿过左界面的过程中，通过导线横截面的电量
[Δq1=I1Δt1=E1RΔt1=Δφ1R=Ba2R]
线圈穿过中间界面的过程中，如图6，通过导线横截面的电量
[Δq2=I2Δt2=E2RΔt2=Δφ2R=Ba2-(-Ba2)R=2Ba2R]
线圈穿过右界面的过程中，通过导线横截面的电量
故线圈通过左中右三个界面的过程中，通过导线横截面的电量之比
[Δq1∶Δq2∶Δq3=1∶2∶1]
线圈穿过左界面的过程中，有
[BaI1Δt1=m(v0-v1)]，[B2a3R=m(v0-v1)]
线圈穿过中间界面的过程中，有
[2BaI2Δt2=m(v1-v2)]，[4B2a3R=m(v1-v2)]
线圈穿过右界面的过程中，有
[BaI3Δt3=mv2-0]，[B2a3R=mv2]
联立解得[v1=56v0]，[v2=16v0]
故线圈通过左中右三个界面过程中产生的焦耳热之比
[Q1∶Q2∶Q3=v20-v21∶v21-v22∶v22]=11[∶]24[∶]1
点拨 在电磁感应中，求解某段时间流过导体电量有两种方法. 一是用动量定理求解，二是根据法拉第电磁感应定律推出
[Δq=IΔt=ER+rΔt=nΔφΔtR+rΔt=nΔφR+r].
【练习】
如图7，两端开口、内壁也光滑的绝缘直管质量为[M], 中央有绝缘隔板，放在光滑水平面上. 中央隔板两侧有带等量正负电荷的小球[A、B]，质量均为[m]，带电量值[q]，处在磁感应强度为[B]，方向竖直向下的匀强磁场中，不计二者间的库仑力. 现给系统垂直于直管的水平初速度[v0]，设以后运动过程中小球始终在管内. 求：
（1）小球的最大速度[vm]；
（2）小球向右离开初位置的最远距离[xm]；
（3）两球相距最远距离[ym].
【参考答案】设两小球垂直管向速度为[vx]，沿管向速度为[vy]. 在沿管方向上，受到的洛伦兹力分力为[qBvx]，两球在管内以[vy]反向运动，分别受到垂直管向的洛伦兹力[qBvy]作用，使管系统向右减速，速度一直减到零. 两球沿管向速度由0增到最大[vm]，此时管向右运动到最远处. 以后，小球受向左的洛伦兹力[qBvm]作用系统返回，做周期性
例1 在水平向右的匀强电场中，质量为[m]的带正电的质点所受重力[mg]是电场力的[3]倍. 现将其以初速[v0]竖直上抛，如图1，则小球到速度最小时所经历的时间为（ ）
将所受重力和电场力等效为“新的重力”，方向如图所示. 可知，质点在场中做类斜抛运动，到达“物理最高点”时，速度最小，沿“物理水平方向”（与“物理竖直方向”垂直）. 该过程中速度（动量）矢量变化如图2. 有[tanα=Fmg=13]，则[α=30°.]等效重力加速度
[g′=gcos300=2g3]
[Δv=v0cos300=g′t]
联立解得[t=3v04g]
或者根据动量定理，有[mg′t=mΔv]
解得[t=3v04g].
方法二：用正交分解法求解.
根据动量定理的分量式，有
水平方向[Ft=mvx]，题设[mg=3F]，故得
[vx=axt=g3t]
竖直方向[-mgt=mvy-mv0]，得
[vy=v0-ayt=v0-gt]
实际速度[v=v2x+v2y]，则
[v=v2x+v2y=13g2t2+(v0-gt)2=43g2t2-2v0gt+v20=43g2(t-3v04g)2+(v02)2]
显然，[t=3v04g]时，速度最小且为[v02].
答案 D
点拨 本题方法一抓住质点速度最小时的特征条件是：到达“物理最高点”时，速度最小，沿“物理水平方向”，用矢量三角形求解，简洁明快. 方法二先找到速度大小与时间的函数关系，再求极值，数学技巧较高.
例2 重力不可忽略的带电小球质量为[m]，带电量为[+q]. 在垂直纸面向里、磁感应强度为[B]的水平匀强磁场中释放，如图3，求下降的最大高度和能获得的最大速度.
解析 从能的角度看，洛伦兹力恒不做功，[W洛=0],机械能守恒[mghm=12mv2m]；从力的角度看，洛伦兹力是变力，根据动量定理分量式，在水平方向，有
[f1xt=mvm-0]，即[qBvy×t=mvm]
而[hm=vyt]，得[qBhm=mvm]
联立解得[vm=2mgqB],[hm=2m2g(qB)2]
点拨 本题小球受变力作用，从力的角度根据动量定理用正交分解法处理简便；从能的角度，这里洛伦兹力不做功，机械能守恒，也可用动能定理联立.
例3 如图4，水平桌面上光滑平行导轨电阻不计、间距为[L]. 其上正交横跨放置质量为[m]、电阻为[R]的导体棒. 导轨所在处外加竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为[B]. 电源的电动势为[E]、内阻为[r]. 电键闭合后，看到导体棒在导轨上滑动小段距离抛到水平地板上. 落地位置与导轨平面高度差为[h]，水平射程为[s]. 则（ ）
A. 导棒在导轨上运动时通过的电流为[I=ER+r]
B. 导棒在导轨上做匀加速运动，加速度为[a=BLEm(R+r)]
C. 电源释放的电量为[Δq=msBLg2h]
D. 电源释放的电能为[ΔE=ms2g4h]
解析 导体棒在导轨上运动时，除起始时刻外，棒切割磁感线产生了感应电动势，对电路而言是反电动势，故不是纯电阻电路，电流为[I=E-BLvR+r]，选项A错；棒所受安培力[F=BLI]及产生的加速度均随电流变化，不是匀变速运动，选项B错；变力作用过程，可用动量定理求解[BLIΔt=mv-0]，其中[IΔt=Δq]，[v=st=sg2h]，联立解得[Δq=msBLg2h]，选项C对；电源释放的电能为[ΔE=Δq×E],转化为电路的焦耳热、电磁辐射能和导体棒的机械能，选项D错.
答案 C
点拨 安培力作用引起导体棒动量变化的问题中，根据[BLIΔt=Δp]和[IΔt=Δq]求某段时间内流过导体棒的电量，是一种常用技巧. 本题将一道常规题改造为概念新题，通过剖析短暂过程中的复杂物理现象，深刻理解物理过程及其规律的适用条件，避免盲目乱套公式.
例4 如图5，在光滑水平面上有两个方向相反的匀强磁场垂直穿过，磁场的宽度为[L]，磁感应强度大小为[B]，水平面上放有一边长为[a﹙a＜L﹚]正方形金属线框，电阻为[R]. 若线框从磁场区左边以水平初速[v0]进入磁场，刚好能从磁场区右侧全部出来，求线框穿过磁场的三个分界面过程中，通过导线横截面的电量之比和产生的焦耳热量之比.
解析 线圈穿过左界面的过程中，通过导线横截面的电量
[Δq1=I1Δt1=E1RΔt1=Δφ1R=Ba2R]
线圈穿过中间界面的过程中，如图6，通过导线横截面的电量
[Δq2=I2Δt2=E2RΔt2=Δφ2R=Ba2-(-Ba2)R=2Ba2R]
线圈穿过右界面的过程中，通过导线横截面的电量
故线圈通过左中右三个界面的过程中，通过导线横截面的电量之比
[Δq1∶Δq2∶Δq3=1∶2∶1]
线圈穿过左界面的过程中，有
[BaI1Δt1=m(v0-v1)]，[B2a3R=m(v0-v1)]
线圈穿过中间界面的过程中，有
[2BaI2Δt2=m(v1-v2)]，[4B2a3R=m(v1-v2)]
线圈穿过右界面的过程中，有
[BaI3Δt3=mv2-0]，[B2a3R=mv2]
联立解得[v1=56v0]，[v2=16v0]
故线圈通过左中右三个界面过程中产生的焦耳热之比
[Q1∶Q2∶Q3=v20-v21∶v21-v22∶v22]=11[∶]24[∶]1
点拨 在电磁感应中，求解某段时间流过导体电量有两种方法. 一是用动量定理求解，二是根据法拉第电磁感应定律推出
[Δq=IΔt=ER+rΔt=nΔφΔtR+rΔt=nΔφR+r].
【练习】
如图7，两端开口、内壁也光滑的绝缘直管质量为[M], 中央有绝缘隔板，放在光滑水平面上. 中央隔板两侧有带等量正负电荷的小球[A、B]，质量均为[m]，带电量值[q]，处在磁感应强度为[B]，方向竖直向下的匀强磁场中，不计二者间的库仑力. 现给系统垂直于直管的水平初速度[v0]，设以后运动过程中小球始终在管内. 求：
（1）小球的最大速度[vm]；
（2）小球向右离开初位置的最远距离[xm]；
（3）两球相距最远距离[ym].
【参考答案】设两小球垂直管向速度为[vx]，沿管向速度为[vy]. 在沿管方向上，受到的洛伦兹力分力为[qBvx]，两球在管内以[vy]反向运动，分别受到垂直管向的洛伦兹力[qBvy]作用，使管系统向右减速，速度一直减到零. 两球沿管向速度由0增到最大[vm]，此时管向右运动到最远处. 以后，小球受向左的洛伦兹力[qBvm]作用系统返回，做周期性