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[摘 要]关于“小数乘以整数”的计算法则，多数教师教学时都是直言相告——直接按照整数乘法计算出整数积，再来清点小数位数，学生只是言听计从。教师应解释清楚为何一定要先按整数乘法法则算出整数积，从而体现这种转化的必要性和培养学生主动思考的能力。
[关键词]小数;整数;位数;乘积
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）14-0058-02
苏教版教材五年级上册“小数乘以整数”的相关例题包含列竖式、演算、确定小数位数，同时给出两种预设：一是将3个0.8连加;二是把0.8元换算成8角，把因数从小数转换为整数。通过前测发现，学生在探究0.8×3的运算方法时，一律是先算出8×3=24，再将整数积24加上小数点改写成2.4，但让他们说理由时，他们都说不出个子丑寅卯来。即使换算货币单位，化元币为角币，一旦抛离情境，学生还是不知所谓。
一、突出重点才能突破难点
对于积的小数位数和乘数小数位数的关系，学生往往弄不清其中的关联，误以为只要将小数点对齐即可。有的教师建议从积的变化规律来解释，但此时学生尚未学习小数点移动带来分倍率的变化，更何况，如果用因数与积的变化规律来解释积中小数点位置的确定，更不能说清为何要化为整数。
将小数乘法暂时当作整数求积，是教师的“死命令”，如何将其变为学生的“刚需”？对此，笔者重新确定教学重点“一是让学生理解将因数暂时当作整数求积的原因;二是引导学生发现积和因数的小数位数之间的关系。”，并将这两个重点安插在小数乘整数的口算，因为竖式会干扰学生的思考。
为了突出第一个教学重点，笔者从计数单位的角度来揭示算理。这样，学生在口算小数乘整数时，就能自动变换成乘0.1、0.01、0.001等形式来计算，若要如此，必先抽离出整数，先算出有多少个0.1、0.01、0.001。此时，整数乘以整数就是顺理成章的事。然后，通过一组小数乘整数的口算题，先探究后验证，引导学生发现小数位数的前后联系，让学生吃透本质。至于竖式的计算，有了之前发现的规律，竖式就简单得多，先看成整数乘整数是再自然不过的事。这时积的小数位数的确定对学生来说也不再是难题。
二、教学实录
师：今天我们学习的内容是整数乘小数。（出示图1）黑色长条用小数如何表示？
生1：0.1。把矩形视为单位“1”，将其等分为10份，取其中1份染黑就是1/10，也就是0.1。
师（出示图2）：取其中4份染黑呢？
生2：是0.4，把矩形视为单位“1”，将其等分成10份，4份就是它的4/10，化为小数也就是0.4。
师：0.4里含有多少个0.1？
生3：4个。
师：4个0.1是多少，列式怎么表示？
生4：0.1×4=0.4。
师（出示图3）：黑色部分用哪个小数来表示？说出你的思路。
生5：0.04。把矩形视为单位“1”，将其等分成100份，取其中4份染黑就是它的[4100]，写成小数就是0.04。
师：那0.04里含有多少个0.01？列乘法算式如何表示？
生5：4个0.01。0.01×4=0.04。
师 （出示图4） ：着色的小方块用哪个小数表示？理由是什么？
生6：0.006。把立方体视为单位“1”，将其等分成1000小块，1小块就是它的[11000]，写成小数就是0.001，着色的是6个小块，也就是6个0.001，所以是0.006。
师：6个0.001是多少，如何列式表示？
生7：0.001×6=0.006。
师：以上计算中的小数都有什么特征？
生8：都是0.1、0.01、0.001与整数相乘。
师：只要乘以0.1，积就是几位小数？乘以0.01、0.001呢？
生9：只要是整数乘以0.1，结果就有若干个0.1，积只有一位小数……
师：计算0.2×3，0.02×3，0.002×3。如果换成其他小数，又该怎么办呢？ 0.2×3的积是多少？
生10：0.2×3=0.1×2×3=2×3×0.1=6×0.1=0.6。
师：先转化为刚刚学过的乘以0.1的算式，结果里共有多少个0.1？积是几位小数？我们用图5来验证。
师：又该怎么算0.02×3的积？
生11：0.02×3=0.01×2×3=2×3×0.01=6×0.01=0.06。
师：真不简单！为何这次是0.01而不是0.1呢？
生12：因為乘数不一样，0.2是一位小数，0.02是两位小数。
师：此时共有多少个0.01？是几位小数？我们用图6来验证。
师：0.002×3的积又该怎么算？
生13：0.002×3=0.001×2×3=2×3×0.001=0.006。
师：小数又转化成小数单位0.001了，此时为何不再是0.1、0.01？
生14：因为0.002是三位小数。
师：你们能够根据不同的小数选择不同的小数单位。我们一起看图7，这时一共有多少个0.001？
师：计算这些题目时，大家都不约而同地将小数转化成了一个整数乘以0.1、0.01、0.001的形式，都是先算——
生15：2×3。
生16：都是先把小数乘整数转化成整数乘整数。
师：整数因数都是3，为什么积的小数位数却各不相同？因为小数因数0.6、0.06、0.006的小数数位也各不相同。
生17：转化而成的小数单位也不尽相同，分别是0.1、0.01、0.001。 师：是什么决定转化的小数单位是0.1，或者0.01，或者0.001？
生18：小数因数的小数位数。
师：看来积的小数位数与因数的小数位数有着千丝万缕的关系，是什么关系呢？
生19：小数因数有几位小数，积就有几位小数。
师：这个规律是不是具有普遍性？真相如何，还需验证。有没有反例？
生20：我认为没有。一位小数乘整数，结果含有若干个0.1，积必然是一位小数，两位小数、三位小数也是如此。
师：如果换成较大的小数，你们会算吗？例如6.35×12。显然，只有尝试列竖式计算了。
师（出示两种不同的做法）：你们赞同哪一种？理由是什么？计算过程中出现小数点，合适吗？
生21：不合适，计算过程中不要出现小数点。因为先要将因数当作整数做乘法，最后由小数因数中的小数位数来确定积的小数位数。
三、课后反思
课后调研显示，教学效果令人满意。沿着学生的思路以学定教，学生不但学会小数乘整数的计算法则，并且领悟其精髓。主要体现在以下两方面：
一是从计数单位入手，解析算法、渗透算理。小数乘法的计算必先转化为整数乘法，如何将这其中的深意和原理变成学生的必然思维？笔者认为，采用“换零钱”的办法将用小数表示的元币化为用整数表示的角币实为不妥。因为学生会对这个情境产生依赖，一旦脱离这个情境，学生的认知就会打回原形。而从计数单位入手，就可以摆脱情境的局限性，计算时一律转化成×0.1、×0.01、×0.001……一旦转化成乘以小数单位的形式，先算整数乘整数就是必然发生的事情。同时，整数乘以整数后的积，正好是0.1、0.01、0.001……的个数。
二是突破常规教学，让学生自主尝试，将类比推理和演绎推理完美结合起来。尽管小学阶段不要求学生会证明，但是不代表学生不能论证结论，这就需要教师有魄力和胆略。许多教师只让学生机械记住“因数中是几位小数，积就是几位小数”，没有追根溯源。筆者在学生计算了三道较小的小数乘整数题目后，让学生从形式上观察和归纳因数的小数位数与积的小数位数的关系，然后通过类比来推理出算法，再通过演绎推理出这种规律的普遍性，让学生通过交流、争论，总结出“一位小数乘整数的结果含有若干个0.1，积自然是一位小数;两位小数乘整数的结果含有若干个0.01，积自然是两位小数;三位小数乘整数的结果含有若干个0.001，积自然是三位小数”，至此，学生领悟算理。
（责编 童 夏）
[关键词]小数;整数;位数;乘积
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）14-0058-02
苏教版教材五年级上册“小数乘以整数”的相关例题包含列竖式、演算、确定小数位数，同时给出两种预设：一是将3个0.8连加;二是把0.8元换算成8角，把因数从小数转换为整数。通过前测发现，学生在探究0.8×3的运算方法时，一律是先算出8×3=24，再将整数积24加上小数点改写成2.4，但让他们说理由时，他们都说不出个子丑寅卯来。即使换算货币单位，化元币为角币，一旦抛离情境，学生还是不知所谓。
一、突出重点才能突破难点
对于积的小数位数和乘数小数位数的关系，学生往往弄不清其中的关联，误以为只要将小数点对齐即可。有的教师建议从积的变化规律来解释，但此时学生尚未学习小数点移动带来分倍率的变化，更何况，如果用因数与积的变化规律来解释积中小数点位置的确定，更不能说清为何要化为整数。
将小数乘法暂时当作整数求积，是教师的“死命令”，如何将其变为学生的“刚需”？对此，笔者重新确定教学重点“一是让学生理解将因数暂时当作整数求积的原因;二是引导学生发现积和因数的小数位数之间的关系。”，并将这两个重点安插在小数乘整数的口算，因为竖式会干扰学生的思考。
为了突出第一个教学重点，笔者从计数单位的角度来揭示算理。这样，学生在口算小数乘整数时，就能自动变换成乘0.1、0.01、0.001等形式来计算，若要如此，必先抽离出整数，先算出有多少个0.1、0.01、0.001。此时，整数乘以整数就是顺理成章的事。然后，通过一组小数乘整数的口算题，先探究后验证，引导学生发现小数位数的前后联系，让学生吃透本质。至于竖式的计算，有了之前发现的规律，竖式就简单得多，先看成整数乘整数是再自然不过的事。这时积的小数位数的确定对学生来说也不再是难题。
二、教学实录
师：今天我们学习的内容是整数乘小数。（出示图1）黑色长条用小数如何表示？
生1：0.1。把矩形视为单位“1”，将其等分为10份，取其中1份染黑就是1/10，也就是0.1。
师（出示图2）：取其中4份染黑呢？
生2：是0.4，把矩形视为单位“1”，将其等分成10份，4份就是它的4/10，化为小数也就是0.4。
师：0.4里含有多少个0.1？
生3：4个。
师：4个0.1是多少，列式怎么表示？
生4：0.1×4=0.4。
师（出示图3）：黑色部分用哪个小数来表示？说出你的思路。
生5：0.04。把矩形视为单位“1”，将其等分成100份，取其中4份染黑就是它的[4100]，写成小数就是0.04。
师：那0.04里含有多少个0.01？列乘法算式如何表示？
生5：4个0.01。0.01×4=0.04。
师 （出示图4） ：着色的小方块用哪个小数表示？理由是什么？
生6：0.006。把立方体视为单位“1”，将其等分成1000小块，1小块就是它的[11000]，写成小数就是0.001，着色的是6个小块，也就是6个0.001，所以是0.006。
师：6个0.001是多少，如何列式表示？
生7：0.001×6=0.006。
师：以上计算中的小数都有什么特征？
生8：都是0.1、0.01、0.001与整数相乘。
师：只要乘以0.1，积就是几位小数？乘以0.01、0.001呢？
生9：只要是整数乘以0.1，结果就有若干个0.1，积只有一位小数……
师：计算0.2×3，0.02×3，0.002×3。如果换成其他小数，又该怎么办呢？ 0.2×3的积是多少？
生10：0.2×3=0.1×2×3=2×3×0.1=6×0.1=0.6。
师：先转化为刚刚学过的乘以0.1的算式，结果里共有多少个0.1？积是几位小数？我们用图5来验证。
师：又该怎么算0.02×3的积？
生11：0.02×3=0.01×2×3=2×3×0.01=6×0.01=0.06。
师：真不简单！为何这次是0.01而不是0.1呢？
生12：因為乘数不一样，0.2是一位小数，0.02是两位小数。
师：此时共有多少个0.01？是几位小数？我们用图6来验证。
师：0.002×3的积又该怎么算？
生13：0.002×3=0.001×2×3=2×3×0.001=0.006。
师：小数又转化成小数单位0.001了，此时为何不再是0.1、0.01？
生14：因为0.002是三位小数。
师：你们能够根据不同的小数选择不同的小数单位。我们一起看图7，这时一共有多少个0.001？
师：计算这些题目时，大家都不约而同地将小数转化成了一个整数乘以0.1、0.01、0.001的形式，都是先算——
生15：2×3。
生16：都是先把小数乘整数转化成整数乘整数。
师：整数因数都是3，为什么积的小数位数却各不相同？因为小数因数0.6、0.06、0.006的小数数位也各不相同。
生17：转化而成的小数单位也不尽相同，分别是0.1、0.01、0.001。 师：是什么决定转化的小数单位是0.1，或者0.01，或者0.001？
生18：小数因数的小数位数。
师：看来积的小数位数与因数的小数位数有着千丝万缕的关系，是什么关系呢？
生19：小数因数有几位小数，积就有几位小数。
师：这个规律是不是具有普遍性？真相如何，还需验证。有没有反例？
生20：我认为没有。一位小数乘整数，结果含有若干个0.1，积必然是一位小数，两位小数、三位小数也是如此。
师：如果换成较大的小数，你们会算吗？例如6.35×12。显然，只有尝试列竖式计算了。
师（出示两种不同的做法）：你们赞同哪一种？理由是什么？计算过程中出现小数点，合适吗？
生21：不合适，计算过程中不要出现小数点。因为先要将因数当作整数做乘法，最后由小数因数中的小数位数来确定积的小数位数。
三、课后反思
课后调研显示，教学效果令人满意。沿着学生的思路以学定教，学生不但学会小数乘整数的计算法则，并且领悟其精髓。主要体现在以下两方面：
一是从计数单位入手，解析算法、渗透算理。小数乘法的计算必先转化为整数乘法，如何将这其中的深意和原理变成学生的必然思维？笔者认为，采用“换零钱”的办法将用小数表示的元币化为用整数表示的角币实为不妥。因为学生会对这个情境产生依赖，一旦脱离这个情境，学生的认知就会打回原形。而从计数单位入手，就可以摆脱情境的局限性，计算时一律转化成×0.1、×0.01、×0.001……一旦转化成乘以小数单位的形式，先算整数乘整数就是必然发生的事情。同时，整数乘以整数后的积，正好是0.1、0.01、0.001……的个数。
二是突破常规教学，让学生自主尝试，将类比推理和演绎推理完美结合起来。尽管小学阶段不要求学生会证明，但是不代表学生不能论证结论，这就需要教师有魄力和胆略。许多教师只让学生机械记住“因数中是几位小数，积就是几位小数”，没有追根溯源。筆者在学生计算了三道较小的小数乘整数题目后，让学生从形式上观察和归纳因数的小数位数与积的小数位数的关系，然后通过类比来推理出算法，再通过演绎推理出这种规律的普遍性，让学生通过交流、争论，总结出“一位小数乘整数的结果含有若干个0.1，积自然是一位小数;两位小数乘整数的结果含有若干个0.01，积自然是两位小数;三位小数乘整数的结果含有若干个0.001，积自然是三位小数”，至此，学生领悟算理。
（责编 童 夏）