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[摘 要]分析教材编排的“优化烙法”不合情理的原因：没有从整体出发，没有抓住主要可变因素（厚度、面积及形状等）进行优化，只是抓住了“交替烙”这一可变因素进行优化;更深层次的原因是对统筹与优化思想理解的偏颇。
[关键词]烙饼问题;优化;主要因素
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）14-0004-02
《关于“烙饼问题”教材编写和教学的研究（一）》分析了教材编写存在的一些不足，下面就分析和探讨教材如此设计的原因。
一、达成优化烙饼方法受诸多隐含条件的制约
由教材（图1）可知，“烙饼问题”的条件为：①用圆形平底锅烙圆形的饼;②每次最多只能烙2张饼;③两面都要烙，每面3分钟;④烙3张饼。问题是“怎样才能尽快吃上饼？”其实，在这些条件之下很难得出教材图示的优化方案。因为，要让学生探究出教材设计的烙饼方法，不仅需要把问题改为“怎样才能尽快烙完饼？”，还需要一些条件做保证。
首先，条件①只是由图示得出的，教材并没有强调这一条件。这一条件的合理性是建立在人们的习惯性思维或思维定式之上的。否则，学生就有可能抓住这一点进行思考，得出更优化的烙饼方案。例如，李茂林在《如何在小学数学教学中处理好数学与生活的关系——教学“烙饼问题”一课的思考》中指出，有的学生把第3张饼切开，填补到锅的缝隙中，说出充分利用能源和空间的3张饼同时烙只需6分钟的方案，这岂不比教材的烙法更好？故“用圆形（唯一不变）平底锅烙饼，且饼是圆形（不变）的”这一条件必须明确，在此前提下，其他条件才有意义。
其次，对于条件②“每次最多只能烙2张饼”，要让学生知道可以同时烙2张饼，这样就能达到教材提示的“每次总烙2张饼就最省时间”。当然，作为数学问题的条件假设无可厚非，可与实际问题相结合得思考为什么做此假设，假设的合理性何在，最起码得让学生考虑到“锅里不能同时放3张饼”这一隐含条件。严格来说，研究（一）中已提到“在图示圆形平底锅大小不变，在3张圆饼直径相同”的情况下，饼的直径最大为锅的半径，但应大于锅半径的[0.928]倍时，才不能同时放3张饼。若缺少此隐含条件的限制，锅里就有可能同时放3张饼，一起烙6分钟即可。如图2所示的3幅教学视频截图，学生一眼就可看出：锅里不仅可以同时烙3张饼，甚至可以同时烙4张或更多张饼（更有不少教师让学生用小圆纸片或小手当饼，用课桌面或黑板当锅）。因此，在这样的教学过程中，当教师让学生探究烙3张饼最少需要多长时间时，就有学生说是6分钟。虽然学生的结论是源于观察或直觉，但观察也是学习数学或发现数学的重要方法。遗憾的是，由于不合教材或教师的设计套路，大多数教师都无视学生“6分钟”的回答;个别教师虽然让学生说想法，可当学生说同时烙3张饼时，就会被教师强调一次最多只能烙2张饼怼了回去。这样，既制约了学生观察能力的发展，又约束了学生的思维，教师也失去了思考机会，不利于教学相长。
最后，条件③“两面都要烙，每面3分钟”也不只是一个简单的条件假设。因为要同时烙2张饼，并能同时烙熟且不煳，一个必要的、关键的前提条件是饼的厚度（基本）相同。否则，就不可能同时烙好、烙熟。其实，在火焰大小一定的情况下，饼的厚度才是影响烙熟快慢及2张饼同时烙熟的主要因素（可参考研究（一）中更优化烙饼方案的论述）。
综上，擀成的3张饼只有在满足上述的隐含条件，且认可饼的正反两面都烙3分钟，及烙1张饼和烙2张饼都用6分钟能烙熟的假设，再加上圆形平底锅及炉灶的火焰大小一定且每次都烙2张饼的条件下，才可能出现“交替烙”和“不交替烙”这两种不同烙法的比较，才能满足教材上所谓的优化烙饼方法——9分钟烙熟3张饼的时间最省。因此，若按照教材的思路设计教学，就需要处处控制学生的思维，这与教学目标是相悖的。简单地说，教材编写的优化烙饼方法是在添加诸多不可变隐含条件下的一种被逼无奈之不合情理的选择，而不是抓住烙饼过程中的可变因素进行统筹与优化的主动、理性、科学思考的结果。再者，不少教学都把教材的最多烙2张饼改成了每次都烙2张饼，这说明教师也发现了这一问题。当然，教材编写有可能是考虑到学生的实际情况，故不可能列出这么多条件限制。
二、对统筹与优化认识的偏颇是教材如此编写的根本原因
统筹，顾名思义，是指通盘筹划或统一筹划。而统筹的前提是要解决的问题必须存在一些可变因素，这样才能提供统筹的可能与空间。否则，若要解决的问题中一个可变因素都不存在，那就失去了统筹的可能性。如，烙饼问题若规定了每张饼必须烙熟才能出锅，那教材给出的优化方法就不存在了;沏茶问题若规定必须用烧开的水烫茶杯来杀菌，那茶叶就不能在烧水的时候提前放了;田忌赛马若规定必须用同等级的马进行比赛，孙膑就没有了运筹的空间。因此，统筹的首要任务就是从要解决问题的整个过程或全局的角度，去观察及思考问题中有没有可变因素，有哪些可变因素，哪些可变因素更合情合理，以及可变因素之间的关系（如前后逻辑关系、并行关系等）;然后，统筹考虑这些可变因素，尤其是抓住合理的可变因素进行运筹，提出或制订不同的解决问题的方法，展现解决问题方法的多样性，为解决问题提供比较和选择的机会与空间，进而选择或确定最优化的解决问题的方法;最后，按确定的最优方法统筹安排解决问题的具体过程，实施并获得问题的解决。这样，只要可变因素考虑得全面，就不会顾此失彼，不因小失大，使问题得到圆满解决。
从上面的分析可以看出，观察、思考问题中的可变因素是统筹的前提，综合可变因素及其之间的关系进行运筹，并提出不同解决问题的方法是统筹与优化的關键，选择并实施最优方法解决问题是统筹与优化的过程和结果。总之，统筹是从开始到结束的解决问题的过程，优化只是其中的比较选择环节。从数学的角度来说，数学问题的可变因素主要有两方面：一是数量的变化;二是形式的变化。因此，统筹作为一种数学方法，其过程之本质是抓住要解决问题的各种数量关系（比如饼的厚度和每个面的面积等）和空间形式（如饼的形状）的可变因素及其之间的逻辑等相互关系进行运筹。只有运筹到位，才有比较、优化选择的可能，才能给出最优化的解决问题的方法。 基于上述认识，教材的编排没有从全局——整个烙饼过程的角度进行统筹，忽略了擀饼的过程（这是数量关系和空间形式变化的关键），只抓住了烙饼过程中的部分程序（交替烙）进行优化。从哲学的角度讲，就是没抓住主要矛盾（因素），而是抓住了次要矛盾（因素）;只抓住了部分，而忽略了整体。因此，教材编写的所谓优化烙饼方法脱离实际，违背常识，且不是最优方法就不足为怪了。
冒昧揣测，教材之所以如此编写，可能与华罗庚先生的科普作品《优选法评话及其补充》及《统筹法评话及补充》中，所举工农业生产中的实例大都是工序安排问题有关。须知，统筹不只是工序问题，统筹或运筹也不只是数学方法，只是现代才明确为一门学科（运筹学）或方法（统筹法）。众所周知，古代劳动人民没有多少数学知识，但在生活中解决问题时也需要运筹，成语“运筹帷幄”就是现今运筹学的实际应用。再者，就是工序问题，擀饼当然也是工序之一，且是最重要的、最先开始的工序，那为什么不考虑？当然，教材编写也有可能是在引用别人的举例时忽略了问题的条件而简单搬移的结果。
值得指出的是，小学数学内容虽然简单，但数学教育工作者切不可麻痹大意。这不仅因为小学数学对学生学习数学有着启蒙的作用，还有着开启思维促进能力发展的作用。再者，小学生的思维更活跃，发散性思维和创新思维也更强，甚至会有一些奇思妙想，如果數学教育工作者对教材及教学设计浅尝辄止，浮于表面，流于形式，那就有可能出现教师面对学生质疑时只能尴尬应对的局面，甚至会束缚、禁锢或影响学生思维能力的发展。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 人民教育出版社，课程教材研究所.义务教育教科书·数学（四年级上册）[M].北京：人民教育出版社，2014.
[2] 李茂林.如何在小学数学教学中处理好数学与生活的关系：教学“烙饼问题”一课的思考[J].课程教育研究，2016（9）.
[3] 董桂云.谈教学“烙饼问题”[J].中小学数学（小学版），2011（5）.
[4] 闻浩.“数学烙饼”岂能吃[J].教育实践与研究（A），2011（2）.
【本文系滨州市教育科学“十三五”规划2020年度立项课题“小学数学‘综合与实践’领域教材编写与优化研究——以人教版第二学段数学教材为例”（BJK13520-109）成果之一。】
（责编 金 铃）
[关键词]烙饼问题;优化;主要因素
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）14-0004-02
《关于“烙饼问题”教材编写和教学的研究（一）》分析了教材编写存在的一些不足，下面就分析和探讨教材如此设计的原因。
一、达成优化烙饼方法受诸多隐含条件的制约
由教材（图1）可知，“烙饼问题”的条件为：①用圆形平底锅烙圆形的饼;②每次最多只能烙2张饼;③两面都要烙，每面3分钟;④烙3张饼。问题是“怎样才能尽快吃上饼？”其实，在这些条件之下很难得出教材图示的优化方案。因为，要让学生探究出教材设计的烙饼方法，不仅需要把问题改为“怎样才能尽快烙完饼？”，还需要一些条件做保证。
首先，条件①只是由图示得出的，教材并没有强调这一条件。这一条件的合理性是建立在人们的习惯性思维或思维定式之上的。否则，学生就有可能抓住这一点进行思考，得出更优化的烙饼方案。例如，李茂林在《如何在小学数学教学中处理好数学与生活的关系——教学“烙饼问题”一课的思考》中指出，有的学生把第3张饼切开，填补到锅的缝隙中，说出充分利用能源和空间的3张饼同时烙只需6分钟的方案，这岂不比教材的烙法更好？故“用圆形（唯一不变）平底锅烙饼，且饼是圆形（不变）的”这一条件必须明确，在此前提下，其他条件才有意义。
其次，对于条件②“每次最多只能烙2张饼”，要让学生知道可以同时烙2张饼，这样就能达到教材提示的“每次总烙2张饼就最省时间”。当然，作为数学问题的条件假设无可厚非，可与实际问题相结合得思考为什么做此假设，假设的合理性何在，最起码得让学生考虑到“锅里不能同时放3张饼”这一隐含条件。严格来说，研究（一）中已提到“在图示圆形平底锅大小不变，在3张圆饼直径相同”的情况下，饼的直径最大为锅的半径，但应大于锅半径的[0.928]倍时，才不能同时放3张饼。若缺少此隐含条件的限制，锅里就有可能同时放3张饼，一起烙6分钟即可。如图2所示的3幅教学视频截图，学生一眼就可看出：锅里不仅可以同时烙3张饼，甚至可以同时烙4张或更多张饼（更有不少教师让学生用小圆纸片或小手当饼，用课桌面或黑板当锅）。因此，在这样的教学过程中，当教师让学生探究烙3张饼最少需要多长时间时，就有学生说是6分钟。虽然学生的结论是源于观察或直觉，但观察也是学习数学或发现数学的重要方法。遗憾的是，由于不合教材或教师的设计套路，大多数教师都无视学生“6分钟”的回答;个别教师虽然让学生说想法，可当学生说同时烙3张饼时，就会被教师强调一次最多只能烙2张饼怼了回去。这样，既制约了学生观察能力的发展，又约束了学生的思维，教师也失去了思考机会，不利于教学相长。
最后，条件③“两面都要烙，每面3分钟”也不只是一个简单的条件假设。因为要同时烙2张饼，并能同时烙熟且不煳，一个必要的、关键的前提条件是饼的厚度（基本）相同。否则，就不可能同时烙好、烙熟。其实，在火焰大小一定的情况下，饼的厚度才是影响烙熟快慢及2张饼同时烙熟的主要因素（可参考研究（一）中更优化烙饼方案的论述）。
综上，擀成的3张饼只有在满足上述的隐含条件，且认可饼的正反两面都烙3分钟，及烙1张饼和烙2张饼都用6分钟能烙熟的假设，再加上圆形平底锅及炉灶的火焰大小一定且每次都烙2张饼的条件下，才可能出现“交替烙”和“不交替烙”这两种不同烙法的比较，才能满足教材上所谓的优化烙饼方法——9分钟烙熟3张饼的时间最省。因此，若按照教材的思路设计教学，就需要处处控制学生的思维，这与教学目标是相悖的。简单地说，教材编写的优化烙饼方法是在添加诸多不可变隐含条件下的一种被逼无奈之不合情理的选择，而不是抓住烙饼过程中的可变因素进行统筹与优化的主动、理性、科学思考的结果。再者，不少教学都把教材的最多烙2张饼改成了每次都烙2张饼，这说明教师也发现了这一问题。当然，教材编写有可能是考虑到学生的实际情况，故不可能列出这么多条件限制。
二、对统筹与优化认识的偏颇是教材如此编写的根本原因
统筹，顾名思义，是指通盘筹划或统一筹划。而统筹的前提是要解决的问题必须存在一些可变因素，这样才能提供统筹的可能与空间。否则，若要解决的问题中一个可变因素都不存在，那就失去了统筹的可能性。如，烙饼问题若规定了每张饼必须烙熟才能出锅，那教材给出的优化方法就不存在了;沏茶问题若规定必须用烧开的水烫茶杯来杀菌，那茶叶就不能在烧水的时候提前放了;田忌赛马若规定必须用同等级的马进行比赛，孙膑就没有了运筹的空间。因此，统筹的首要任务就是从要解决问题的整个过程或全局的角度，去观察及思考问题中有没有可变因素，有哪些可变因素，哪些可变因素更合情合理，以及可变因素之间的关系（如前后逻辑关系、并行关系等）;然后，统筹考虑这些可变因素，尤其是抓住合理的可变因素进行运筹，提出或制订不同的解决问题的方法，展现解决问题方法的多样性，为解决问题提供比较和选择的机会与空间，进而选择或确定最优化的解决问题的方法;最后，按确定的最优方法统筹安排解决问题的具体过程，实施并获得问题的解决。这样，只要可变因素考虑得全面，就不会顾此失彼，不因小失大，使问题得到圆满解决。
从上面的分析可以看出，观察、思考问题中的可变因素是统筹的前提，综合可变因素及其之间的关系进行运筹，并提出不同解决问题的方法是统筹与优化的關键，选择并实施最优方法解决问题是统筹与优化的过程和结果。总之，统筹是从开始到结束的解决问题的过程，优化只是其中的比较选择环节。从数学的角度来说，数学问题的可变因素主要有两方面：一是数量的变化;二是形式的变化。因此，统筹作为一种数学方法，其过程之本质是抓住要解决问题的各种数量关系（比如饼的厚度和每个面的面积等）和空间形式（如饼的形状）的可变因素及其之间的逻辑等相互关系进行运筹。只有运筹到位，才有比较、优化选择的可能，才能给出最优化的解决问题的方法。 基于上述认识，教材的编排没有从全局——整个烙饼过程的角度进行统筹，忽略了擀饼的过程（这是数量关系和空间形式变化的关键），只抓住了烙饼过程中的部分程序（交替烙）进行优化。从哲学的角度讲，就是没抓住主要矛盾（因素），而是抓住了次要矛盾（因素）;只抓住了部分，而忽略了整体。因此，教材编写的所谓优化烙饼方法脱离实际，违背常识，且不是最优方法就不足为怪了。
冒昧揣测，教材之所以如此编写，可能与华罗庚先生的科普作品《优选法评话及其补充》及《统筹法评话及补充》中，所举工农业生产中的实例大都是工序安排问题有关。须知，统筹不只是工序问题，统筹或运筹也不只是数学方法，只是现代才明确为一门学科（运筹学）或方法（统筹法）。众所周知，古代劳动人民没有多少数学知识，但在生活中解决问题时也需要运筹，成语“运筹帷幄”就是现今运筹学的实际应用。再者，就是工序问题，擀饼当然也是工序之一，且是最重要的、最先开始的工序，那为什么不考虑？当然，教材编写也有可能是在引用别人的举例时忽略了问题的条件而简单搬移的结果。
值得指出的是，小学数学内容虽然简单，但数学教育工作者切不可麻痹大意。这不仅因为小学数学对学生学习数学有着启蒙的作用，还有着开启思维促进能力发展的作用。再者，小学生的思维更活跃，发散性思维和创新思维也更强，甚至会有一些奇思妙想，如果數学教育工作者对教材及教学设计浅尝辄止，浮于表面，流于形式，那就有可能出现教师面对学生质疑时只能尴尬应对的局面，甚至会束缚、禁锢或影响学生思维能力的发展。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 人民教育出版社，课程教材研究所.义务教育教科书·数学（四年级上册）[M].北京：人民教育出版社，2014.
[2] 李茂林.如何在小学数学教学中处理好数学与生活的关系：教学“烙饼问题”一课的思考[J].课程教育研究，2016（9）.
[3] 董桂云.谈教学“烙饼问题”[J].中小学数学（小学版），2011（5）.
[4] 闻浩.“数学烙饼”岂能吃[J].教育实践与研究（A），2011（2）.
【本文系滨州市教育科学“十三五”规划2020年度立项课题“小学数学‘综合与实践’领域教材编写与优化研究——以人教版第二学段数学教材为例”（BJK13520-109）成果之一。】
（责编 金 铃）