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[摘 要]探索教学中，需要引导学生经历方法的自然迁移、不断优化、寻求勾联和沉淀内化的过程。这是方法表征的基本路径，也是启智生慧的系统工程。以“多边形的内角和”的教学为例，让学生浸润于探索的全过程，从而使学生真正理解方法、使用方法和超越方法，进而提升数学思维能力，养成数学思维品质。
[关键词]方法表征;多边形的内角和;探索规律
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）11-0007-03
“多边形的内角和”是苏教版教材四年级下册 “探索规律”的专题活动，属于“图形与几何”板块中的一次探索之旅。从知识维度考量，学生已经认识了一些简单的平面图形及其特征，知道了它们内角和的具体度数，如三角形的内角和是180°;从方法维度考量，学生已经学会了一些探索平面图形的内角和的方法，如测量、折拼等。但知识的简单累加并不能引发数学思维的自然灵动，方法的机械调用也不能驱动数学思想的体悟内化。因此，教学如果仅仅从多边形的一个顶点出发，将多边形分割成独立的三角形，看似学生找到了“捷径”，学会了求“多边形的内角和”，实则远离了“素养”，学生没有真正、真实和真切地体验到方法的迁移、优化、勾连和沉淀。
一、方法迁移：让探索“自然生长”
方法迁移是指先在特定领域积极开发解决问题的办法，然后直接运用到相同领域或跨界运用到不同领域，以驱动探索活动的自然对接和有效达成。在此过程中，不变量或相似性的确认是教学核心，度量准则的建立则是教学关键。
1.概念自然迁移
教材首先通过“三角形3个内角的和是180°，四边形、五边形、六边形等多边形的内角和呢？”激活学生对图形“内角和”的认知迁移。这个环节主要解决两个问题，一是确认“多边形的内角在哪里”，通过回忆三角形的特征，明确三角形有3个顶点、3条边和3个角，所谓三角形的内角，其实就是从一个顶点引出的两条边的夹角，紧接着可以迅速类比其他多边形，并在此基础上明确几边形就有几个内角，感知多边形的顶点、边和角之间数量的对应关系;二是确认“多边形的内角和是什么”，三角形的内角和是把3个内角相加，“依葫芦画瓢”，四边形的内角和就是把4个内角相加，五边形的内角和就是把5个内角相加……几边形的内角和就是把几个内角相加。显然，这两个问题的顺利解决，有助于明确和凸显探索对象。
2.方法悄然生长
教材通过设问“你能想办法求出上面四边形4个内角的和吗？”，激活了学生对图形“内角和”算法的迁移。应该说，测量、折拼等基本方法既适用于推算三角形的内角和，也适用于其他多边形的内角和的推算。因为，从本质上来讲，求和运算就是把内角一个一个地加起来。比如，计算直角梯形的内角和时，可以先展示基本方法，一是计算90° 90° 40° 140°=360°，二是撕开后拼成一个角，结果也是360°，然后通过“在此之前，我们已经知道一个三角形的内角和是180°，也知道梯形可以分割成两个三角形，你能顺着这个思路快速求出梯形的内角和吗？”鼓励学生换個角度思考问题。当分割完梯形内角之后，要求学生着重思辨“两个三角形的内角和为什么恰好等于梯形的内角和？”，引导学生发现“梯形的内角总和并没有发生变化，只是重新分割和组合成两个三角形的内角”。就这样，在旧知调用和新知探索中，在静态描述和动态展示中，在总和不变和组合变化中，学生初步感受到方法的自然迁移和生长。
可以看出，因为多边形的内在结构相似，所以“内角”与“内角和”的确认一脉相承，又因为求和操作的算理本质不变，所以“分割”与“组合”形式虽有不同，但内在理念相通。就这样，探索靠船下篙，认知拾级而上，解决问题的办法顺利螺旋上升和悄然换代更迭。
二、方法优化：让探索“取长补短”
方法多样演绎了探索氛围的生态和探索过程的生动。但是，从方法多样到方法优化，需要进行全方位的比较，以考量方法的基础性、适用性和普及性。换个角度来说，探索既要重视方法的“必要优化”，又要避免方法的“简单强化”。
1.重视必要优化
探索一定要重视方法的“必要优化”。就本节课而言，求“多变形的内角和”主要出现了四种方法，即测量、折拼、撕拼和分割。第一次优化发生在三角形和四边形之间，因为图形结构发生变化，折拼不再方便，测量误差变大，只有撕拼还能勉强凑合;第二次优化发生在四边形内部，先将四边形分割成两个独立的三角形，以“三角形的内角和”为一倍量，四边形的内角和就包含这样的两倍量，有效避免了测量误差和撕拼麻烦;第三次优化发生在多边形内部，以五边形为例，分三种情况来讨论：一是从图形顶点出发，以顺次连接其他顶点得到的线段来分割（如图1）;二是从图形边上的任意点（不含端点）出发，以顺次连接其他顶点得到的线段来分割（如图2）;三是从图形内部的任意一点出发，以顺次连接所有顶点得到的线段来分割（如图3）。比较后发现，第一种情况分割得最少，画图过程简洁，计算方便。
2.避免简单强化
探索一定要避免方法的“简单强化”。对于多边形的内角和而言，测量方法适用于简单的、特殊的图形（正多边形），复杂的、普通的图形测量工作量大且误差多。折拼和撕拼适用于具体的图形，比如三角形和四边形，不太适合其他图形。 通过“把五边形、六边形各分成几个三角形后，就能方便地算出它们的内角和吗？分一分，算一算。”“其他多边形也可以像这样分成几个三角形来计算内角和吗？小组合作，任意画出一些多边形，试一试。”可充分突显本课的探索导向，即分割的方法。但是，需要指明的是，教学不应“单刀直入”，直接传输分割的方法，也不能对分割的“另类作品”视而不见。因为没有充分对比，思维优化是不可能发生的。
可以看出，方法优化并不是“一刀切”、“一言堂”和“一锤定音”，而是要引导学生深度参与探索过程，用“取长补短”的视角分析方法的优势与不足，感受方法的阶段侧重和价值取向，以便更好地凸显探索主线。 三、方法勾连：让探索“求同存异”
探索的重点不在于结论的完备，而在于探索的过程是否能引发学生的猜想、联系、验证等思维活动。事实上，充分经历的过程体验，容易催生点状分布事实的内在勾连，助推零散思考的有机架构，做到方法的兼容并蓄和求同存异。
1.同构中的勾连
方法勾连发生在同构情境中，分两个层次进行。第一层次侧重勾连的准备，学生根据活动要求和图1的示范，以此类推，将多边形进行分割，然后数出独立的三角形个数，再结合标准量“三角形的内角和是180°”，快速算出各多边形的内角和，并一一有序地填入表格中。在填表之前，探索关注的是具体图形，它们彼此独立，互不相干，但是为后续联系提供了必要数据（如表1）。第二层次侧重勾连的实质，通过“观察表中的数据，你有什么发现？”的设问，驱动学生聚焦具体数据，挖掘数据背后的共性，比如“可以把多边形分成若干个三角形，计算它的内角和。”“分成的三角形个数都比多边形的边数少2。”“分成了几个三角形，多边形的内角和就有几个180°。”再通过“你能用一个式子表示多边形内角和的计算方法吗？”的追问，将探索推向高潮。最终，在变与不变的思辨中，建构了“多边形的内角和=（边数-2）×180°”的计算模型。
2.异构中的勾连
方法勾连发生在异构情境中，也分两个层次进行。第一层次侧重模型展示，除了基于图1建构计算模型之外，还引导学生进一步探索，比如基于图2的模型建构，先算单个多边形的内角和，接着模仿表1填入具体数据，发现“分成的三角形个数都比多边形的边数少1。”“可以把多边形分成若干个三角形，计算它的内角和时要减去一个平角180°。”等，最后顺势建构“多边形的内角和=（边数-1）×180°-180°”。基于图3的模型建构，探索过程相同，但建构的却是“多边形的内角和=边数×180°-360°”。第二层次侧重模型勾连，结合图形特点和不同分法，联系之前学过的运算律，学生能够基本弄清三者之间的联系，得到“多边形的内角和=（边数-2）×180°=（边数-1）×180°-180°=边数×180°-360°”的基本事实。
可以看出，发生在同构情境的方法勾连，需要厚积薄发，建构数学模型，但拒绝急功近利，一心只想“捷径”;发生在异构情境的方法勾连，需要适当变式，确认内在联系，但不能忽略学情，一味追求“通透”。因为学生需要的、能接受的，才是探索的着力点。
四、方法沉淀：让探索“落地生根”
数学思想贯穿于探索活动，对具体的、局部的方法具有取舍、组合和调节的作用。数学方法是指解决数学问题时所采用的方式、途径和手段，它是数学思想的具体化表现。有方法、有思想的探索活动能够超越知识本身，实现素养扎根。
1.感悟转化策略
转化可以把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉的、规范甚至模式化的、简单的问题。首先，是转化标准的确认。三角形是最简单的多边形，是多边形内角和的学习起点，其他多边形都可以分割成若干个三角形，如果以“三角形的内角和180°”作为计量标准，分割的方式虽然不一样，但是每一种对应方式的结果是唯一的、简洁的。显然，这样的“化整为零”暗含了转化方向。其次，是转化数量的计量。每一种分割都对应一种探索路径，产生一个计量模型，但是殊途同归，计量结果一样。显然，这样的“逻辑演绎”抵达了转化实质。最后，是转化价值的体验。与测量、折拼和撕拼相比，分割更符合知识的生长性，更适合问题的复杂性，使学生更容易把握数学探索对象的结构性、整体性和建构性，真正体现转化的魅力，即化繁为简、化未知为已知、化零散为系统。显然，这样的“独特感受”彰显了转化的价值。
2.體验分合思想
“分与合”是一种重要的思想方法，它的特点是用辩证思维看待具体问题，使得问题从“矛盾状态”渐进为“和谐统一”。首先，在调用“三角形的内角和”经验时，需要激活“分与合”的辩证思想，三角形的内角分布在平面上的不同位置，求它们的和，其实就是想方设法将它们合起来，测量是为了合起来，折拼是为了合起来，撕拼更是如此。显然，操作的路径不一样，分合的思想一脉相承。其次，在探索“四边形的内角和”时，学生在分合思想的驱动下，尝试测量、撕合和分割，经过充分比较和优化，选择了分割这种方式，使得问题得以顺利解决，所得结论更具普适性。显然，不适合的是具体方法，并不是方法背后的分合思想。最后，在学以致用中内化思想，其他多边形内角和的探索虽然复杂了，但是有了分合思想这个强有力的武器，一切探索都在自然而然地发生和发展。显然，“分割”的变式操作催生了“分合”的深度体悟，并实现了方法从“用得上”渐进为“带得走”。
综上所述，探索需要从具体方法开始，但是不能止步于“简单运用”;探索需要多种方法的支撑，但是不能局限于“风马不接”;探索需要思想方法的内化，但是不能奢望于“立竿见影”。换个角度来说，探索要想提质增效，必须经历方法的自然迁移、不断优化、寻求勾连和沉淀内化。这是方法表征的基本路径，也是启智生慧的系统工程。学生只有浸润于这样的全过程，才能真正理解方法、使用方法和超越方法，最终实现数学思维能力的提升，数学思维品质的养成。
[本文系江苏省教育科学“十三五”规划重点课题《基于问题链驱动的小学生数学化学习的研究》阶段性成果（课题批准文号：C-b/2020/02/26）。]
（责编 金 铃）
[关键词]方法表征;多边形的内角和;探索规律
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）11-0007-03
“多边形的内角和”是苏教版教材四年级下册 “探索规律”的专题活动，属于“图形与几何”板块中的一次探索之旅。从知识维度考量，学生已经认识了一些简单的平面图形及其特征，知道了它们内角和的具体度数，如三角形的内角和是180°;从方法维度考量，学生已经学会了一些探索平面图形的内角和的方法，如测量、折拼等。但知识的简单累加并不能引发数学思维的自然灵动，方法的机械调用也不能驱动数学思想的体悟内化。因此，教学如果仅仅从多边形的一个顶点出发，将多边形分割成独立的三角形，看似学生找到了“捷径”，学会了求“多边形的内角和”，实则远离了“素养”，学生没有真正、真实和真切地体验到方法的迁移、优化、勾连和沉淀。
一、方法迁移：让探索“自然生长”
方法迁移是指先在特定领域积极开发解决问题的办法，然后直接运用到相同领域或跨界运用到不同领域，以驱动探索活动的自然对接和有效达成。在此过程中，不变量或相似性的确认是教学核心，度量准则的建立则是教学关键。
1.概念自然迁移
教材首先通过“三角形3个内角的和是180°，四边形、五边形、六边形等多边形的内角和呢？”激活学生对图形“内角和”的认知迁移。这个环节主要解决两个问题，一是确认“多边形的内角在哪里”，通过回忆三角形的特征，明确三角形有3个顶点、3条边和3个角，所谓三角形的内角，其实就是从一个顶点引出的两条边的夹角，紧接着可以迅速类比其他多边形，并在此基础上明确几边形就有几个内角，感知多边形的顶点、边和角之间数量的对应关系;二是确认“多边形的内角和是什么”，三角形的内角和是把3个内角相加，“依葫芦画瓢”，四边形的内角和就是把4个内角相加，五边形的内角和就是把5个内角相加……几边形的内角和就是把几个内角相加。显然，这两个问题的顺利解决，有助于明确和凸显探索对象。
2.方法悄然生长
教材通过设问“你能想办法求出上面四边形4个内角的和吗？”，激活了学生对图形“内角和”算法的迁移。应该说，测量、折拼等基本方法既适用于推算三角形的内角和，也适用于其他多边形的内角和的推算。因为，从本质上来讲，求和运算就是把内角一个一个地加起来。比如，计算直角梯形的内角和时，可以先展示基本方法，一是计算90° 90° 40° 140°=360°，二是撕开后拼成一个角，结果也是360°，然后通过“在此之前，我们已经知道一个三角形的内角和是180°，也知道梯形可以分割成两个三角形，你能顺着这个思路快速求出梯形的内角和吗？”鼓励学生换個角度思考问题。当分割完梯形内角之后，要求学生着重思辨“两个三角形的内角和为什么恰好等于梯形的内角和？”，引导学生发现“梯形的内角总和并没有发生变化，只是重新分割和组合成两个三角形的内角”。就这样，在旧知调用和新知探索中，在静态描述和动态展示中，在总和不变和组合变化中，学生初步感受到方法的自然迁移和生长。
可以看出，因为多边形的内在结构相似，所以“内角”与“内角和”的确认一脉相承，又因为求和操作的算理本质不变，所以“分割”与“组合”形式虽有不同，但内在理念相通。就这样，探索靠船下篙，认知拾级而上，解决问题的办法顺利螺旋上升和悄然换代更迭。
二、方法优化：让探索“取长补短”
方法多样演绎了探索氛围的生态和探索过程的生动。但是，从方法多样到方法优化，需要进行全方位的比较，以考量方法的基础性、适用性和普及性。换个角度来说，探索既要重视方法的“必要优化”，又要避免方法的“简单强化”。
1.重视必要优化
探索一定要重视方法的“必要优化”。就本节课而言，求“多变形的内角和”主要出现了四种方法，即测量、折拼、撕拼和分割。第一次优化发生在三角形和四边形之间，因为图形结构发生变化，折拼不再方便，测量误差变大，只有撕拼还能勉强凑合;第二次优化发生在四边形内部，先将四边形分割成两个独立的三角形，以“三角形的内角和”为一倍量，四边形的内角和就包含这样的两倍量，有效避免了测量误差和撕拼麻烦;第三次优化发生在多边形内部，以五边形为例，分三种情况来讨论：一是从图形顶点出发，以顺次连接其他顶点得到的线段来分割（如图1）;二是从图形边上的任意点（不含端点）出发，以顺次连接其他顶点得到的线段来分割（如图2）;三是从图形内部的任意一点出发，以顺次连接所有顶点得到的线段来分割（如图3）。比较后发现，第一种情况分割得最少，画图过程简洁，计算方便。
2.避免简单强化
探索一定要避免方法的“简单强化”。对于多边形的内角和而言，测量方法适用于简单的、特殊的图形（正多边形），复杂的、普通的图形测量工作量大且误差多。折拼和撕拼适用于具体的图形，比如三角形和四边形，不太适合其他图形。 通过“把五边形、六边形各分成几个三角形后，就能方便地算出它们的内角和吗？分一分，算一算。”“其他多边形也可以像这样分成几个三角形来计算内角和吗？小组合作，任意画出一些多边形，试一试。”可充分突显本课的探索导向，即分割的方法。但是，需要指明的是，教学不应“单刀直入”，直接传输分割的方法，也不能对分割的“另类作品”视而不见。因为没有充分对比，思维优化是不可能发生的。
可以看出，方法优化并不是“一刀切”、“一言堂”和“一锤定音”，而是要引导学生深度参与探索过程，用“取长补短”的视角分析方法的优势与不足，感受方法的阶段侧重和价值取向，以便更好地凸显探索主线。 三、方法勾连：让探索“求同存异”
探索的重点不在于结论的完备，而在于探索的过程是否能引发学生的猜想、联系、验证等思维活动。事实上，充分经历的过程体验，容易催生点状分布事实的内在勾连，助推零散思考的有机架构，做到方法的兼容并蓄和求同存异。
1.同构中的勾连
方法勾连发生在同构情境中，分两个层次进行。第一层次侧重勾连的准备，学生根据活动要求和图1的示范，以此类推，将多边形进行分割，然后数出独立的三角形个数，再结合标准量“三角形的内角和是180°”，快速算出各多边形的内角和，并一一有序地填入表格中。在填表之前，探索关注的是具体图形，它们彼此独立，互不相干，但是为后续联系提供了必要数据（如表1）。第二层次侧重勾连的实质，通过“观察表中的数据，你有什么发现？”的设问，驱动学生聚焦具体数据，挖掘数据背后的共性，比如“可以把多边形分成若干个三角形，计算它的内角和。”“分成的三角形个数都比多边形的边数少2。”“分成了几个三角形，多边形的内角和就有几个180°。”再通过“你能用一个式子表示多边形内角和的计算方法吗？”的追问，将探索推向高潮。最终，在变与不变的思辨中，建构了“多边形的内角和=（边数-2）×180°”的计算模型。
2.异构中的勾连
方法勾连发生在异构情境中，也分两个层次进行。第一层次侧重模型展示，除了基于图1建构计算模型之外，还引导学生进一步探索，比如基于图2的模型建构，先算单个多边形的内角和，接着模仿表1填入具体数据，发现“分成的三角形个数都比多边形的边数少1。”“可以把多边形分成若干个三角形，计算它的内角和时要减去一个平角180°。”等，最后顺势建构“多边形的内角和=（边数-1）×180°-180°”。基于图3的模型建构，探索过程相同，但建构的却是“多边形的内角和=边数×180°-360°”。第二层次侧重模型勾连，结合图形特点和不同分法，联系之前学过的运算律，学生能够基本弄清三者之间的联系，得到“多边形的内角和=（边数-2）×180°=（边数-1）×180°-180°=边数×180°-360°”的基本事实。
可以看出，发生在同构情境的方法勾连，需要厚积薄发，建构数学模型，但拒绝急功近利，一心只想“捷径”;发生在异构情境的方法勾连，需要适当变式，确认内在联系，但不能忽略学情，一味追求“通透”。因为学生需要的、能接受的，才是探索的着力点。
四、方法沉淀：让探索“落地生根”
数学思想贯穿于探索活动，对具体的、局部的方法具有取舍、组合和调节的作用。数学方法是指解决数学问题时所采用的方式、途径和手段，它是数学思想的具体化表现。有方法、有思想的探索活动能够超越知识本身，实现素养扎根。
1.感悟转化策略
转化可以把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉的、规范甚至模式化的、简单的问题。首先，是转化标准的确认。三角形是最简单的多边形，是多边形内角和的学习起点，其他多边形都可以分割成若干个三角形，如果以“三角形的内角和180°”作为计量标准，分割的方式虽然不一样，但是每一种对应方式的结果是唯一的、简洁的。显然，这样的“化整为零”暗含了转化方向。其次，是转化数量的计量。每一种分割都对应一种探索路径，产生一个计量模型，但是殊途同归，计量结果一样。显然，这样的“逻辑演绎”抵达了转化实质。最后，是转化价值的体验。与测量、折拼和撕拼相比，分割更符合知识的生长性，更适合问题的复杂性，使学生更容易把握数学探索对象的结构性、整体性和建构性，真正体现转化的魅力，即化繁为简、化未知为已知、化零散为系统。显然，这样的“独特感受”彰显了转化的价值。
2.體验分合思想
“分与合”是一种重要的思想方法，它的特点是用辩证思维看待具体问题，使得问题从“矛盾状态”渐进为“和谐统一”。首先，在调用“三角形的内角和”经验时，需要激活“分与合”的辩证思想，三角形的内角分布在平面上的不同位置，求它们的和，其实就是想方设法将它们合起来，测量是为了合起来，折拼是为了合起来，撕拼更是如此。显然，操作的路径不一样，分合的思想一脉相承。其次，在探索“四边形的内角和”时，学生在分合思想的驱动下，尝试测量、撕合和分割，经过充分比较和优化，选择了分割这种方式，使得问题得以顺利解决，所得结论更具普适性。显然，不适合的是具体方法，并不是方法背后的分合思想。最后，在学以致用中内化思想，其他多边形内角和的探索虽然复杂了，但是有了分合思想这个强有力的武器，一切探索都在自然而然地发生和发展。显然，“分割”的变式操作催生了“分合”的深度体悟，并实现了方法从“用得上”渐进为“带得走”。
综上所述，探索需要从具体方法开始，但是不能止步于“简单运用”;探索需要多种方法的支撑，但是不能局限于“风马不接”;探索需要思想方法的内化，但是不能奢望于“立竿见影”。换个角度来说，探索要想提质增效，必须经历方法的自然迁移、不断优化、寻求勾连和沉淀内化。这是方法表征的基本路径，也是启智生慧的系统工程。学生只有浸润于这样的全过程，才能真正理解方法、使用方法和超越方法，最终实现数学思维能力的提升，数学思维品质的养成。
[本文系江苏省教育科学“十三五”规划重点课题《基于问题链驱动的小学生数学化学习的研究》阶段性成果（课题批准文号：C-b/2020/02/26）。]
（责编 金 铃）