论文部分内容阅读
【摘要】思维能力是智力的核心。数学教学要注重学生思维能力的培养。本文力图通过一些初中数学教学案例来阐述培养学生思维能力的方法和途径。
【关键词】数学教学；思维能力；数学思想方法
数学是思维的体操，学习数学的过程是培养学生思维能力的过程。培养学生的思维能力是数学教学的一项基本任务。如何在数学教学中培养学生的思维能力呢？下面本人结合自己多年的初中数学教学教研实践，浅谈一些培养学生思维能力的方法与途径，与广大同仁探讨。
1.激发兴趣，培养学生思维 “兴趣是最好的老师，是学习的重要动力”。 教学中激发学生的学习兴趣是培养学生思维能力的前提。学生只要对其学习的内容产生了浓厚兴趣，就会全神贯注地学习、探究，也就能积极思维。兴趣能激发思维，兴趣能创造灵感。古今中外许多数学家，如华罗庚、陈景润、牛顿、欧拉、高斯等，他们在数学上取得了惊人成就，无不与他们对数学有浓厚兴趣有关。
在初中数学教学中，怎样来激发学生的学习兴趣，培养学生的思维能力呢？我认为可以从以下三个方面入手：
1.1 鼓励学生，培养思维情感 思维既需要智力的参与，也离不开情感的支持。教学过程不仅是师生之间认知信息的交流，也是师生之间情感的交流。教学需要教师真挚情感的灌注。在数学教学中，教师要关爱学生，鼓励学生，要用真情去启发引导学生。例如，我在组织数学课堂教学时，总爱用亲切的目光去注视学生，用肯定的话语去表扬学生，耐心听取学生所表达的见解。我允许学生在课堂上出错，鼓励学生“打破沙锅问到底”。这样，学生便能在情感上亲近老师，从而喜欢数学，在心态上能积极向上，积极思维。
1.2 创设情境，激发学生积极思考建构主义学习理论认为，数学学习总是与一定的知识背景（即情境）相联系的。学生的实际生活情景是丰富多彩、趣味盎然的。数学教学中通过创设问题情境，一方面可以充分激发学生的学习兴趣。另一方面可以使学生利用已有知识“同化”和“索引”出当前要学习的新知识，并促成对新知识的建构，从而发展学生的思维能力。例如，在教学“直线和圆的位置关系”时，我们可以创设情境：用多媒体展示太阳从地平线上升起的情境，接着老师引导学生将太阳看做圆，将地平线看做直线，思考直线和圆有几种位置关系？各有什么特点？这样，学生激情高涨，自觉地思考问题，不知不觉中完成新知识的构建。
1.3 开展活动，让思维之花开在手上。现代教学理论认为，数学教学过程是学生开展数学活动的过程。教学中教师要带领学生开展丰富多彩的数学活动，指导学生在活动中思考，让思维之花开在学生的手上。例如，在定理“三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”的教学中，我们可让学生充分动手做实验。事先准备一些大小不等的三角形，测量出每个三角形的三边长，然后分析所测数据，小组讨论，归纳发现定理中的不等关系。在证明这个定理时，可设置如上图所示的数学活动：从A地到B地有如图所示的三条路线，思考讨论走哪条路最近呢？为什么？学生通过数学活动或根据已学的知识很容易得出走第③条路最近。从而利用线段公理“两点之间，线段最短”证明了上述定理。通过数学活动与数学思考，学生建立了两个定理之间的联系，培养了思维能力。
2.循循善诱，启迪学生思维 数学学习重在课堂，学生思维能力培养的主阵地也在课堂。教师必须把握好课堂教学的45分钟，精心组织课堂教学，在课堂教学的每一个环节循循善诱，启迪学生思维。在新的教学理念下，数学课堂教学启迪学生的思维应注意如下三个方面：
2.1 注重知识，也注重知识的形成发展过程。新课程标准既强调数学知识，也强调数学知识的形成发展过程。在概念、公式、定理、性质、判定的教学中，不光要求学生掌握知识、运用知识，同时要求学生经历知识产生与形成的过程。所以在教学中我们要让学生充分经历这一过程，在过程中启迪学生思维。
例如，在“一元二次方程根与系数的关系”的教学中，我们可以先给出特例方程，让学生根据已学的知识求出方程的两根x1、x2，并计算两根之和（x1+x2）和两根之积（x1x2）。找出所给每个方程的各项系数a、b、c，计算出-ba和ca的值。填写下表：
将-ba和ca的值与x1+x2和x1x2的值进行分析比较，学生应该能归纳发现一元二次方程根与系数的关系：x1+x2= ；x1x2=ca。最后教师再引导学生利用求根公式加以证明。这样，学生经历了定理的探究过程，在探究中思考，发现规律并证明规律，启迪了思维。
2.2 注重学生的思维，也注重揭示学生的思维过程。思维是大脑皮层的运动，属于高级心理活动，是看不见摸不着的。教师要想全面了解学生的思维过程，就要努力使学生的思维外化，要让学生展示自己的思维过程。因此，在数学教学中，一方面，我们要充分以学生为主体，注重学生的思维，让学生积极思考。另一方面，我们也要充分发挥教师的主导作用，及时引导，引导学生展示自己的思维过程。教师可以多问学生几个问题，多提几个为什么？例如问问学生“你是怎么想的？”，“你为什么这样想？”，“你有什么发现？”，“你认为你的发现正确吗？你打算怎样来证明你的发现？”。通过学生对问题的回答，教师便能大致了解学生的思维轨迹。
例如，在“圆周角”的教学中，学生通过数学活动猜想了结论：“同弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半”。教师为了进一步了解学生的思维过程，此时老师可以提问：
（1）这个猜想你是怎样得出来的？
（2）你打算怎样证明你的猜想？
（3）圆中圆周角与圆心的位置有几种不同情况？针对各种不同情况，你的猜想都正确吗？你能分别给出证明吗？
（4）今后遇到类似的情况，你会想到分类讨论吗？
这样，教师通过问题引领揭示了学生的思维过程，了解了学生的思维缺陷，便能做到有的放矢，有针对性地指导，从而提高学生的思维水平。
2.3 重视解题，更重视解题的方法。数学教学离不开解题。知识在解题中得到运用，解题体现了知识的应用价值。解题有一定的方式方法。有的试题一题有多种解法，殊途同归。有的试题解法巧妙，需要我们细心体会。有的试题可以一题多变，多个题目其解法类似，需要我们进行总结归纳。在数学教学中我们要处理好数学解题与解题方法的关系。教师不能一味地要求学生解题，钻题海，也不能只讲解题方法，不让学生练习，让解题方法成为无本之末，而要将两者有机地统一起来，既重视解题，更重视解题的方法。 例如，在讲解例题“求证等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”时，我们可以先让学生取特例，当这一点在正三角形的某条边上（甚至在正三角形的顶点上），它到三边的距离之和为等边三角形的高。由此发现这里的定值即为等边三角形的高。再让学生借助图形探究，给出证明，教师及时总结出用面积法证明的方法和思路，写出证明过程。最后教师再把例题进行改编：“当这一点在等边三角形的外部时，我们用同样的方法能得出怎样的结论？”学生用新掌握的解题方法再进行解题尝试，进一步体验成功的乐趣。
常言道：“授人以鱼，不如授之以渔。”学生掌握了正确的解题方法，就能举一反三，触类旁通。解题方法能让学生终身受益。
3.教给数学思想方法，提升学生思维 初中数学中存在许多数学思想方法，它是数学的灵魂。在数学教学中我们应该重视这些思想方法，要有目的、有计划地训练学生这些数学思想方法，提升学生思维能力。
3.1 转化化归。转化化归是初中数学常用的思想方法。数学知识间联系极为密切，许多新问题经过转化通常可归结为我们已经了解的问题。某些很难解决的问题通过转化就能化归为一个较容易研究的问题。“转化化归”对解决新问题是大有益处的，是我们应该着重培养的数学思维方法。例如，在教学“解二元一次方程组”时，由于学生已学会了一元一次方程的解法，所以解二元一次方程组的基本思路就是通过消元（代入消元或加减消元），将其转化为一元一次方程来求解。学生掌握了这种思维方法，当学习三元一次方程组时，就很容易想到将其转化为二元一次方程组，再将其转化为一元一次方程去求解。以后学习分式方程、无理方程时，学生就不会感到陌生。因为虽然问题变了，但万变不离其宗，都是把它们转化为已经研究过的方程或方程组去求解。有了这样清晰的思路，在解题时，学生就不会把问题孤立起来，不会一筹莫展，找不到解决问题办法。
3.2 数形结合。思维可分为形象思维和抽象思维。数学教学中主要培养的是学生的抽象思维能力。初中学生正处于形象思维向抽象思维的过渡阶段，其抽象思维能力明显不足，往往需要借助形象思维做辅助。所以在数学教学中对一些难以理解的概念、定理、法则，我们要尽可能让它形象化。数形结合是较好的数学思想方法。例如，在“绝对值”的教学中，我们可充分借助数轴，利用数轴来形象地理解绝对值的概念。在“函数”的教学中，我们可借助平面直角坐标系，画出函数的图象，利用图象来直观地分析问题、解答问题。在“统计”的教学中，我们既要重视图表的直观，又要重视特征值的精准。要求学生既能看懂统计图、统计表，能从图表中获取有效信息，还会计算某些特征值，能利用特征值对数据进行分析。两者结合，使学生养成定性分析与定量分析相结合的科学分析习惯。
3.3 数学建模。新课标强调数学建模，要求学生经历问题情境——数学建模——解释模型——拓展应用的学习过程。数学模型是我们分析问题、解决问题的有效手段。在数学教学中，教师要引导学生分析问题，帮助学生建立正确的数学模型。例如，在“应用题”的教学中，常见的模型有不等式模型、方程（组）模型、函数模型。方程（组）模型又分一次方程（组），一元二次方程和分式方程。函数模型又分一次函数、二次函数和反比例函数。我们要理解它们之间的区别和联系，仔细分析题意，建立恰当的模型来解决实际问题。
3.4 分类讨论。思维有广度与深度之分。思维的广度是指思维的广阔性，即思路是否开阔。思维的深度是指思维的深刻性与严密性。数学中存在大量的分类讨论试题，它能锻炼学生思维的深刻性与严密性，提高学生思维的深度。
例如，在“二次根式a2化简”的教学中，当学生理解了a是非负数的本质属性后，教师应引导学生分析a2≠a，而应该等于|a|。再分类讨论，当a>0时，a2=a；当a=0时，a2=0；当a<0时，a2=-a。
再如，学生在解答试题：“已知方程 有且仅有一个实根，求 的范围。”时常用下面的解法：
解：∵方程ax2+2x+1=0有且仅有一个实根
∴△=22-4a=0
∴ =1
学生之所以犯这种错误，是因为思维不够严密，对方程的二次项系数a考虑不周。本题应该进行分类讨论，当a≠0时，方程为一元二次方程，有上面的解法。当a=0时，方程为一元一次方程，也只有一个实根，符合题意。故此题的正确答案是a=0或a=1。
3.5 类比归纳。类比归纳是探究问题，发现结论的一种重要思维方式，是创造性思维。21世纪，我们要培养创新型人才，要发展学生的创造性思维，就必须培养学生的类比推理能力、归纳推理能力。例如，在“分式运算”的教学中，教师可引导学生运用类比的数学思想方法。类比分数的四则运算法则得出分式的四则运算法则。在“一次函数y=kx+b”的教学中，我们可引导学生运用控制变量探究归纳的数学思想方法。先确定b的值，研究当k取不同值（k>0、k<0）时，一次函数y=kx+b的图象和性质，归纳出k对一次函数y=kx+b的影响。再确定k的值，研究当b取不同值（b>0、b=0、b<0）时，一次函数y=kx+b的图象和性质，归纳出b对一次函数y=kx+b的影响。从而总结归纳出一次函数y=kx+b的图象和性质。
4.广泛阅读，拓展学生思维 思维是智力活动，必须以知识做基础。要想增加思维的广度，使学生思路开阔，就必须让学生广泛阅读，增加知识储备，拓宽视野。所以，数学学习离不开阅读，数学教学必须重视阅读。数学教学应将阅读引入课堂，将阅读纳入到数学课堂教学的基本环节中去。教师引导学生在阅读教材的过程中积极思维，对教材中提供的“原材料”主动进行逻辑推理。学生通过“阅读思考”发现与课文相同或相似的结论，从而体验作为“发现者”的成就感，提高思维能力。例如在教学“中位数、众数”的概念时，我们可根据教材的重点和难点，设计如下阅读思考题，引导学生阅读教材：（1）何谓一组数据的中位数，何谓一组数据的众数？（2）怎样求一组数据的中位数和众数？（3）中位数和众数有何区别？有何联系？（4）平均数、中位数和众数都是反映数据集中趋势的量，在实际问题中我们选用的标准是什么？这样，学生带着问题主动去阅读教材，积极思考，能更好地理解知识，提高阅读理解能力。
课堂教学的时间毕竟是有限的，课外阅读可弥补课堂教学的不足。所以数学学习要注重学生的课外阅读。学生通过课外阅读，获取大量的知识，掌握更多的解题方法。有了知识储备，学生便能在大脑中进行比较分析，择优选用，去伪存真。这样，学生开阔了视野，拓展了思维空间。
数学教学还要注重数学学科与其它学科的横向联系，使学生的思维从多方面、多层次地向外扩散，促进学生思维的流畅性。例如讲解函数的有关概念可与物理公式、物理图象结合起来；讲解分式方程可引入公式变形；讲解轴对称可引入镜面成像。这样，既激发了学生的学习兴趣，又提高了学生的思维能力。
综上所述，培养学生的思维能力是数学教学的重要任务。学生的思维能力既与学生的智力因素相关，也与学生的情感因素相关。在数学教学中，我们要充分激发学生的学习兴趣，让学生以积极的心态去思考问题。要关注课堂内外。在课堂上，教师要精心组织课堂教学，注重知识的形成发展过程，注重数学思想方法的渗透，注重总结解题方法，循循善诱，启迪学生思维。在课外，要引导学生广泛阅读，增加知识储备，拓展思维空间。同时，我们还要深刻地认识到培养学生的思维能力是一项长期的、细致的工作。不可能凭借一两次课或几个例题的讲解就能达到，也不能依靠生硬的说教，而应当结合学生的年龄特征，结合教学的内容自然而然、潜移默化地进行。这样才能真正达到“润物细无声”的境界。
【关键词】数学教学；思维能力；数学思想方法
数学是思维的体操，学习数学的过程是培养学生思维能力的过程。培养学生的思维能力是数学教学的一项基本任务。如何在数学教学中培养学生的思维能力呢？下面本人结合自己多年的初中数学教学教研实践，浅谈一些培养学生思维能力的方法与途径，与广大同仁探讨。
1.激发兴趣，培养学生思维 “兴趣是最好的老师，是学习的重要动力”。 教学中激发学生的学习兴趣是培养学生思维能力的前提。学生只要对其学习的内容产生了浓厚兴趣，就会全神贯注地学习、探究，也就能积极思维。兴趣能激发思维，兴趣能创造灵感。古今中外许多数学家，如华罗庚、陈景润、牛顿、欧拉、高斯等，他们在数学上取得了惊人成就，无不与他们对数学有浓厚兴趣有关。
在初中数学教学中，怎样来激发学生的学习兴趣，培养学生的思维能力呢？我认为可以从以下三个方面入手：
1.1 鼓励学生，培养思维情感 思维既需要智力的参与，也离不开情感的支持。教学过程不仅是师生之间认知信息的交流，也是师生之间情感的交流。教学需要教师真挚情感的灌注。在数学教学中，教师要关爱学生，鼓励学生，要用真情去启发引导学生。例如，我在组织数学课堂教学时，总爱用亲切的目光去注视学生，用肯定的话语去表扬学生，耐心听取学生所表达的见解。我允许学生在课堂上出错，鼓励学生“打破沙锅问到底”。这样，学生便能在情感上亲近老师，从而喜欢数学，在心态上能积极向上，积极思维。
1.2 创设情境，激发学生积极思考建构主义学习理论认为，数学学习总是与一定的知识背景（即情境）相联系的。学生的实际生活情景是丰富多彩、趣味盎然的。数学教学中通过创设问题情境，一方面可以充分激发学生的学习兴趣。另一方面可以使学生利用已有知识“同化”和“索引”出当前要学习的新知识，并促成对新知识的建构，从而发展学生的思维能力。例如，在教学“直线和圆的位置关系”时，我们可以创设情境：用多媒体展示太阳从地平线上升起的情境，接着老师引导学生将太阳看做圆，将地平线看做直线，思考直线和圆有几种位置关系？各有什么特点？这样，学生激情高涨，自觉地思考问题，不知不觉中完成新知识的构建。
1.3 开展活动，让思维之花开在手上。现代教学理论认为，数学教学过程是学生开展数学活动的过程。教学中教师要带领学生开展丰富多彩的数学活动，指导学生在活动中思考，让思维之花开在学生的手上。例如，在定理“三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”的教学中，我们可让学生充分动手做实验。事先准备一些大小不等的三角形，测量出每个三角形的三边长，然后分析所测数据，小组讨论，归纳发现定理中的不等关系。在证明这个定理时，可设置如上图所示的数学活动：从A地到B地有如图所示的三条路线，思考讨论走哪条路最近呢？为什么？学生通过数学活动或根据已学的知识很容易得出走第③条路最近。从而利用线段公理“两点之间，线段最短”证明了上述定理。通过数学活动与数学思考，学生建立了两个定理之间的联系，培养了思维能力。
2.循循善诱，启迪学生思维 数学学习重在课堂，学生思维能力培养的主阵地也在课堂。教师必须把握好课堂教学的45分钟，精心组织课堂教学，在课堂教学的每一个环节循循善诱，启迪学生思维。在新的教学理念下，数学课堂教学启迪学生的思维应注意如下三个方面：
2.1 注重知识，也注重知识的形成发展过程。新课程标准既强调数学知识，也强调数学知识的形成发展过程。在概念、公式、定理、性质、判定的教学中，不光要求学生掌握知识、运用知识，同时要求学生经历知识产生与形成的过程。所以在教学中我们要让学生充分经历这一过程，在过程中启迪学生思维。
例如，在“一元二次方程根与系数的关系”的教学中，我们可以先给出特例方程，让学生根据已学的知识求出方程的两根x1、x2，并计算两根之和（x1+x2）和两根之积（x1x2）。找出所给每个方程的各项系数a、b、c，计算出-ba和ca的值。填写下表：
将-ba和ca的值与x1+x2和x1x2的值进行分析比较，学生应该能归纳发现一元二次方程根与系数的关系：x1+x2= ；x1x2=ca。最后教师再引导学生利用求根公式加以证明。这样，学生经历了定理的探究过程，在探究中思考，发现规律并证明规律，启迪了思维。
2.2 注重学生的思维，也注重揭示学生的思维过程。思维是大脑皮层的运动，属于高级心理活动，是看不见摸不着的。教师要想全面了解学生的思维过程，就要努力使学生的思维外化，要让学生展示自己的思维过程。因此，在数学教学中，一方面，我们要充分以学生为主体，注重学生的思维，让学生积极思考。另一方面，我们也要充分发挥教师的主导作用，及时引导，引导学生展示自己的思维过程。教师可以多问学生几个问题，多提几个为什么？例如问问学生“你是怎么想的？”，“你为什么这样想？”，“你有什么发现？”，“你认为你的发现正确吗？你打算怎样来证明你的发现？”。通过学生对问题的回答，教师便能大致了解学生的思维轨迹。
例如，在“圆周角”的教学中，学生通过数学活动猜想了结论：“同弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半”。教师为了进一步了解学生的思维过程，此时老师可以提问：
（1）这个猜想你是怎样得出来的？
（2）你打算怎样证明你的猜想？
（3）圆中圆周角与圆心的位置有几种不同情况？针对各种不同情况，你的猜想都正确吗？你能分别给出证明吗？
（4）今后遇到类似的情况，你会想到分类讨论吗？
这样，教师通过问题引领揭示了学生的思维过程，了解了学生的思维缺陷，便能做到有的放矢，有针对性地指导，从而提高学生的思维水平。
2.3 重视解题，更重视解题的方法。数学教学离不开解题。知识在解题中得到运用，解题体现了知识的应用价值。解题有一定的方式方法。有的试题一题有多种解法，殊途同归。有的试题解法巧妙，需要我们细心体会。有的试题可以一题多变，多个题目其解法类似，需要我们进行总结归纳。在数学教学中我们要处理好数学解题与解题方法的关系。教师不能一味地要求学生解题，钻题海，也不能只讲解题方法，不让学生练习，让解题方法成为无本之末，而要将两者有机地统一起来，既重视解题，更重视解题的方法。 例如，在讲解例题“求证等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”时，我们可以先让学生取特例，当这一点在正三角形的某条边上（甚至在正三角形的顶点上），它到三边的距离之和为等边三角形的高。由此发现这里的定值即为等边三角形的高。再让学生借助图形探究，给出证明，教师及时总结出用面积法证明的方法和思路，写出证明过程。最后教师再把例题进行改编：“当这一点在等边三角形的外部时，我们用同样的方法能得出怎样的结论？”学生用新掌握的解题方法再进行解题尝试，进一步体验成功的乐趣。
常言道：“授人以鱼，不如授之以渔。”学生掌握了正确的解题方法，就能举一反三，触类旁通。解题方法能让学生终身受益。
3.教给数学思想方法，提升学生思维 初中数学中存在许多数学思想方法，它是数学的灵魂。在数学教学中我们应该重视这些思想方法，要有目的、有计划地训练学生这些数学思想方法，提升学生思维能力。
3.1 转化化归。转化化归是初中数学常用的思想方法。数学知识间联系极为密切，许多新问题经过转化通常可归结为我们已经了解的问题。某些很难解决的问题通过转化就能化归为一个较容易研究的问题。“转化化归”对解决新问题是大有益处的，是我们应该着重培养的数学思维方法。例如，在教学“解二元一次方程组”时，由于学生已学会了一元一次方程的解法，所以解二元一次方程组的基本思路就是通过消元（代入消元或加减消元），将其转化为一元一次方程来求解。学生掌握了这种思维方法，当学习三元一次方程组时，就很容易想到将其转化为二元一次方程组，再将其转化为一元一次方程去求解。以后学习分式方程、无理方程时，学生就不会感到陌生。因为虽然问题变了，但万变不离其宗，都是把它们转化为已经研究过的方程或方程组去求解。有了这样清晰的思路，在解题时，学生就不会把问题孤立起来，不会一筹莫展，找不到解决问题办法。
3.2 数形结合。思维可分为形象思维和抽象思维。数学教学中主要培养的是学生的抽象思维能力。初中学生正处于形象思维向抽象思维的过渡阶段，其抽象思维能力明显不足，往往需要借助形象思维做辅助。所以在数学教学中对一些难以理解的概念、定理、法则，我们要尽可能让它形象化。数形结合是较好的数学思想方法。例如，在“绝对值”的教学中，我们可充分借助数轴，利用数轴来形象地理解绝对值的概念。在“函数”的教学中，我们可借助平面直角坐标系，画出函数的图象，利用图象来直观地分析问题、解答问题。在“统计”的教学中，我们既要重视图表的直观，又要重视特征值的精准。要求学生既能看懂统计图、统计表，能从图表中获取有效信息，还会计算某些特征值，能利用特征值对数据进行分析。两者结合，使学生养成定性分析与定量分析相结合的科学分析习惯。
3.3 数学建模。新课标强调数学建模，要求学生经历问题情境——数学建模——解释模型——拓展应用的学习过程。数学模型是我们分析问题、解决问题的有效手段。在数学教学中，教师要引导学生分析问题，帮助学生建立正确的数学模型。例如，在“应用题”的教学中，常见的模型有不等式模型、方程（组）模型、函数模型。方程（组）模型又分一次方程（组），一元二次方程和分式方程。函数模型又分一次函数、二次函数和反比例函数。我们要理解它们之间的区别和联系，仔细分析题意，建立恰当的模型来解决实际问题。
3.4 分类讨论。思维有广度与深度之分。思维的广度是指思维的广阔性，即思路是否开阔。思维的深度是指思维的深刻性与严密性。数学中存在大量的分类讨论试题，它能锻炼学生思维的深刻性与严密性，提高学生思维的深度。
例如，在“二次根式a2化简”的教学中，当学生理解了a是非负数的本质属性后，教师应引导学生分析a2≠a，而应该等于|a|。再分类讨论，当a>0时，a2=a；当a=0时，a2=0；当a<0时，a2=-a。
再如，学生在解答试题：“已知方程 有且仅有一个实根，求 的范围。”时常用下面的解法：
解：∵方程ax2+2x+1=0有且仅有一个实根
∴△=22-4a=0
∴ =1
学生之所以犯这种错误，是因为思维不够严密，对方程的二次项系数a考虑不周。本题应该进行分类讨论，当a≠0时，方程为一元二次方程，有上面的解法。当a=0时，方程为一元一次方程，也只有一个实根，符合题意。故此题的正确答案是a=0或a=1。
3.5 类比归纳。类比归纳是探究问题，发现结论的一种重要思维方式，是创造性思维。21世纪，我们要培养创新型人才，要发展学生的创造性思维，就必须培养学生的类比推理能力、归纳推理能力。例如，在“分式运算”的教学中，教师可引导学生运用类比的数学思想方法。类比分数的四则运算法则得出分式的四则运算法则。在“一次函数y=kx+b”的教学中，我们可引导学生运用控制变量探究归纳的数学思想方法。先确定b的值，研究当k取不同值（k>0、k<0）时，一次函数y=kx+b的图象和性质，归纳出k对一次函数y=kx+b的影响。再确定k的值，研究当b取不同值（b>0、b=0、b<0）时，一次函数y=kx+b的图象和性质，归纳出b对一次函数y=kx+b的影响。从而总结归纳出一次函数y=kx+b的图象和性质。
4.广泛阅读，拓展学生思维 思维是智力活动，必须以知识做基础。要想增加思维的广度，使学生思路开阔，就必须让学生广泛阅读，增加知识储备，拓宽视野。所以，数学学习离不开阅读，数学教学必须重视阅读。数学教学应将阅读引入课堂，将阅读纳入到数学课堂教学的基本环节中去。教师引导学生在阅读教材的过程中积极思维，对教材中提供的“原材料”主动进行逻辑推理。学生通过“阅读思考”发现与课文相同或相似的结论，从而体验作为“发现者”的成就感，提高思维能力。例如在教学“中位数、众数”的概念时，我们可根据教材的重点和难点，设计如下阅读思考题，引导学生阅读教材：（1）何谓一组数据的中位数，何谓一组数据的众数？（2）怎样求一组数据的中位数和众数？（3）中位数和众数有何区别？有何联系？（4）平均数、中位数和众数都是反映数据集中趋势的量，在实际问题中我们选用的标准是什么？这样，学生带着问题主动去阅读教材，积极思考，能更好地理解知识，提高阅读理解能力。
课堂教学的时间毕竟是有限的，课外阅读可弥补课堂教学的不足。所以数学学习要注重学生的课外阅读。学生通过课外阅读，获取大量的知识，掌握更多的解题方法。有了知识储备，学生便能在大脑中进行比较分析，择优选用，去伪存真。这样，学生开阔了视野，拓展了思维空间。
数学教学还要注重数学学科与其它学科的横向联系，使学生的思维从多方面、多层次地向外扩散，促进学生思维的流畅性。例如讲解函数的有关概念可与物理公式、物理图象结合起来；讲解分式方程可引入公式变形；讲解轴对称可引入镜面成像。这样，既激发了学生的学习兴趣，又提高了学生的思维能力。
综上所述，培养学生的思维能力是数学教学的重要任务。学生的思维能力既与学生的智力因素相关，也与学生的情感因素相关。在数学教学中，我们要充分激发学生的学习兴趣，让学生以积极的心态去思考问题。要关注课堂内外。在课堂上，教师要精心组织课堂教学，注重知识的形成发展过程，注重数学思想方法的渗透，注重总结解题方法，循循善诱，启迪学生思维。在课外，要引导学生广泛阅读，增加知识储备，拓展思维空间。同时，我们还要深刻地认识到培养学生的思维能力是一项长期的、细致的工作。不可能凭借一两次课或几个例题的讲解就能达到，也不能依靠生硬的说教，而应当结合学生的年龄特征，结合教学的内容自然而然、潜移默化地进行。这样才能真正达到“润物细无声”的境界。