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【摘 要】文章首先简述了有限元法的基本原理，然后分析了可靠性的基本理论，最后重点探讨了有限元法在岩土工程中的应用
【關键词】有限元；岩土；应用；基本原理
一、前言
有限元法作为一种实用的分析方法，随着高精度单元不断研究出来，有限元计算的精度越来越高，并且在工程实际的各个领域得到了充分的发展和应用。
二、有限元法的基本原理
有限单元法是将连续区域离散为有限个按一定方式相互联结在一起的，它们在节点上相连接，利用在每一个单元内假设的近似函数来分片表示整个解域上的未知场函数，单元内的近似函数由未知场函数与其导数在单元内各个节点的数值或插值函数来表示。把作用在单元上的力等效在节点上；每个单元选择一个位移函数来表示位移分量；按变分原理建立单元节点的力-位移的关系式；然后根据节点平衡把所有的单元关系式集合形成一组代数方程组，此方程组以节点位移为未知量，从而解得各节点位移。而对于土工计算中所利用的有限元法，可以分为总应力法和有效应力法。国际上，1969年，Sandhu和Wilson用有限元法对土体二维固结进行了分析，开创了土工问题有限元法有效应力的先河；在1996年，Clough和Woodward首次用总应力法对土坝的应力应变进行分析；国内，1977年，沈珠江应用有限元对软土地基进行分析。有效应力法区分土体中的有效应力与孔隙水压力，同步考虑土体骨架变形与孔隙水的的渗透的影响，因而相对总应力法，有效应力法更能真实的反映土体的自身特性，能更合理地计算荷载作用下土体的响应，应用的范围也更广。有效应力法包含两种未知量：土体骨架的变形和孔隙水压力。并且在非饱和土计算中，还需要增加一个孔隙水压力。有效应力法是以Biot动力固结方程为计算基础，计算过程较为复杂，计算工作量也比较庞大。土体的总应力有限元法与其他结构有限元分析在理论上没有大的差别，它们主要的差别在材料的本构模型的选择，土体的总应力有限元法认为土体是一种连续介质，这种介质由土颗粒和孔隙水组成，计算中不考虑土颗粒和孔隙水之间的相互关系。在有效应力中，如果令孔隙水压力为0，并且采用与总应力法相同的土性参数，则有效应力和总应力相同，相应的有效应力法就转变为总应力法。因此，总应力法可以看成有效应力法的一个特例。当土体参数采用不排水指标时，总应力法能够计算出来的是加荷瞬间的应力和变形或短期应力和变形，采用排水指标进行的总应力分析则得到的是孔压消散完毕，土体固结完成时的应力和变形结果。在土工问题分析中还经常用到总应力法与太沙基固结理论相结合进行有效应力分析，这种分析方法对于二维和三维渗流是近似的，尤其对于只有一个方向渗水的固结问题最为精确的。
三、可靠性的基本理论
1、可靠性的基本理论
结构的可靠度是指结构在规定的时间内、规定的条件下（正常使用极限状态和承载能力极限状态）完成预定功能的概率。
如结构的基本变量由X1，X2，……，Xn组成，且结构功能Z为基本变量的函数，则结构的功能函数（极限状态函数）可表示为：
Z=g（X）=g（X1，X2，……，Xn）（1）
在概率极限状态设计理论中，极限状态方程为：
g（X1，X2，……，Xn）=0（2）
通常在结构设计中，基本变量X1，X2，……，Xn为随机变量，如果把基本变量归结为结构抗力R和载荷效应S两大类，则结构功能函数可简化为：
Z=R-S（3）
所以在概率极限状态的结构设计中，必须满足下列条件，即：
Z=g（R，S）=R-S≥0（4）
由可靠性理论知，求一个结构的可靠度就是求极限状态函数g（X）≥0的概率，所以利用ANSYS概率分析功能计算出g（X）≥0的概率，就得到了结构的可靠度。
2、ANSYS进行可靠性分析的原理
ANSYS的PDS（ProbabilityDesignSystem）模块是基于确定性有限元计算过程的随机分析模块，PDS模块中进行结构可靠性分析的方法主要是MonteCarlo法和响应面法。MonteCarlo方法是一种用数值模拟来解决与随机变量有关的实际工程问题的数学方法，对随机变量的数值模拟相当于是一种“试验”，通过结构的失效频率来估算结构的失效概率。本文主要对MonteCarlo法的应用做详细分析。
MonteCarlo法进行结构可靠性分析应解决两个基本问题：1）确定随机抽样数N。根据概率理论，采用频率来估算概率的基本前提是随机抽样数N必须足够大，否则达不到精度要求。2）确定对任意分布随机变量Xi的随机抽样方法。对于MonteCarlo法，分析精度由模拟次数决定，模拟次数越多精度越高，但花费的计算时间也越多。
ANSYS的PDS模块提供了拉丁超立方抽样（LHS），其对抽样过程有“记忆”功能，强制了抽样过程中的抽样点必须离散分布于整个抽样空间，可避免直接抽样法数据点集中而导致的仿真循环重复问题，使得LHS抽样法更简单有效。
3、PDS可靠性分析实例
问题描述：两边固定的方板承受集中力载荷模型。其尺寸和材料属性均是不确定的输入参数。随机条件如下：方板边长100mm，板厚1mm，板材加工精度误差等于±0.21mm，服从均匀分布；材料弹性模量2.1e5MPa，服从高斯分布，标准方差是均值的0.05倍；密度均值8000kg/mm?，集中载荷只能是正值，且服从LOG1分布，标准方差为均值的10%。假定在使用中最大变形超过0.0548mm即认为失效。所以平板的失效准则为：
μmax≥μs=0.0548（5）
式中μmax为方板受力过程中出现的最大变形位移；μs为允许的最大位移。极限状态函数为：
g（X）=μs-μmax（6） 则板的使用可靠性即为g（X）≥0的概率，X为上式中所有不确定量组成的向量。
计算过程中选择通用的MonteCarlo方法取抽样次数为40次，由ANSYS的PDS模块可求得方板未失效的概率结果如图1所示。
计算结果表明了方板在许用变形为0.0548mm，且置信度为95%时的使用可靠度约为98.25%。可靠度的大小与抽样次数有关，抽样次数越多得到的可靠度越精确。同时还可以利用ANSYS中的可靠性计算方法得到结构的密度函数、变量的相关系数矩阵及累积分布函数等。
四、有限元法在岩土工程中的应用
数值计算在工程领域内已经得到非常广泛应用。在岩土工程中，数值计算不但已大量应用，而且已积累了很多的经验。数值计算已经成为解决许多大型复杂工程问题的主要手段之一。
对于复合地基这样带有群桩的较为复杂的问题，只有应用数值分析才能更好地反映各种因素的影响，分析复合地基地受力特性。岩土工程中数值计算最常用地方法有以下几种：有限差分法、有限元法、边界元法、半解析法等，其中以有限元法最为成熟，应用最为广泛。有限元法的优点在于：（1）有限元法可以方便地准确反映岩土材料的复杂本构关系，只要给出这种关系的表达式，用有限元法就可以方便地表达出来；（2）有限元法对复杂边界的反映比其他数值方法有比较优越的性能。已经开发的不同类型的单元，可以适合不同情况的模拟；（3）有限元法有较为成熟的方法和计算程序，有大量工程计算经验。
当前，有限元法已在岩土工程中应用多年，对推动岩土工程的计算发展起到很好的作用。有限元在模拟地基这样的无限介质时，常用的方法是取较大范围计算，并假设范围之外的土体不受应力的影响。这样做必将增加单元数量，从而加大工作量。无界元法是上个世纪七十年代由Ungless和Bettess提出的一种的计算方法。它是半解析、半数值，它的基本计算思路是在位移插值中引入解析函数，替代无限方向的离散与插值，以达到节省单元数的效果。当然，所设的函数不一定能完全反映无限方向的实际位移解函数的形状，但是它和余下部分的广义未知参数相结合一起能够满足变分原理，因此无限方向上解函数能更好的逼近真解。将无限元与有限元相耦合来分析半无限地基的受力性状既可以准确地反映半无限介质地的特性，又很好的节省部分的单元数量。从而能减少计算工作量，目前来说。是进行三维地基计算的最有前途的计算方法。
岩土工程数值计算分析用于复合地基的承载特性分析自从20世纪80年代得到了很快的发展，经历了从线性分析到非线性分析，从平面分析到三维分析的发展过程，经历了从被认为是纯粹的结果计算到作為试验手段（数值试验）的发展。谢定义，张爱军[24]首先提出用数值分析试验的方法来研究复合地基承载力特性，并得到三类复合地基的承载特性。李宁于1997年提出“岩土工程数值仿真分析”，数值试验和数值仿真在数值计算技术发展到一定程度时，可以准确地模拟复合地基的真实承载特性，而且相比物理模型实验（包括室内试验和现场试验）花费较少，试验时间较短，可以用于大量进行。用大量模拟试验以得到和实际较吻合的结论，所以它是极有前途的试验方法。数值试验的方法在核能研究、基因研究等方面得到了广泛的应用，同样在复合地基承载特性的方面也得到很好的应用。尽管在用数值方法对复合地基承载特性研究中还存在其他许多方法，诸如：土体复杂本构行为及其工程应用的研究等，但我们可以预见，有限元法将成为解决复合地基中桩土相互作用复杂问题的最根本的途径。
五、结束语
综上所述，限元分析方法在当今基础理论研究和工程领域得到了广泛的应用，限元分析方法在工程设计中具有很高的实用性，可以将其作为一套有效的工具来为各种受力零件和结构的设计提供支持。
参考文献：
[1]刘成子；等.土力学[M].北京：中国铁道出版社，2011
[2]粱炯黎.锚喷支护作用原理[N].煤炭学报，2010
【關键词】有限元；岩土；应用；基本原理
一、前言
有限元法作为一种实用的分析方法，随着高精度单元不断研究出来，有限元计算的精度越来越高，并且在工程实际的各个领域得到了充分的发展和应用。
二、有限元法的基本原理
有限单元法是将连续区域离散为有限个按一定方式相互联结在一起的，它们在节点上相连接，利用在每一个单元内假设的近似函数来分片表示整个解域上的未知场函数，单元内的近似函数由未知场函数与其导数在单元内各个节点的数值或插值函数来表示。把作用在单元上的力等效在节点上；每个单元选择一个位移函数来表示位移分量；按变分原理建立单元节点的力-位移的关系式；然后根据节点平衡把所有的单元关系式集合形成一组代数方程组，此方程组以节点位移为未知量，从而解得各节点位移。而对于土工计算中所利用的有限元法，可以分为总应力法和有效应力法。国际上，1969年，Sandhu和Wilson用有限元法对土体二维固结进行了分析，开创了土工问题有限元法有效应力的先河；在1996年，Clough和Woodward首次用总应力法对土坝的应力应变进行分析；国内，1977年，沈珠江应用有限元对软土地基进行分析。有效应力法区分土体中的有效应力与孔隙水压力，同步考虑土体骨架变形与孔隙水的的渗透的影响，因而相对总应力法，有效应力法更能真实的反映土体的自身特性，能更合理地计算荷载作用下土体的响应，应用的范围也更广。有效应力法包含两种未知量：土体骨架的变形和孔隙水压力。并且在非饱和土计算中，还需要增加一个孔隙水压力。有效应力法是以Biot动力固结方程为计算基础，计算过程较为复杂，计算工作量也比较庞大。土体的总应力有限元法与其他结构有限元分析在理论上没有大的差别，它们主要的差别在材料的本构模型的选择，土体的总应力有限元法认为土体是一种连续介质，这种介质由土颗粒和孔隙水组成，计算中不考虑土颗粒和孔隙水之间的相互关系。在有效应力中，如果令孔隙水压力为0，并且采用与总应力法相同的土性参数，则有效应力和总应力相同，相应的有效应力法就转变为总应力法。因此，总应力法可以看成有效应力法的一个特例。当土体参数采用不排水指标时，总应力法能够计算出来的是加荷瞬间的应力和变形或短期应力和变形，采用排水指标进行的总应力分析则得到的是孔压消散完毕，土体固结完成时的应力和变形结果。在土工问题分析中还经常用到总应力法与太沙基固结理论相结合进行有效应力分析，这种分析方法对于二维和三维渗流是近似的，尤其对于只有一个方向渗水的固结问题最为精确的。
三、可靠性的基本理论
1、可靠性的基本理论
结构的可靠度是指结构在规定的时间内、规定的条件下（正常使用极限状态和承载能力极限状态）完成预定功能的概率。
如结构的基本变量由X1，X2，……，Xn组成，且结构功能Z为基本变量的函数，则结构的功能函数（极限状态函数）可表示为：
Z=g（X）=g（X1，X2，……，Xn）（1）
在概率极限状态设计理论中，极限状态方程为：
g（X1，X2，……，Xn）=0（2）
通常在结构设计中，基本变量X1，X2，……，Xn为随机变量，如果把基本变量归结为结构抗力R和载荷效应S两大类，则结构功能函数可简化为：
Z=R-S（3）
所以在概率极限状态的结构设计中，必须满足下列条件，即：
Z=g（R，S）=R-S≥0（4）
由可靠性理论知，求一个结构的可靠度就是求极限状态函数g（X）≥0的概率，所以利用ANSYS概率分析功能计算出g（X）≥0的概率，就得到了结构的可靠度。
2、ANSYS进行可靠性分析的原理
ANSYS的PDS（ProbabilityDesignSystem）模块是基于确定性有限元计算过程的随机分析模块，PDS模块中进行结构可靠性分析的方法主要是MonteCarlo法和响应面法。MonteCarlo方法是一种用数值模拟来解决与随机变量有关的实际工程问题的数学方法，对随机变量的数值模拟相当于是一种“试验”，通过结构的失效频率来估算结构的失效概率。本文主要对MonteCarlo法的应用做详细分析。
MonteCarlo法进行结构可靠性分析应解决两个基本问题：1）确定随机抽样数N。根据概率理论，采用频率来估算概率的基本前提是随机抽样数N必须足够大，否则达不到精度要求。2）确定对任意分布随机变量Xi的随机抽样方法。对于MonteCarlo法，分析精度由模拟次数决定，模拟次数越多精度越高，但花费的计算时间也越多。
ANSYS的PDS模块提供了拉丁超立方抽样（LHS），其对抽样过程有“记忆”功能，强制了抽样过程中的抽样点必须离散分布于整个抽样空间，可避免直接抽样法数据点集中而导致的仿真循环重复问题，使得LHS抽样法更简单有效。
3、PDS可靠性分析实例
问题描述：两边固定的方板承受集中力载荷模型。其尺寸和材料属性均是不确定的输入参数。随机条件如下：方板边长100mm，板厚1mm，板材加工精度误差等于±0.21mm，服从均匀分布；材料弹性模量2.1e5MPa，服从高斯分布，标准方差是均值的0.05倍；密度均值8000kg/mm?，集中载荷只能是正值，且服从LOG1分布，标准方差为均值的10%。假定在使用中最大变形超过0.0548mm即认为失效。所以平板的失效准则为：
μmax≥μs=0.0548（5）
式中μmax为方板受力过程中出现的最大变形位移；μs为允许的最大位移。极限状态函数为：
g（X）=μs-μmax（6） 则板的使用可靠性即为g（X）≥0的概率，X为上式中所有不确定量组成的向量。
计算过程中选择通用的MonteCarlo方法取抽样次数为40次，由ANSYS的PDS模块可求得方板未失效的概率结果如图1所示。
计算结果表明了方板在许用变形为0.0548mm，且置信度为95%时的使用可靠度约为98.25%。可靠度的大小与抽样次数有关，抽样次数越多得到的可靠度越精确。同时还可以利用ANSYS中的可靠性计算方法得到结构的密度函数、变量的相关系数矩阵及累积分布函数等。
四、有限元法在岩土工程中的应用
数值计算在工程领域内已经得到非常广泛应用。在岩土工程中，数值计算不但已大量应用，而且已积累了很多的经验。数值计算已经成为解决许多大型复杂工程问题的主要手段之一。
对于复合地基这样带有群桩的较为复杂的问题，只有应用数值分析才能更好地反映各种因素的影响，分析复合地基地受力特性。岩土工程中数值计算最常用地方法有以下几种：有限差分法、有限元法、边界元法、半解析法等，其中以有限元法最为成熟，应用最为广泛。有限元法的优点在于：（1）有限元法可以方便地准确反映岩土材料的复杂本构关系，只要给出这种关系的表达式，用有限元法就可以方便地表达出来；（2）有限元法对复杂边界的反映比其他数值方法有比较优越的性能。已经开发的不同类型的单元，可以适合不同情况的模拟；（3）有限元法有较为成熟的方法和计算程序，有大量工程计算经验。
当前，有限元法已在岩土工程中应用多年，对推动岩土工程的计算发展起到很好的作用。有限元在模拟地基这样的无限介质时，常用的方法是取较大范围计算，并假设范围之外的土体不受应力的影响。这样做必将增加单元数量，从而加大工作量。无界元法是上个世纪七十年代由Ungless和Bettess提出的一种的计算方法。它是半解析、半数值，它的基本计算思路是在位移插值中引入解析函数，替代无限方向的离散与插值，以达到节省单元数的效果。当然，所设的函数不一定能完全反映无限方向的实际位移解函数的形状，但是它和余下部分的广义未知参数相结合一起能够满足变分原理，因此无限方向上解函数能更好的逼近真解。将无限元与有限元相耦合来分析半无限地基的受力性状既可以准确地反映半无限介质地的特性，又很好的节省部分的单元数量。从而能减少计算工作量，目前来说。是进行三维地基计算的最有前途的计算方法。
岩土工程数值计算分析用于复合地基的承载特性分析自从20世纪80年代得到了很快的发展，经历了从线性分析到非线性分析，从平面分析到三维分析的发展过程，经历了从被认为是纯粹的结果计算到作為试验手段（数值试验）的发展。谢定义，张爱军[24]首先提出用数值分析试验的方法来研究复合地基承载力特性，并得到三类复合地基的承载特性。李宁于1997年提出“岩土工程数值仿真分析”，数值试验和数值仿真在数值计算技术发展到一定程度时，可以准确地模拟复合地基的真实承载特性，而且相比物理模型实验（包括室内试验和现场试验）花费较少，试验时间较短，可以用于大量进行。用大量模拟试验以得到和实际较吻合的结论，所以它是极有前途的试验方法。数值试验的方法在核能研究、基因研究等方面得到了广泛的应用，同样在复合地基承载特性的方面也得到很好的应用。尽管在用数值方法对复合地基承载特性研究中还存在其他许多方法，诸如：土体复杂本构行为及其工程应用的研究等，但我们可以预见，有限元法将成为解决复合地基中桩土相互作用复杂问题的最根本的途径。
五、结束语
综上所述，限元分析方法在当今基础理论研究和工程领域得到了广泛的应用，限元分析方法在工程设计中具有很高的实用性，可以将其作为一套有效的工具来为各种受力零件和结构的设计提供支持。
参考文献：
[1]刘成子；等.土力学[M].北京：中国铁道出版社，2011
[2]粱炯黎.锚喷支护作用原理[N].煤炭学报，2010