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摘要 股指期货的基本功能之一是套期保值。套期保值者可以利用期货合约进行风险管理，降低或转移不利的价格波动风险。本文在传统的期货套期保值研究的基础上，考虑到金融时间序列本身所呈现的“峰尖厚尾”的特征，引入Kendall 秩相关系数，结合Copula函数计算尾部相关系数来替代传统的线性相关系数计算上海期货交易所铜的期货和现货的套期保值比率。
关键词 套期保值 Copula函数 Kendall’s
中图分类号：F272.9 文献标识码：A
一、引言
套期保值理论的核心是最优套期保值比率的确定问题，早在二十世纪七十年代，Ederington（1979）根据投资组合理论提出了最小方差套期保值模型，其代表主要是Witt、Myers、Baillie。他们分别用OLS，B—VAR以及GARCH模型进行了研究。国内对套期保值的研究基本上处于国外的模型对国内市场研究的阶段，对于铜的期货和现货之间的关系，很多只考虑了期货和现货收益之间的线性关系，但当期货和现货价格产生较大波动时，呈现的是非线性的相关关系，这时用简单的pearson相关系数等会产生较大的误差，而Copula函数可以描述非线性相关的变量之间的相关系数，本文正是基于Copula函数计算上海期货交易所铜的期货和现货收益率的相关系数的，采用GARCH模型，围绕如何确定铜的期货最优套期保值比率进行的实证研究。
二、计量理论基础
（一）Copula函数理论介绍。
Abe Sklar于1959年最早提出Copula函数，作为研究随机变量相关结构的方法，Copula具有其独特的性质，即多元分布函数可以通过单变量边际函数以及多变量相关结构来刻画，而多变量相关结构就是Copula函数。
由以上的定理以及性质可知，Copula之所以能够得到广泛的应用，在于其单个变量的边际分布函数与多变量之间的相关结构相分离的特性。相关研究表明，阿基米德族中的Gumbel Copula能够较好地刻画上尾相关性且计算起来简单，所以本文选择使用Gumbel Copula函数对样本数据的进行处理。Gumbel Colula函数的分布函数为：
同时由此得到 和Kendall秩相关系数 之间的关系：
实证表明，Gumbel Copula对描述下尾的相关关系更为有效，而且这种相关关系的描述都是非对称的。
（二）Kendall秩相关系数 。
Kendall 相关系数采用非参数检验方法用来度量定序变量间的线性相关关系。它对分析的变量不需要正态性假设，可以捕捉到线性相关性所无法捕捉到的变量间的非线性相关性，可以匹配现货和期货之间较大波动性，合理对冲现货风险，提高套期保值比率计算的准确性。
Kendall秩相关系数 的定义：
（三）最优套期保值率。
本文采用以下符号：
Ft：表示铜的t时期期货的价格；Ft-1：表示t-1时期的期货价格；
St：表示铜的t时期现货的价格；St-1：表示t-1时期的现货价格；
f：表示期货的标准差； s：表示现货的标准差；
Ru：表示没有套期保值的收益率；Rh：表示套期保值后的收益率。
本文采用最小方差对冲比率的计算，主要理论依据是资产组合套期保值绩效理论。最小方差套期保值比率的计算公式如下：
这样没有进行套期保值和进行套期保值时的收益简单表示为：
三、实证分析
（一）数据来源及处理。
利用上海期货交易所铜交割月份期货合约每天的收盘数据，现货价格选取为上海华通有色金属市场铜交易的收盘价格。数据的时间从2005年1月2日至2012年4月27日，在此基础上进一步产生铜期货价格和现货价格的周数据，选用星期五的收盘价格作为代表。
本文采用现货价格和期货价格的自然对数作为分析变量，这样可以有效地消除极端值的影响，保证估计结果的稳健性。
定义FS=log（ft）-log（ft-1），SS=log（st）-log（st-1）其中，ft表示t时间期货的收盘价，st表示t时间现货的收盘价。
（二）统计描述和单位根检验。
本文的软件操作均用Eviews6.0，期货价格的标准差0.018比现货价格的0.017表现更具波动性，同时期货和现货的JB值均大于13均表明收益率序列不是服从正态分布的。同时其进行单位根检验，检验结果表明，在1%、5%显著性水平下，期货和现货指数收益率均是平稳的。直接用GARCH进行回归，从而得到期货指数和现货指数的波动率序列。
（三）建立GARCH模型。
为了描述期货和现货收益率之前的相关关系，本文采用GARCH模型对期货和现货的收益率序列进行估计，由于残差的具体形式未知，分别假设残差服从正态分布和t分布来估计序列，且分布用GARCH和TARCH模型进行回归，然后比较模型的AIC和SC值来选择最合适的边际分布估计方法得到的结果如表1、表2：
通常，GARCH模型的残差可以服从正态分布和t分布。通过对比AIC和SC的值，发现残差服从正态分布的TARCH模型对边际分布拟合的要优于其他模型所估计的结果，从而得到期货和现货收益率的回归方程如下：
（四）套期保值评价指标。
在得到TARCH模型后，计算Kendall秩相关系数 。本文通过用SAS 9.0计算得到铜的期货和现货样本收益率的Kendall’s 的估计值为0.699。由于本文选择的是阿基米德Copula族中的Gumbel Copula函数，具有阿基米德族Copula函数的一般性质，可以从Kendall秩相关系数 以及从公式中推导出Gumbel Copula函数中参数与尾部相关系数的关系如下：
从图1可以明显地看出，套期保值以前的收益率的波动显著地大于套期保值以后收益率的波动情况。我们将其与没有进行套期保值前的收益率进行了简单的统计分析，可知，RH的标准差比SS的标准差要小很多，表明基于Kendall秩相关系数和Copula函数的尾部相关系数计算得到的套期保值后的收益率具有更小的均值和方差。
四、结论
本文主要基于GARCH（1，1）模型的基础上通过Copula—GARCH模型估计条件相关系数，计算最优套期保值比率，能够有效避免金融时间序列服从多元正态分布的简单假设。得到上海期货交易所铜的期货和铜的现货具有明显的GARCH效应，相对于不进行套期保值，进行套期保值明显地降低了收益方差，回避了价格风险。
虽然Copula函数方法是一种检验套期保值绩效简单易用的计量方法，但由于其估计序列相关结构的效果与准确度取决于所选择的具体Copula模型。因此，在运用Copula模型时需要了解每种Copula模型的适用范围与计算的优缺点。如何选择一个最优的Copula函数拟合平衡期与危机期的金融市场数据并及时了检验套期保值绩效，是今后进一步研究金融领域的方向。□
（作者：南京财经大学经济学院2010级数量经济学专业硕士研究生）
参考文献：
[1] Baillie R T， Myers R J.Bivariate Garch estimation of the optional futures hedge， Journal of Applied Econometrics， 1991（6）：109-124
[2] Bruno R€閙illard，Nicolas Papageorgiou， Fr€閐€閞ic Soustra. Copula-based semiparametric models for multivariate time series.Journal of Multivariate Analysis.2012，3.
[3]华仁海，刘庆柏. 我国大豆、豆粕和豆油期货价格之间的联动分析.南京财经大学学报 2009，（5）.
[4]段靓.股指期货最优套期保值比率——基于IF1011股指期货的实证研究.金融纵横2011，（1）.
[5]王玉刚，迟国泰，吴姗姗. 基于非线性相关的最小方差套期保值比率研究. 价值工程，2006（10）.
[6]杨丽.沪深300股指期货交易量与其现货指数波动关系研究. 财经热点.2011（2）
[7]李传峰.沪深300股指期货期现套利模型及实证分析. 广东金融学院学报，2011（2）.
关键词 套期保值 Copula函数 Kendall’s
中图分类号：F272.9 文献标识码：A
一、引言
套期保值理论的核心是最优套期保值比率的确定问题，早在二十世纪七十年代，Ederington（1979）根据投资组合理论提出了最小方差套期保值模型，其代表主要是Witt、Myers、Baillie。他们分别用OLS，B—VAR以及GARCH模型进行了研究。国内对套期保值的研究基本上处于国外的模型对国内市场研究的阶段，对于铜的期货和现货之间的关系，很多只考虑了期货和现货收益之间的线性关系，但当期货和现货价格产生较大波动时，呈现的是非线性的相关关系，这时用简单的pearson相关系数等会产生较大的误差，而Copula函数可以描述非线性相关的变量之间的相关系数，本文正是基于Copula函数计算上海期货交易所铜的期货和现货收益率的相关系数的，采用GARCH模型，围绕如何确定铜的期货最优套期保值比率进行的实证研究。
二、计量理论基础
（一）Copula函数理论介绍。
Abe Sklar于1959年最早提出Copula函数，作为研究随机变量相关结构的方法，Copula具有其独特的性质，即多元分布函数可以通过单变量边际函数以及多变量相关结构来刻画，而多变量相关结构就是Copula函数。
由以上的定理以及性质可知，Copula之所以能够得到广泛的应用，在于其单个变量的边际分布函数与多变量之间的相关结构相分离的特性。相关研究表明，阿基米德族中的Gumbel Copula能够较好地刻画上尾相关性且计算起来简单，所以本文选择使用Gumbel Copula函数对样本数据的进行处理。Gumbel Colula函数的分布函数为：
同时由此得到 和Kendall秩相关系数 之间的关系：
实证表明，Gumbel Copula对描述下尾的相关关系更为有效，而且这种相关关系的描述都是非对称的。
（二）Kendall秩相关系数 。
Kendall 相关系数采用非参数检验方法用来度量定序变量间的线性相关关系。它对分析的变量不需要正态性假设，可以捕捉到线性相关性所无法捕捉到的变量间的非线性相关性，可以匹配现货和期货之间较大波动性，合理对冲现货风险，提高套期保值比率计算的准确性。
Kendall秩相关系数 的定义：
（三）最优套期保值率。
本文采用以下符号：
Ft：表示铜的t时期期货的价格；Ft-1：表示t-1时期的期货价格；
St：表示铜的t时期现货的价格；St-1：表示t-1时期的现货价格；
f：表示期货的标准差； s：表示现货的标准差；
Ru：表示没有套期保值的收益率；Rh：表示套期保值后的收益率。
本文采用最小方差对冲比率的计算，主要理论依据是资产组合套期保值绩效理论。最小方差套期保值比率的计算公式如下：
这样没有进行套期保值和进行套期保值时的收益简单表示为：
三、实证分析
（一）数据来源及处理。
利用上海期货交易所铜交割月份期货合约每天的收盘数据，现货价格选取为上海华通有色金属市场铜交易的收盘价格。数据的时间从2005年1月2日至2012年4月27日，在此基础上进一步产生铜期货价格和现货价格的周数据，选用星期五的收盘价格作为代表。
本文采用现货价格和期货价格的自然对数作为分析变量，这样可以有效地消除极端值的影响，保证估计结果的稳健性。
定义FS=log（ft）-log（ft-1），SS=log（st）-log（st-1）其中，ft表示t时间期货的收盘价，st表示t时间现货的收盘价。
（二）统计描述和单位根检验。
本文的软件操作均用Eviews6.0，期货价格的标准差0.018比现货价格的0.017表现更具波动性，同时期货和现货的JB值均大于13均表明收益率序列不是服从正态分布的。同时其进行单位根检验，检验结果表明，在1%、5%显著性水平下，期货和现货指数收益率均是平稳的。直接用GARCH进行回归，从而得到期货指数和现货指数的波动率序列。
（三）建立GARCH模型。
为了描述期货和现货收益率之前的相关关系，本文采用GARCH模型对期货和现货的收益率序列进行估计，由于残差的具体形式未知，分别假设残差服从正态分布和t分布来估计序列，且分布用GARCH和TARCH模型进行回归，然后比较模型的AIC和SC值来选择最合适的边际分布估计方法得到的结果如表1、表2：
通常，GARCH模型的残差可以服从正态分布和t分布。通过对比AIC和SC的值，发现残差服从正态分布的TARCH模型对边际分布拟合的要优于其他模型所估计的结果，从而得到期货和现货收益率的回归方程如下：
（四）套期保值评价指标。
在得到TARCH模型后，计算Kendall秩相关系数 。本文通过用SAS 9.0计算得到铜的期货和现货样本收益率的Kendall’s 的估计值为0.699。由于本文选择的是阿基米德Copula族中的Gumbel Copula函数，具有阿基米德族Copula函数的一般性质，可以从Kendall秩相关系数 以及从公式中推导出Gumbel Copula函数中参数与尾部相关系数的关系如下：
从图1可以明显地看出，套期保值以前的收益率的波动显著地大于套期保值以后收益率的波动情况。我们将其与没有进行套期保值前的收益率进行了简单的统计分析，可知，RH的标准差比SS的标准差要小很多，表明基于Kendall秩相关系数和Copula函数的尾部相关系数计算得到的套期保值后的收益率具有更小的均值和方差。
四、结论
本文主要基于GARCH（1，1）模型的基础上通过Copula—GARCH模型估计条件相关系数，计算最优套期保值比率，能够有效避免金融时间序列服从多元正态分布的简单假设。得到上海期货交易所铜的期货和铜的现货具有明显的GARCH效应，相对于不进行套期保值，进行套期保值明显地降低了收益方差，回避了价格风险。
虽然Copula函数方法是一种检验套期保值绩效简单易用的计量方法，但由于其估计序列相关结构的效果与准确度取决于所选择的具体Copula模型。因此，在运用Copula模型时需要了解每种Copula模型的适用范围与计算的优缺点。如何选择一个最优的Copula函数拟合平衡期与危机期的金融市场数据并及时了检验套期保值绩效，是今后进一步研究金融领域的方向。□
（作者：南京财经大学经济学院2010级数量经济学专业硕士研究生）
参考文献：
[1] Baillie R T， Myers R J.Bivariate Garch estimation of the optional futures hedge， Journal of Applied Econometrics， 1991（6）：109-124
[2] Bruno R€閙illard，Nicolas Papageorgiou， Fr€閐€閞ic Soustra. Copula-based semiparametric models for multivariate time series.Journal of Multivariate Analysis.2012，3.
[3]华仁海，刘庆柏. 我国大豆、豆粕和豆油期货价格之间的联动分析.南京财经大学学报 2009，（5）.
[4]段靓.股指期货最优套期保值比率——基于IF1011股指期货的实证研究.金融纵横2011，（1）.
[5]王玉刚，迟国泰，吴姗姗. 基于非线性相关的最小方差套期保值比率研究. 价值工程，2006（10）.
[6]杨丽.沪深300股指期货交易量与其现货指数波动关系研究. 财经热点.2011（2）
[7]李传峰.沪深300股指期货期现套利模型及实证分析. 广东金融学院学报，2011（2）.