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【内容摘要】“叠加”判断是对“3 的倍数特征”教学的新探求，既可广泛用于课堂，亦可为不改变教材体系及内容前提下的拓展和延伸。
【关键词】叠加 3的倍数 特征 判断
一、问题的提出
我们知道，判别一个数是否是3的倍数（或能否被3整除），一般按现行教材上所说（包括人教版等其它各版本在内）即：如果一个数（笔者注：本文中所涉及的“数”均指非零自然数）各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。表面上看这是将问题化简，再以简单的判断去推断原数是否是3的倍数的结论。实际上，严格地说这是个循环定义。试想：学生在此之前，并未学过“判断3的倍数”的概念，凭借什么去判断“和是3的倍數”，进而去实行新的推断呢？好在学生已学过数的整除的意义，学生最后还是归结为将“各位上数的和”除以3再去判断。可见，这与将原数直接除以3没有什么本质的区别。只不过一个复杂，一个简单，以简驭繁而已。
但我们注意到，现行教材中相关课题，涉及提到的都是“特征”二字。“特征”可作为事物独特地方所具有的征象、标志，一般乃事物的外部表现。教材在这之前讲到的2、5倍数数的特征，因其直观表现，比较准确。因为能被2、5整除的数，可以从该数外表上“看”出来。例如：个位上是0、2、4、6、8的整数，都是2的倍数；个位上是0或5的整数，都是5的倍数。那么3的倍数的特征在哪呢？所以这里所学的大部分情况的“特征”，实质是它的“特点”而已。笔者也注意到有的专家行文中提到“特点”，这或许就是当前有人提倡改变说法的原因所在吧。
表述的细微变化，恰恰让我们感触思考：本课例是否另外有一种教学的途径呢？有没有可以改进的方法呢？或者更直接提出现在的问题：我们能否找到3的倍数，它所具有的内部更直接的“具像”特征，哪怕是一种弱式的表现？甚至更为大胆的设想，今后的教材可否作相应的改进呢。
二、“叠加”的教学探求
我们说答案是肯定的。如何引导学生来探讨，我们作了一番思考，那就是进行“叠加”计算，再根据“叠加”出的结果进行直接的判断。为了更好的达到教学效果，可这样设计进行：
第一层次，探求关联。出示4张卡片，分别写上数字如：2、7、5、1，排出一个四位数后，例如是2751，再让学生除以3，得2751÷3=917，能被3整除，是3的倍数；接着任意调换位置，再让学生除以3，仍能被3整除，是3的倍数……为了更全面地说明问题，将其中的一个数加上1或减去1，如将上述的2751，其中的2改为3，排列得3751，将此数除以3，发现不能被3整除，不是3的倍数；再任意调换几个数的位置得到的数除以3，发现总不能被3整除，亦即总不是3的倍数。引导学生得出：一个数是否是3的倍数，与它各位上的数的大小有关但与其位置无关！
这样安排连续递进的数学活动，与原有教材探求方向保持一致。
第二层次，定向分类。师可出示先计算再作分类的题目，如先将下列各数分别除以3，然后分成两组：
15、56、97、112、235、864、1056、2381、2258、5475，
第一组：能被3整除的数有（ ）。
第二组：不能被3整除的数有（ ）。
“整除”的概念学生早已学过，而判断有待学习，所以必须先让学生具体计算进行。有意设置此项活动，让学生经历探求过程。
第三层次，指导“叠加”。对于刚才分类的两种数，让学生分别把各位上的数相加求和；若和仍是多位数，再去相加，一直加到和是一位数（数学术语叫“数字根”）为止。我们把这个过程叫做“叠加”。如724352，第一次将各位上的数相加得7 2 4 3 5 2=23；23是个两位数，再进行类似加法得2 3=5；5是一位数，结束。
第四层次，引导发现。“叠加”过程结束后，师及时让学生说说将某个数进行“叠加”所得的结果。引导同位同学进行对比去发现：能被3整除的数，“叠加”的结果是3、6或9；而不能被3整除的数，“叠加”的结果是1、2、4、5、7或8。这时针对小学生的特点，我们和一般现行教科书一样，采用不完全归纳法，让学生自己发现并初步总结规律，即：一个整数，如果“叠加”的最后结果是3、6或9，则这个数一定是3的倍数；如果“叠加”的最后结果不是3、6或9，则这个数一定不是3的倍数。
第五层次，验证结论（多项活动方式进行，略）。
三、“叠加”判断的教学价值
以上所述，“叠加”判断不失为是一种创新的方法，关键是符合“特征”且易于口算进行，既有知识性又有趣味性，学生有兴趣也能很好掌握。此外，多年实践的教材客观上也提供了这种教法的可能性，“叠加”实际上就是教材上所谓3的倍数的特征（即：一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数）的反复运用，这如算法语言程序控制上的过程自我调用，亦即“递归”。只不过在最后不需要“算”能否“被3整除”，而是“看”是否是“3、6或9”罢了。
探求过程中，既培养学生的的应用意识和创新意识，又能让学生体验成功的快乐，习得科学的研究方法与态度。同时，对于解决问题而言，也更具有策略性。
我们通过探索提出的“叠加法”，或将为教材的编写提供参考：既可作为通行的方法，替换原有的课例，列入相应的教学内容，也可以一种补充方式作为扩展内容。
【参考文献】
[1] 数学课程标准[S]. 北京师范大学出版社，2011.
[2] [美]G·玻利亚. 怎样解题？数学思维的新方法[M]. 科学出版社，1982.
（作者单位：安徽省合肥市庐江县教育局教研室；安徽省合肥市廬江县城关小学）
【关键词】叠加 3的倍数 特征 判断
一、问题的提出
我们知道，判别一个数是否是3的倍数（或能否被3整除），一般按现行教材上所说（包括人教版等其它各版本在内）即：如果一个数（笔者注：本文中所涉及的“数”均指非零自然数）各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。表面上看这是将问题化简，再以简单的判断去推断原数是否是3的倍数的结论。实际上，严格地说这是个循环定义。试想：学生在此之前，并未学过“判断3的倍数”的概念，凭借什么去判断“和是3的倍數”，进而去实行新的推断呢？好在学生已学过数的整除的意义，学生最后还是归结为将“各位上数的和”除以3再去判断。可见，这与将原数直接除以3没有什么本质的区别。只不过一个复杂，一个简单，以简驭繁而已。
但我们注意到，现行教材中相关课题，涉及提到的都是“特征”二字。“特征”可作为事物独特地方所具有的征象、标志，一般乃事物的外部表现。教材在这之前讲到的2、5倍数数的特征，因其直观表现，比较准确。因为能被2、5整除的数，可以从该数外表上“看”出来。例如：个位上是0、2、4、6、8的整数，都是2的倍数；个位上是0或5的整数，都是5的倍数。那么3的倍数的特征在哪呢？所以这里所学的大部分情况的“特征”，实质是它的“特点”而已。笔者也注意到有的专家行文中提到“特点”，这或许就是当前有人提倡改变说法的原因所在吧。
表述的细微变化，恰恰让我们感触思考：本课例是否另外有一种教学的途径呢？有没有可以改进的方法呢？或者更直接提出现在的问题：我们能否找到3的倍数，它所具有的内部更直接的“具像”特征，哪怕是一种弱式的表现？甚至更为大胆的设想，今后的教材可否作相应的改进呢。
二、“叠加”的教学探求
我们说答案是肯定的。如何引导学生来探讨，我们作了一番思考，那就是进行“叠加”计算，再根据“叠加”出的结果进行直接的判断。为了更好的达到教学效果，可这样设计进行：
第一层次，探求关联。出示4张卡片，分别写上数字如：2、7、5、1，排出一个四位数后，例如是2751，再让学生除以3，得2751÷3=917，能被3整除，是3的倍数；接着任意调换位置，再让学生除以3，仍能被3整除，是3的倍数……为了更全面地说明问题，将其中的一个数加上1或减去1，如将上述的2751，其中的2改为3，排列得3751，将此数除以3，发现不能被3整除，不是3的倍数；再任意调换几个数的位置得到的数除以3，发现总不能被3整除，亦即总不是3的倍数。引导学生得出：一个数是否是3的倍数，与它各位上的数的大小有关但与其位置无关！
这样安排连续递进的数学活动，与原有教材探求方向保持一致。
第二层次，定向分类。师可出示先计算再作分类的题目，如先将下列各数分别除以3，然后分成两组：
15、56、97、112、235、864、1056、2381、2258、5475，
第一组：能被3整除的数有（ ）。
第二组：不能被3整除的数有（ ）。
“整除”的概念学生早已学过，而判断有待学习，所以必须先让学生具体计算进行。有意设置此项活动，让学生经历探求过程。
第三层次，指导“叠加”。对于刚才分类的两种数，让学生分别把各位上的数相加求和；若和仍是多位数，再去相加，一直加到和是一位数（数学术语叫“数字根”）为止。我们把这个过程叫做“叠加”。如724352，第一次将各位上的数相加得7 2 4 3 5 2=23；23是个两位数，再进行类似加法得2 3=5；5是一位数，结束。
第四层次，引导发现。“叠加”过程结束后，师及时让学生说说将某个数进行“叠加”所得的结果。引导同位同学进行对比去发现：能被3整除的数，“叠加”的结果是3、6或9；而不能被3整除的数，“叠加”的结果是1、2、4、5、7或8。这时针对小学生的特点，我们和一般现行教科书一样，采用不完全归纳法，让学生自己发现并初步总结规律，即：一个整数，如果“叠加”的最后结果是3、6或9，则这个数一定是3的倍数；如果“叠加”的最后结果不是3、6或9，则这个数一定不是3的倍数。
第五层次，验证结论（多项活动方式进行，略）。
三、“叠加”判断的教学价值
以上所述，“叠加”判断不失为是一种创新的方法，关键是符合“特征”且易于口算进行，既有知识性又有趣味性，学生有兴趣也能很好掌握。此外，多年实践的教材客观上也提供了这种教法的可能性，“叠加”实际上就是教材上所谓3的倍数的特征（即：一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数）的反复运用，这如算法语言程序控制上的过程自我调用，亦即“递归”。只不过在最后不需要“算”能否“被3整除”，而是“看”是否是“3、6或9”罢了。
探求过程中，既培养学生的的应用意识和创新意识，又能让学生体验成功的快乐，习得科学的研究方法与态度。同时，对于解决问题而言，也更具有策略性。
我们通过探索提出的“叠加法”，或将为教材的编写提供参考：既可作为通行的方法，替换原有的课例，列入相应的教学内容，也可以一种补充方式作为扩展内容。
【参考文献】
[1] 数学课程标准[S]. 北京师范大学出版社，2011.
[2] [美]G·玻利亚. 怎样解题？数学思维的新方法[M]. 科学出版社，1982.
（作者单位：安徽省合肥市庐江县教育局教研室；安徽省合肥市廬江县城关小学）