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【摘 要】全等三角形问题是初中数学有关三角形知识的重要内容，它也是中考数学必考内容之一。笔者将近年来中考数学中出现的全等三角形题目类型加以分类研究，归纳、总结其解答技巧，以帮助中学生提高中考数学成绩。
【关键词】中考数学；全等三角形；思想方法
全等三角形是研究图形的重要工具，只有掌握好全等三角形的有关知识，并能灵活应用才能学好四边形、圆等后续内容，是中考的重要考点之一。根据全等三角形的定义：两个能够重合的三角形叫做全等三角形，全等三角形的对应边相等，对应角相等。全等三角形的判定方法有（1）SAS；（2）ASA；（3）AAS；（4）SSS。对直角三角形全等的判定除以上方法外，还有HL，同时谨记：两个三角形的两边和一角对应相等，或两个三角形的三个角对应相等，这两个三角形不一定全等。中学生要熟悉掌握全等三角形的证明方法，并在解题中灵活运用，总结规律和方法，有效提高数学成绩。
一、应注意问题和思想方法
（一）应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角，其规律主要有以下几点：（1）以对应顶点为顶点的角是对应角；（2）对应顶点所对应的边是对应边；（3）公共边（角）是对应边（角）；（4）对顶角是对应角；（5）最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）。同时，全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定，如若△ABC≌△DEF，说明A与D、B与E、C与F是对应点，则∠ABC与∠DEF是对应角，边AC与边DF是对应边。另外，运用三角形全等可以证明两线段或两角相等，在直接找不到两个全等三角形时，可考虑添加辅助线构造全等三角形。
（二）思想方法。（1）转化思想：应用全等三角形的知识解决测河宽、测池塘宽、测工件内径等实际问题就是转化思想的运用；（2）运动变化思想：在研究三角形全等时，经常会出现三角形按照某种特定的规律变化，需要运用运动变化的思想进行解决；（3）构造图形法：在直接找不到两个全等三角形时，常常通过平移、对称、旋转等图形变换的方法构造全等三角形；（4）分析综合法：从已知条件出发探索解题途径的方法叫综合法；从结论出发不断寻找使结论成立的条件与已知条件关系的方法叫分析法；两头凑的方法就是综合运用分析综合法去寻找证题的一种方法。
二、全等三角形题型分类解析
（一）添加条件型
【例1】如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。所添条件为_____________，你得到的一对全等三角形是△______≌△_______。
【解析】本题是一道条件和结论同时开放的试题。所添条件为CE=DE、∠CAB=∠DAB、BC=BD等条件中的一个，可得到△ACE≌△ADE或者 △ACＢ≌△ADＢ。证明过程略。
（二）结论开放型
【例2】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点C逆时针旋转角α(0°＜α＜90°)得到△A1B1C1，连结BB1。设CB1交AB于D，A1B1分别交AB、AC于E、F。在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明（△ABC与△A1B1C1全等除外）。
【解析】这是一道结论开放的试题，由题目所隐含的条件易得△CBD≌△CA1F，或△AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF。以证△CBD≌△CA1F为例。∵∠ACB1＋∠A1CF=∠ACB1＋∠BCD=90°，所以∠A1CF=∠BCD，因为A1C=BC，∴∠A1=∠CBD=45°，所以CBD≌△CA1F。
（三）阅读归纳型
【例3】我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。那么在什么情况下，它们会全等?
（1）阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）；对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：
已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC= B1C1，∠C=∠C1。
求证：△ABC≌△A1B1C1 （请你将下列证明过程补充完整）
证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1，则∠BDC=∠B1 D1C1=90°，
因为BC=B1C1，∠C=∠C1，所以△BCD≌△B1C1D1，BD=B1D1。
(2)归纳与叙述：由(1)可得到一个正确结论，请你写出这个结论。
【解析】：（1）又因为AB= A1B1，∠ADB=∠A1 D1B1=90°所以△ADB≌△A1D1B1，所以∠A=∠A1，又因为∠C=∠C1，BC= B1C1，所以△ABC≌△A1B1C1。
（2）若△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，AB= A1B1，BC= B1C1，∠C=∠C1，则△ABC≌△A1B1C1。本题的问题情境新颖，既有阅读又有补充证明过程，既有类比又有归纳，突出考查学生的综合素质，别具一格。
（四）组合探索型
【例4】如图，在△ABC和△DEF中，D、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明。①AB＝DE，②AC＝DF，③∠ABC＝∠DEF，④BE＝CF。
【解析】已知：AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF。
求证：∠ABC＝∠DEF
证明：因为BE＝CF，所以BC＝EF；因为AB＝DE，AC＝DF，所以△ABC≌△DEF，所以∠ABC＝∠DEF。这类问题条件和结论都不确定，需要答题者认定条件和结论，然后组合成一个新命题，在按题目具体要求给出必要的证明。本题可以构造三个不同命题，而且正确的命题不止一个。
总之，全等三角形是初中数学有关三角形教学的重要内容，也是中考数学必考内容之一。学好全等三角形对于解答三角形、四边形、圆等综合性题目都有帮助，教师要能够充分总结和归纳有关全等三角形的解答技巧和方法，培养学生的解题能力。
【参考文献】
[1]邓安邦.全等三角形与相似三角形.天府数学，1998(6)
[2]黄国辉.全等三角形判定中的“边、边、角”问题探讨.抚州师专学报，1985(1)
（作者单位：浙江省永康市古山中学）
【关键词】中考数学；全等三角形；思想方法
全等三角形是研究图形的重要工具，只有掌握好全等三角形的有关知识，并能灵活应用才能学好四边形、圆等后续内容，是中考的重要考点之一。根据全等三角形的定义：两个能够重合的三角形叫做全等三角形，全等三角形的对应边相等，对应角相等。全等三角形的判定方法有（1）SAS；（2）ASA；（3）AAS；（4）SSS。对直角三角形全等的判定除以上方法外，还有HL，同时谨记：两个三角形的两边和一角对应相等，或两个三角形的三个角对应相等，这两个三角形不一定全等。中学生要熟悉掌握全等三角形的证明方法，并在解题中灵活运用，总结规律和方法，有效提高数学成绩。
一、应注意问题和思想方法
（一）应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角，其规律主要有以下几点：（1）以对应顶点为顶点的角是对应角；（2）对应顶点所对应的边是对应边；（3）公共边（角）是对应边（角）；（4）对顶角是对应角；（5）最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）。同时，全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定，如若△ABC≌△DEF，说明A与D、B与E、C与F是对应点，则∠ABC与∠DEF是对应角，边AC与边DF是对应边。另外，运用三角形全等可以证明两线段或两角相等，在直接找不到两个全等三角形时，可考虑添加辅助线构造全等三角形。
（二）思想方法。（1）转化思想：应用全等三角形的知识解决测河宽、测池塘宽、测工件内径等实际问题就是转化思想的运用；（2）运动变化思想：在研究三角形全等时，经常会出现三角形按照某种特定的规律变化，需要运用运动变化的思想进行解决；（3）构造图形法：在直接找不到两个全等三角形时，常常通过平移、对称、旋转等图形变换的方法构造全等三角形；（4）分析综合法：从已知条件出发探索解题途径的方法叫综合法；从结论出发不断寻找使结论成立的条件与已知条件关系的方法叫分析法；两头凑的方法就是综合运用分析综合法去寻找证题的一种方法。
二、全等三角形题型分类解析
（一）添加条件型
【例1】如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。所添条件为_____________，你得到的一对全等三角形是△______≌△_______。
【解析】本题是一道条件和结论同时开放的试题。所添条件为CE=DE、∠CAB=∠DAB、BC=BD等条件中的一个，可得到△ACE≌△ADE或者 △ACＢ≌△ADＢ。证明过程略。
（二）结论开放型
【例2】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点C逆时针旋转角α(0°＜α＜90°)得到△A1B1C1，连结BB1。设CB1交AB于D，A1B1分别交AB、AC于E、F。在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明（△ABC与△A1B1C1全等除外）。
【解析】这是一道结论开放的试题，由题目所隐含的条件易得△CBD≌△CA1F，或△AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF。以证△CBD≌△CA1F为例。∵∠ACB1＋∠A1CF=∠ACB1＋∠BCD=90°，所以∠A1CF=∠BCD，因为A1C=BC，∴∠A1=∠CBD=45°，所以CBD≌△CA1F。
（三）阅读归纳型
【例3】我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。那么在什么情况下，它们会全等?
（1）阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）；对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：
已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC= B1C1，∠C=∠C1。
求证：△ABC≌△A1B1C1 （请你将下列证明过程补充完整）
证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1，则∠BDC=∠B1 D1C1=90°，
因为BC=B1C1，∠C=∠C1，所以△BCD≌△B1C1D1，BD=B1D1。
(2)归纳与叙述：由(1)可得到一个正确结论，请你写出这个结论。
【解析】：（1）又因为AB= A1B1，∠ADB=∠A1 D1B1=90°所以△ADB≌△A1D1B1，所以∠A=∠A1，又因为∠C=∠C1，BC= B1C1，所以△ABC≌△A1B1C1。
（2）若△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，AB= A1B1，BC= B1C1，∠C=∠C1，则△ABC≌△A1B1C1。本题的问题情境新颖，既有阅读又有补充证明过程，既有类比又有归纳，突出考查学生的综合素质，别具一格。
（四）组合探索型
【例4】如图，在△ABC和△DEF中，D、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明。①AB＝DE，②AC＝DF，③∠ABC＝∠DEF，④BE＝CF。
【解析】已知：AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF。
求证：∠ABC＝∠DEF
证明：因为BE＝CF，所以BC＝EF；因为AB＝DE，AC＝DF，所以△ABC≌△DEF，所以∠ABC＝∠DEF。这类问题条件和结论都不确定，需要答题者认定条件和结论，然后组合成一个新命题，在按题目具体要求给出必要的证明。本题可以构造三个不同命题，而且正确的命题不止一个。
总之，全等三角形是初中数学有关三角形教学的重要内容，也是中考数学必考内容之一。学好全等三角形对于解答三角形、四边形、圆等综合性题目都有帮助，教师要能够充分总结和归纳有关全等三角形的解答技巧和方法，培养学生的解题能力。
【参考文献】
[1]邓安邦.全等三角形与相似三角形.天府数学，1998(6)
[2]黄国辉.全等三角形判定中的“边、边、角”问题探讨.抚州师专学报，1985(1)
（作者单位：浙江省永康市古山中学）