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摘要：新课程改革提倡高效课堂教学，教师教学行为对高效课堂教学起着至关重要的作用. 本文以高效的教师教学行为理论为指导，对回归分析的基本思想及其初步应用进行教学设计.回归分析是统计学中的一种重要的统计方法，对解决实际问题具有重要的现实意义.
关键词：高效课堂教学；教学行为；回归分析；教学设计
【中图分类号】G633.6
1.问题的提出
高中新课程标准指出，对于希望继续升入高一级学校学习或具有较高数学素养的学生，需要在必修课程的基础上进一步学会适合于自己的数学，为此，课程标准设置选修课程.它的内容按照遵循学生的个性发展和对未来的人生规划思考而制定.他们对选修课的态度，决定了他们上选修课时的教学行为，进而影响学生对这一部分知识的学习. 选修系列1是为那些希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的.选修1—2中的回归分析的基本思想及其应用是新课程标准新增加的内容，是数学必修3中统计内容的进一步拓展. 在数学必修3中，学生已经学习了两个变量之间的相关关系，包括画散点图，利用最小二乘法求回归直线方程等内容.这一部分的知识内容多，学时短，对于学生来说有一定的难度.因此，本文以高效课堂教学行为理论为指导，探究回归分析的基本思想及其初步应用（第一课时）的教学设计，对高中选修课的教学改革提供一些参考.
2.高效课堂设计的设想
高效课堂的教师教学行为对于新课程改革来说，是非常重要的一环.高效教学行为应该具有的特征是：要在八方联系、融会贯通中开展数学活动；教师要注重数学思想方法的渗透和总结.高效课堂教师教学行为下的教学设计思想遵从以下几方面的原则：（1）教师进行教学设计时严格按照教学目标和教学要求制定；（2）教师需要转变教学理念，将先进的教学理念化作课堂实施内容；（3）教师教学时要体现以学生为主体的理念，关注学生全面发展.
3.教学目标的确定
教师在制定教学目标时，既要考虑全班同学的实际情况，又要考虑每个学生的发展状况.学习统计的相关知识，目的是使学生经历数据处理的过程，培养学生对数据的直观感觉，认识统计方法的特点，体会统计方法应用的广泛性和对于决策的作用.
4.教学过程设计
回归分析的基本思想及其应用是一节应用型的数学课，课程的内容较多，并且是由大学数学内容下放到高中数学的内容，对于高中生来说具有一定的难度.本文采用问题导入法，从高效课堂的教师教学行为的角度做如下教学设计：
3.1创设情境，新课导入
教师行为描述：开始上课之时，教师从所在班级随机选取8名女生，请她们报出自己的身高和体重（身高单位是cm，体重单位是kg）.把这8位女生的身高和体重都填入事先制定好的表格1中，然后提出问题.
问题1.根据班级中女生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高169cm（随机选取的8名学生中没有身高为169cm，而班级中有身高为169cm的女生）的女同学的体重.
教师行为描述：其次，教师通过语言提示，提醒学生回顾必修3中已经学过的变量之间的相关关系，分析解决问题的方法.教师采用相关的软件画出其散点图（如图1），请同学们观察身高和体重这两个变量间的相关关系.同学们由图1可知，二者呈线性相关关系.同学们可以借助计算器，按照学过的公式求出回归方程.同时，教师可以采用相关的统计软件画出其回归直线 （如图2）.应用相关软件求回归方程及其图象时，教师向同学们介绍相关数学软件的功能，并告诉大家给的数据越多，利用软件求解就越方便.（在教学过程中建议教师在采用excel求出回归直线方程，因这是求回归分析最简单的软件.）
设计意图：设计这样的情境（当然，也可以以男同学的身高和体重为例），能够提高学生的积极性与主动性，使学生快速进入到数学课堂中来.教師在此过程中，采用多媒体（包括教学课件和Excel）课堂演示并加以引导的教学方法，内容的深度和广度可以很好的满足实际应用的需要. 这样，不但在实际教学工
3.2自主探究，引发思考
问题2：对于身高为169cm的同学，由回归方程预报的体重为60.32kg，所得的预测值一定是该同学的体重吗？如果不是，你能够解释一下原因吗？若改变样本，即所选的8名同学不同，所预测的结果是否相同？
教师行为描述：教师从班级中挑选出班级里身高为169cm的女生，让她们报出自己的体重.同学们发现班级中有身高为169cm的女生的体重不是60.32kg.接下来，请同学们思考原因是什么.请几个同学们试着说一说原因，之后教师让同学们观察图2，发现样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以用一次函数 来描述它们之间的关系不太准确.它们之间只是近似有这样的关系. 是样本对 的估计值. 教师让学生分组，看看所选的8名同学不同，所得出的相关关系有何不同，预测的结果又是如何.
设计意图：以班级中实际例子来说明预测值不一定是该同学的体重.引发学生的思考.在这个教学过程中，教师在引导着学生一步一步的探索. 该过程体现出教师是学生学习的促进者、启发者、指导者.
3.3师生交流，讲授新知
教师根据学生的反应情况，实施相应的教学策略.学生在建构知识的同时，发现回归方程的预测值与实际情况会出现误差这一现象，并且受样本的影响.教师顺势提出样本的随机性引起的预报值和真实值的误差，从而提出随机误差（random error）的定义.给出随机误差的定义之后，用案例进行说明利用回归分析所建立的模型进行预测时会存在误差.用软件和多媒体展示在搜集数据时选取的样本不同，产生的随机误差也不相同，同时给出线性回归模型 ，其中 称为随机误差.
问题3：产生随机误差的原因是什么？在线性回归模型中， 是用 预报真实值 的随机误差，它是一个不可观测的量，那么应该怎样研究随机误差呢？ 教师用非常响亮的声音提出产生随机误差的原因是什么.采用头脑风暴的方式，让同学们回答他们所想到的原因.让学生明白一个人的体重除了受身高的影响外，还受其它许多因素的影响.线性回归方程只是近似表示身高和体重的关系.紧接着再抛出提问，怎样研究随机误差呢.此问题由小组合作，同学们相互讨论来完成.在讨论的过程中，教师参与到某一小组，听一听学生们是如何考虑的. 鼓励每一个学生参与到同伴的讨论中.教师总结问题结论：随机误差的估计值 ， . 称为相应于点 的残差（residual）.
设计意图：教师应该对此内容有着深刻的理解，用厚实的数学基础来讲解，将教学内容多样化的呈现出来，这样能很好的吸引学生.教师更多的对学生施加间接影响，多提问，少讲授，在教学中充分考虑学生所表达的思想和感情.
教师行为描述：给出残差的定义之后，教师再给同学们一些时间，讨论这两个问题.确定用残差的知识来解决之后，让同学们分组计算问题1中每个样本点的残差 （如表2）.为了更直观的表示，可以用图形来分析残差的特性.教师指导学生动手绘出残差图，教师用统计软件做出以样本编号为横坐标的残差图（如图3）.最后给同学们留下思考题：如何发现数据中的错误？如何衡量模型的拟合效果？这个问题让学生课下思考.
设计意图：计算残差、作残差图，也是本节课的重点内容，需要师生的重视.通过师生的共同探讨，采用讲授法教学，突破教学重点.教师领悟并恰当运用“教与学”对应原理，即教师的“教”建立在学生的“学”基础之上，也能够提高学生的课堂学习效率.
（1） 作GDP和年份的散點图，根据该图猜想它们之间的关系应是什么.
（2） 建立年份为解释变量，GDP为预报变量的回归模型，并计算残差.
（3） 根据你得到的模型，预报2003年的GDP，看看你的预报值与实际GDP（117252亿元）的误差是多少.
设计意图：将经济学等相关知识融入回归模型，增加模型直观背景的讲解，使学生更好的理解和掌握线性回归分析的应用，使学生能够与前面所学的知识融会贯通，激发学生根据理论知识的学习应用到实际案例中去，通过模型的建立与分析，提高学生的实际操作技术和解决现实社会经济问题的能力.
3.5课堂总结，回顾重点
教学的小结回顾，让学生明确知道本节课所学习的内容，加深学生从整体上对知识的理解.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的常用方法.采用回归分析基本思想，解决实际问题的过程如下：
（1）从散点图看出样本点呈条状分布，体重与身高具有线性关系，因此可以利用线性回归方程来近似刻画它们之间的关系.（2）由回归方程预测到的身高为169cm的女生体重不一样，它只是一个平均值.（3）样本点不完全落在回归方程之上，存在随机误差，在数学上可以用残差来研究.
5.教学反思
本设计把信息技术与课程内容有机结合作为课程的基本理念和数学教师的任务.数学教师有效地使用各种数学教育技术平台，让学生不再认为数学只是公式的记忆及数据代入，感受到数学的魅力所在.该教学设计注重学生的发展，体现出学生是课堂的真正主人. 通过学生在课堂上的探索发现，注重培养学生的数学思想方法，如统计思想、随机观念，函数思想，数形结合思想方法等，引导学生体验数学中的理性精神，加强数字形式下的思考和推理.当然，此教学设计也存在不足之处.教学重难点、作业以及板书设计等都省略了，教学设计内容的重在描述教师课堂教学的行为.
参考文献：
[1] 叶尧城. 高中数学课程标准教师读本[M].武汉：华中师范大学出版社，2003.
[2] 林正范，徐丽华.对教师行为研究的认识[J].教师教育研究，2006（2）：23-26.
基金项目：河南省教育课程改革研究项目（教师（2012）1111号）
关键词：高效课堂教学；教学行为；回归分析；教学设计
【中图分类号】G633.6
1.问题的提出
高中新课程标准指出，对于希望继续升入高一级学校学习或具有较高数学素养的学生，需要在必修课程的基础上进一步学会适合于自己的数学，为此，课程标准设置选修课程.它的内容按照遵循学生的个性发展和对未来的人生规划思考而制定.他们对选修课的态度，决定了他们上选修课时的教学行为，进而影响学生对这一部分知识的学习. 选修系列1是为那些希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的.选修1—2中的回归分析的基本思想及其应用是新课程标准新增加的内容，是数学必修3中统计内容的进一步拓展. 在数学必修3中，学生已经学习了两个变量之间的相关关系，包括画散点图，利用最小二乘法求回归直线方程等内容.这一部分的知识内容多，学时短，对于学生来说有一定的难度.因此，本文以高效课堂教学行为理论为指导，探究回归分析的基本思想及其初步应用（第一课时）的教学设计，对高中选修课的教学改革提供一些参考.
2.高效课堂设计的设想
高效课堂的教师教学行为对于新课程改革来说，是非常重要的一环.高效教学行为应该具有的特征是：要在八方联系、融会贯通中开展数学活动；教师要注重数学思想方法的渗透和总结.高效课堂教师教学行为下的教学设计思想遵从以下几方面的原则：（1）教师进行教学设计时严格按照教学目标和教学要求制定；（2）教师需要转变教学理念，将先进的教学理念化作课堂实施内容；（3）教师教学时要体现以学生为主体的理念，关注学生全面发展.
3.教学目标的确定
教师在制定教学目标时，既要考虑全班同学的实际情况，又要考虑每个学生的发展状况.学习统计的相关知识，目的是使学生经历数据处理的过程，培养学生对数据的直观感觉，认识统计方法的特点，体会统计方法应用的广泛性和对于决策的作用.
4.教学过程设计
回归分析的基本思想及其应用是一节应用型的数学课，课程的内容较多，并且是由大学数学内容下放到高中数学的内容，对于高中生来说具有一定的难度.本文采用问题导入法，从高效课堂的教师教学行为的角度做如下教学设计：
3.1创设情境，新课导入
教师行为描述：开始上课之时，教师从所在班级随机选取8名女生，请她们报出自己的身高和体重（身高单位是cm，体重单位是kg）.把这8位女生的身高和体重都填入事先制定好的表格1中，然后提出问题.
问题1.根据班级中女生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高169cm（随机选取的8名学生中没有身高为169cm，而班级中有身高为169cm的女生）的女同学的体重.
教师行为描述：其次，教师通过语言提示，提醒学生回顾必修3中已经学过的变量之间的相关关系，分析解决问题的方法.教师采用相关的软件画出其散点图（如图1），请同学们观察身高和体重这两个变量间的相关关系.同学们由图1可知，二者呈线性相关关系.同学们可以借助计算器，按照学过的公式求出回归方程.同时，教师可以采用相关的统计软件画出其回归直线 （如图2）.应用相关软件求回归方程及其图象时，教师向同学们介绍相关数学软件的功能，并告诉大家给的数据越多，利用软件求解就越方便.（在教学过程中建议教师在采用excel求出回归直线方程，因这是求回归分析最简单的软件.）
设计意图：设计这样的情境（当然，也可以以男同学的身高和体重为例），能够提高学生的积极性与主动性，使学生快速进入到数学课堂中来.教師在此过程中，采用多媒体（包括教学课件和Excel）课堂演示并加以引导的教学方法，内容的深度和广度可以很好的满足实际应用的需要. 这样，不但在实际教学工
3.2自主探究，引发思考
问题2：对于身高为169cm的同学，由回归方程预报的体重为60.32kg，所得的预测值一定是该同学的体重吗？如果不是，你能够解释一下原因吗？若改变样本，即所选的8名同学不同，所预测的结果是否相同？
教师行为描述：教师从班级中挑选出班级里身高为169cm的女生，让她们报出自己的体重.同学们发现班级中有身高为169cm的女生的体重不是60.32kg.接下来，请同学们思考原因是什么.请几个同学们试着说一说原因，之后教师让同学们观察图2，发现样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以用一次函数 来描述它们之间的关系不太准确.它们之间只是近似有这样的关系. 是样本对 的估计值. 教师让学生分组，看看所选的8名同学不同，所得出的相关关系有何不同，预测的结果又是如何.
设计意图：以班级中实际例子来说明预测值不一定是该同学的体重.引发学生的思考.在这个教学过程中，教师在引导着学生一步一步的探索. 该过程体现出教师是学生学习的促进者、启发者、指导者.
3.3师生交流，讲授新知
教师根据学生的反应情况，实施相应的教学策略.学生在建构知识的同时，发现回归方程的预测值与实际情况会出现误差这一现象，并且受样本的影响.教师顺势提出样本的随机性引起的预报值和真实值的误差，从而提出随机误差（random error）的定义.给出随机误差的定义之后，用案例进行说明利用回归分析所建立的模型进行预测时会存在误差.用软件和多媒体展示在搜集数据时选取的样本不同，产生的随机误差也不相同，同时给出线性回归模型 ，其中 称为随机误差.
问题3：产生随机误差的原因是什么？在线性回归模型中， 是用 预报真实值 的随机误差，它是一个不可观测的量，那么应该怎样研究随机误差呢？ 教师用非常响亮的声音提出产生随机误差的原因是什么.采用头脑风暴的方式，让同学们回答他们所想到的原因.让学生明白一个人的体重除了受身高的影响外，还受其它许多因素的影响.线性回归方程只是近似表示身高和体重的关系.紧接着再抛出提问，怎样研究随机误差呢.此问题由小组合作，同学们相互讨论来完成.在讨论的过程中，教师参与到某一小组，听一听学生们是如何考虑的. 鼓励每一个学生参与到同伴的讨论中.教师总结问题结论：随机误差的估计值 ， . 称为相应于点 的残差（residual）.
设计意图：教师应该对此内容有着深刻的理解，用厚实的数学基础来讲解，将教学内容多样化的呈现出来，这样能很好的吸引学生.教师更多的对学生施加间接影响，多提问，少讲授，在教学中充分考虑学生所表达的思想和感情.
教师行为描述：给出残差的定义之后，教师再给同学们一些时间，讨论这两个问题.确定用残差的知识来解决之后，让同学们分组计算问题1中每个样本点的残差 （如表2）.为了更直观的表示，可以用图形来分析残差的特性.教师指导学生动手绘出残差图，教师用统计软件做出以样本编号为横坐标的残差图（如图3）.最后给同学们留下思考题：如何发现数据中的错误？如何衡量模型的拟合效果？这个问题让学生课下思考.
设计意图：计算残差、作残差图，也是本节课的重点内容，需要师生的重视.通过师生的共同探讨，采用讲授法教学，突破教学重点.教师领悟并恰当运用“教与学”对应原理，即教师的“教”建立在学生的“学”基础之上，也能够提高学生的课堂学习效率.
（1） 作GDP和年份的散點图，根据该图猜想它们之间的关系应是什么.
（2） 建立年份为解释变量，GDP为预报变量的回归模型，并计算残差.
（3） 根据你得到的模型，预报2003年的GDP，看看你的预报值与实际GDP（117252亿元）的误差是多少.
设计意图：将经济学等相关知识融入回归模型，增加模型直观背景的讲解，使学生更好的理解和掌握线性回归分析的应用，使学生能够与前面所学的知识融会贯通，激发学生根据理论知识的学习应用到实际案例中去，通过模型的建立与分析，提高学生的实际操作技术和解决现实社会经济问题的能力.
3.5课堂总结，回顾重点
教学的小结回顾，让学生明确知道本节课所学习的内容，加深学生从整体上对知识的理解.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的常用方法.采用回归分析基本思想，解决实际问题的过程如下：
（1）从散点图看出样本点呈条状分布，体重与身高具有线性关系，因此可以利用线性回归方程来近似刻画它们之间的关系.（2）由回归方程预测到的身高为169cm的女生体重不一样，它只是一个平均值.（3）样本点不完全落在回归方程之上，存在随机误差，在数学上可以用残差来研究.
5.教学反思
本设计把信息技术与课程内容有机结合作为课程的基本理念和数学教师的任务.数学教师有效地使用各种数学教育技术平台，让学生不再认为数学只是公式的记忆及数据代入，感受到数学的魅力所在.该教学设计注重学生的发展，体现出学生是课堂的真正主人. 通过学生在课堂上的探索发现，注重培养学生的数学思想方法，如统计思想、随机观念，函数思想，数形结合思想方法等，引导学生体验数学中的理性精神，加强数字形式下的思考和推理.当然，此教学设计也存在不足之处.教学重难点、作业以及板书设计等都省略了，教学设计内容的重在描述教师课堂教学的行为.
参考文献：
[1] 叶尧城. 高中数学课程标准教师读本[M].武汉：华中师范大学出版社，2003.
[2] 林正范，徐丽华.对教师行为研究的认识[J].教师教育研究，2006（2）：23-26.
基金项目：河南省教育课程改革研究项目（教师（2012）1111号）