论文部分内容阅读
【摘 要】大数据时代，不同学科的交叉综合使得知识日新月异。因此教师在教学中应该打破学科壁垒，以知识之间的联系为教学内容组织的原则与依据，注重培养学生的学习兴趣，并帮助他们树立终身学习观，使其成长为具有创新精神与自主学习和实践能力的复合型人才。笔者依据STEM与自主学习的教育理念，以高等数学调和级数的教学为例，将调和级数与计算机科学、建筑学、物理学等学科内容相联系进行研究。经分析调研，本文所设计的调和级数课堂教学方式在提升学生综合能力和自学能力等方面取得了良好效果。
【关键词】STEM;自主学习;调和级数;学习兴趣
【中图分类号】G642.45 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2020）16-0011-02
随着信息技术的发展，当今社会已进入大数据时代，各种数据的融合应用，不同学科的交叉综合，对教学提出了更高的要求。从传统的分科教学到如今强调学科之间的深度融合，STEM教育理念应运而生，解决了学科间深度融合的有效路径问题，它强调将科学（Science）、技术（Technology）、工程（Engineer）和数学（Mathematics）四个学科相融合，打破学科壁垒，基于真实世界中的问题情境开展教学。无论是科学教育还是数学教育，都需要学生在真实情境中，调用各类知识解决复杂问题[1-2]。
教师在教学中应将知识之间的联系作为教学内容组织的原则与依据，同时注重培养学生的学习兴趣、学习能力，并帮助他们树立终身学习观。只有树立终身学习观、拥有自主学习能力，学生才会不断学习，才能适应社会发展的要求，成为具有创新精神和实践能力的复合型人才[3]。高等数学课程在高校人才培养中起着非常重要的作用，其教学内容的设计对教学效果和人才培养都会产生较大影响，因此，它的每一堂课都值得精心设计和安排[4]。下文以高等数学调和级数的教学为例，阐述将STEM与自主学习教育理念相融合而产生的教学效果。
1 调和级数的教学实践内容
调和级数是指自然数的倒数之和，即。证明调和级数发散方法有很多，教师可将其作为练习题，留给学生自行完成，并根据学生完成证明的情况给出平时成绩。之后，教师再对调和级数发散的不同证明方法进行对比讲解。
调和级数的前项和与的差所构成的数列收敛，该收敛值称为欧拉常数。利用“单调下降有下界的数列必收敛”进行证明，并鼓励学生课后探索新的证明方法以及调和级数的其他性质。在完成上述基本教学内容的同时，适当融入STEM与自主学习教育理念，在课堂上穿插两个涉及计算机科学、建筑学、物理学等知识的实例。
1.1 蠕虫橡皮筋悖论
假设一条蠕虫沿着一条长1米的橡皮筋爬行，而橡皮筋每分钟均匀伸长1米。如果相对其所在的橡皮筋，蠕虫爬行的速度是每分钟1厘米，那么蠕虫最终会达到橡皮筋的另一頭吗[5]？
看似蠕虫不可能到达另一头，而事实却并非如此，这便是调和级数发散性质的一个应用。数学中称这个问题为“蠕虫橡皮筋悖论”。通过这一现象，不仅可以加深学生对调和级数发散的印象，而且可以帮助他们形成科学精神和正确的认知观。
教师可以顺着学生的好奇心进行解释，当橡皮筋伸长时，蠕虫已经爬过的橡皮筋路段也对应的伸长，所以蠕虫爬过的橡皮筋路段长与整个橡皮筋长的比是不会改变的。如1分钟后蠕虫爬行了1厘米，占橡皮筋总长的，橡皮筋伸长后所爬过的路段也伸长，仍为总长的。那么分钟后，蠕虫爬行过的距离与橡皮筋伸长的总长度比为。因为调和级数是发散的，所以这个比值必定在某个时刻大于1，这就说明蠕虫可以到达橡皮筋的另一端。
到底要多久才可以到达呢？教师可以让学生在课后使用计算机编程进行计算，有的学生用Python编程进行计算，虽然程序正确，却无法得出结果。实际上值非常大，约为，即使用现今最快的计算机也无法在有效的时间内循环完上述次数。因此，可以借此引导学生去了解计算机科学中可计算与实际可计算的概念和计算机算法时间复杂度的概念[6]。
让学生估算，一来可以使学生借此熟悉调和级数的性质，二来可以帮助学生去了解计算机科学的一些重要概念和思想。
1.2 “比萨斜塔”会倒塌吗
著名的比萨斜塔会倒塌吗？这是一个复杂的问题，用单方面的知识是无法得出确切答案的。可以引导学生联想阿联酋首都阿布扎比的“首都门”、浙江钱江绿色建筑科技馆、哥本哈根贝拉空中酒店等建筑，让他们思考这些建筑的顶部都倾斜凸出到地基之外而不倒塌，其中的数学道理是什么。
探求这些建筑中的数学原理，要考虑将多块质量均匀的砖块叠在一起，并使得每块砖较其下面的砖凸出一定的长度，是否可以使某块砖完全在最下面一块砖之外？换言之，是否可以找到一块砖使其在水平面上的垂直投影与最下面的一块砖无重叠[7]？
堆砖的方式很重要，一堆刚好平衡的砖是指对于任意一层砖，在其之上的砖堆的质心恰好落在其边缘。新添加的砖不能置于其上方，否则会使得质心向右偏移而倒塌，应该堆在整堆砖之下，并使得原有砖堆的质心刚好落在新砖的最右端，这样原来的砖就不会倒塌，见下图。由此引导学生回顾物理中质量和质心的概念，以及杠杆原理和计算质心的办法。
为简单起见，不妨设每块砖的长度为1，砖的指标数从上往下而定，最上面的砖记为第1块，第1块下面紧邻的砖记为第2块，依此类推。
如下图，是第块砖的质心到第块砖的右边缘的距离，是第块砖右边缘到第块砖右边缘的距离。显然，由第块砖杠杆平衡可知，解得。
按上面的摆法，若堆叠了块砖，那么最顶层和最底层砖右端的水平距离是，因为调和级数是发散的，所以当砖块数趋于无穷时，水平距离也可以到达无穷，即可以找到一块砖，使其在水平面上的垂直投影与最下面的一块砖无重叠，甚至可以间隔无穷大。
2 结束语
在介绍调和级数时，穿插讲解“蠕虫橡皮筋悖论”和“比萨斜塔问题”等涉及计算机、物理、建筑等多方面知识的问题，能够激发学生的学习兴趣，引导学生自由探索和自主学习。这样学生不仅可以学习和巩固调和级数方面的数学知识，同时也能探索和学习到其他知识。经过课堂反馈、测试、课后调研发现，融合STEM与自主学习教育理念所设计的调和级数课堂教学内容在提升学生的综合能力和自学能力等方面取得了良好效果。
【参考文献】
[1]陈晓慧，徐彬，张哲等.STEM教育研究与实践的理念与路径——访不列颠哥伦比亚大学科学教育专家Samson Nashon教授[J].中国电化教育，2019（387）.
[2]王志强.美国高校创客教育与STEM教育的融合：理念、路径、启示[J].复旦教育论坛，2016（4）.
[3]何思颖，何光全.终身教育百年：从终身教育到终身学习[J].现代远程教育研究，2019（1）.
[4]徐利治.关于高等数学教育与教学改革的看法及建议[J].数学教育学报，2000（2）.
[5]甘志国.蠕虫爬橡皮绳问题[J].数学通报，2002（11）.
[6]萨特吉·萨尼.数据结构、算法与应用：C++语言描述[M].机械工业出版社，2015.
[7]英子.意大利的比萨斜塔[J].世界文化，2012（6）.
【作者简介】
黄小杰（1983～），男，汉，江西南昌人，博士，讲师。研究方向：数学及其教育。
刘芝秀（1982～），女，汉，四川荣县人，硕士研究生，讲师。研究方向：数学及其教育。
【关键词】STEM;自主学习;调和级数;学习兴趣
【中图分类号】G642.45 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2020）16-0011-02
随着信息技术的发展，当今社会已进入大数据时代，各种数据的融合应用，不同学科的交叉综合，对教学提出了更高的要求。从传统的分科教学到如今强调学科之间的深度融合，STEM教育理念应运而生，解决了学科间深度融合的有效路径问题，它强调将科学（Science）、技术（Technology）、工程（Engineer）和数学（Mathematics）四个学科相融合，打破学科壁垒，基于真实世界中的问题情境开展教学。无论是科学教育还是数学教育，都需要学生在真实情境中，调用各类知识解决复杂问题[1-2]。
教师在教学中应将知识之间的联系作为教学内容组织的原则与依据，同时注重培养学生的学习兴趣、学习能力，并帮助他们树立终身学习观。只有树立终身学习观、拥有自主学习能力，学生才会不断学习，才能适应社会发展的要求，成为具有创新精神和实践能力的复合型人才[3]。高等数学课程在高校人才培养中起着非常重要的作用，其教学内容的设计对教学效果和人才培养都会产生较大影响，因此，它的每一堂课都值得精心设计和安排[4]。下文以高等数学调和级数的教学为例，阐述将STEM与自主学习教育理念相融合而产生的教学效果。
1 调和级数的教学实践内容
调和级数是指自然数的倒数之和，即。证明调和级数发散方法有很多，教师可将其作为练习题，留给学生自行完成，并根据学生完成证明的情况给出平时成绩。之后，教师再对调和级数发散的不同证明方法进行对比讲解。
调和级数的前项和与的差所构成的数列收敛，该收敛值称为欧拉常数。利用“单调下降有下界的数列必收敛”进行证明，并鼓励学生课后探索新的证明方法以及调和级数的其他性质。在完成上述基本教学内容的同时，适当融入STEM与自主学习教育理念，在课堂上穿插两个涉及计算机科学、建筑学、物理学等知识的实例。
1.1 蠕虫橡皮筋悖论
假设一条蠕虫沿着一条长1米的橡皮筋爬行，而橡皮筋每分钟均匀伸长1米。如果相对其所在的橡皮筋，蠕虫爬行的速度是每分钟1厘米，那么蠕虫最终会达到橡皮筋的另一頭吗[5]？
看似蠕虫不可能到达另一头，而事实却并非如此，这便是调和级数发散性质的一个应用。数学中称这个问题为“蠕虫橡皮筋悖论”。通过这一现象，不仅可以加深学生对调和级数发散的印象，而且可以帮助他们形成科学精神和正确的认知观。
教师可以顺着学生的好奇心进行解释，当橡皮筋伸长时，蠕虫已经爬过的橡皮筋路段也对应的伸长，所以蠕虫爬过的橡皮筋路段长与整个橡皮筋长的比是不会改变的。如1分钟后蠕虫爬行了1厘米，占橡皮筋总长的，橡皮筋伸长后所爬过的路段也伸长，仍为总长的。那么分钟后，蠕虫爬行过的距离与橡皮筋伸长的总长度比为。因为调和级数是发散的，所以这个比值必定在某个时刻大于1，这就说明蠕虫可以到达橡皮筋的另一端。
到底要多久才可以到达呢？教师可以让学生在课后使用计算机编程进行计算，有的学生用Python编程进行计算，虽然程序正确，却无法得出结果。实际上值非常大，约为，即使用现今最快的计算机也无法在有效的时间内循环完上述次数。因此，可以借此引导学生去了解计算机科学中可计算与实际可计算的概念和计算机算法时间复杂度的概念[6]。
让学生估算，一来可以使学生借此熟悉调和级数的性质，二来可以帮助学生去了解计算机科学的一些重要概念和思想。
1.2 “比萨斜塔”会倒塌吗
著名的比萨斜塔会倒塌吗？这是一个复杂的问题，用单方面的知识是无法得出确切答案的。可以引导学生联想阿联酋首都阿布扎比的“首都门”、浙江钱江绿色建筑科技馆、哥本哈根贝拉空中酒店等建筑，让他们思考这些建筑的顶部都倾斜凸出到地基之外而不倒塌，其中的数学道理是什么。
探求这些建筑中的数学原理，要考虑将多块质量均匀的砖块叠在一起，并使得每块砖较其下面的砖凸出一定的长度，是否可以使某块砖完全在最下面一块砖之外？换言之，是否可以找到一块砖使其在水平面上的垂直投影与最下面的一块砖无重叠[7]？
堆砖的方式很重要，一堆刚好平衡的砖是指对于任意一层砖，在其之上的砖堆的质心恰好落在其边缘。新添加的砖不能置于其上方，否则会使得质心向右偏移而倒塌，应该堆在整堆砖之下，并使得原有砖堆的质心刚好落在新砖的最右端，这样原来的砖就不会倒塌，见下图。由此引导学生回顾物理中质量和质心的概念，以及杠杆原理和计算质心的办法。
为简单起见，不妨设每块砖的长度为1，砖的指标数从上往下而定，最上面的砖记为第1块，第1块下面紧邻的砖记为第2块，依此类推。
如下图，是第块砖的质心到第块砖的右边缘的距离，是第块砖右边缘到第块砖右边缘的距离。显然，由第块砖杠杆平衡可知，解得。
按上面的摆法，若堆叠了块砖，那么最顶层和最底层砖右端的水平距离是，因为调和级数是发散的，所以当砖块数趋于无穷时，水平距离也可以到达无穷，即可以找到一块砖，使其在水平面上的垂直投影与最下面的一块砖无重叠，甚至可以间隔无穷大。
2 结束语
在介绍调和级数时，穿插讲解“蠕虫橡皮筋悖论”和“比萨斜塔问题”等涉及计算机、物理、建筑等多方面知识的问题，能够激发学生的学习兴趣，引导学生自由探索和自主学习。这样学生不仅可以学习和巩固调和级数方面的数学知识，同时也能探索和学习到其他知识。经过课堂反馈、测试、课后调研发现，融合STEM与自主学习教育理念所设计的调和级数课堂教学内容在提升学生的综合能力和自学能力等方面取得了良好效果。
【参考文献】
[1]陈晓慧，徐彬，张哲等.STEM教育研究与实践的理念与路径——访不列颠哥伦比亚大学科学教育专家Samson Nashon教授[J].中国电化教育，2019（387）.
[2]王志强.美国高校创客教育与STEM教育的融合：理念、路径、启示[J].复旦教育论坛，2016（4）.
[3]何思颖，何光全.终身教育百年：从终身教育到终身学习[J].现代远程教育研究，2019（1）.
[4]徐利治.关于高等数学教育与教学改革的看法及建议[J].数学教育学报，2000（2）.
[5]甘志国.蠕虫爬橡皮绳问题[J].数学通报，2002（11）.
[6]萨特吉·萨尼.数据结构、算法与应用：C++语言描述[M].机械工业出版社，2015.
[7]英子.意大利的比萨斜塔[J].世界文化，2012（6）.
【作者简介】
黄小杰（1983～），男，汉，江西南昌人，博士，讲师。研究方向：数学及其教育。
刘芝秀（1982～），女，汉，四川荣县人，硕士研究生，讲师。研究方向：数学及其教育。