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摘 要：排列组合是初等数学的难点，本篇论文利用我们学过的映射观点来解决这类问题，试图通过高等知识与初等知识的相互渗透，使解题思路变得清晰、明了。
关键词：映射 排列 组合 有限集
排列组合是中等数学课程中的一个难点，这部分知识之所以难是因为它的内容比较独特，是一个较为独特的知识体系，与其它数学知识联系甚少，解决问题需要较强的分析能力，要善于从各种不同的角度分析，思考，对符合题设条件的种种情况必须正确分类，做到既不重复又不遗漏，处理排列组合问题应该掌握排列与组合的基本概念、加法、乘法原理以及分类的思想方法，从集合论的观点看，排列组合是有限集合的元素在某些特定条件下的列举，若用映射的观点进行分析和思考，将有助于对排列组合实质的理解，更有助于释疑排难，提高思维能力，从而找到解题的正确途径。
1.与有限集的映射有关的概念
设X、Y是两个有限集合，X到Y的映射， f:X→Y可按下列两个条件进行分类：
①Y的任一个元素都是X的不多于一个元素的象；
②Y的每个元素都是X的不少于一个元素的象；
满足条件①的映射叫做X到Y内的单射，满足条件②的映射叫做X到Y上的映射或满射，同时满足条件①和②的映射叫——映射或双射。
这样，从逻辑上讲，X到Y的映射可分为四类；双射（单且满）；单而不满；满而不单；不单且不满。
如果集合X上的顺序关系满足三歧性、传递性，则称X为线性有序集。设X，Y是线性有序集， f:X→Y是X到Y的映射，如果 x1，x2∈X由x1＜x2可得f（x1）＜f（x2）则称f是严格保序映射；如果 x1，x2∈X由x1＜x2可得f2.有限集的映射个数与排列组合数的关系
在日常生活中，我们常把由若干个事物构成的有限集合A的元素放在位置集合B中的某一位置上，A的元素在B中的位置的特殊分布就是一个排列（组合）。例如：有四本书a，b，c，d我们要将其中三本分别放到三个抽屉里，第一个抽屉放a，第二个抽屉放b，第三个抽屉放c，这种方法实质上是从四本书中取三本的一处排列（b，c，a）。从映射的角度看，这种放书的方法构成了抽屉集合到书本集合的映射：f：f（1）=b, （3）（2）=c ,f（3）=a。
一般的，设n个事物的集合为A={a1，a2，…an} ,前m个自然数的集合为 Nm={1，2，…,m } ，由排列、组合的意义可知：从n个事物的集合A中选出m个不同事物的一个排列实际上就是从集合Nm到集合A的单射f: Nm→A.排列与顺序有关，在这里选出第一个事物为 f（1），第二个事物为f（2），…第m个事物为f（m）。假定从A中选出的m个事物构成的子集为B，则从集合Nm到A的以B为象集的所有单射φ：Nm →A给出了一个从n个事物中取出m事物的组合。也就是说，从n个事物的集合A中取出m个事物的组合实际上就是从集合Nm到集合A中取出m个事物的组合实际上从集合Nm到集合A的具有相同象集B的所有单射。
有限集的映射个数与排列、组合之间有如下关系：
事实上，从n个不相同元素中取出m个元素的任一无重复排列都确定一个从Nm到A的单射。反之，从Nm到A的任一单射都确定A中 个元素的一个排列，也就是说，从n个不相同元素中取出 m个元素不重复的排列的集合与从Nm到A的单射的集合之间可建立一一对应关系。
数。
由组合的定义易知，从n个相异元素中取m个元素无重复的组合数，就是集合A内m元子集的个数。于是，我们只要能证明从Nm到A的严格保序映射的个数等于A内m元子集的个数即可。
设f是Nm到A内的严格保序映射，则任给j，j∈Nm,当i ③从n个相异元素中取m个元素可重复的排列数nm等于Nm到A的映射个数。
它有n中取法，故从Nm到A的映射的个数为nm。
数。
首先，从n个不相同元素中取m个元素可重复的组合的集合与有( m1, m2,…,mn)的集合可以建立一一对应的关系，其中mi(1≤i≤n) 是A中元素ai取出的个数，并且m1+m2+…+mn=m。
其次，有序组（m1, m2,…,mn）的集合与线性有序集Nm到线性有序集A的不严格保序映射的集合又可建立一一对应关系，这只需将Nm中前m1个元素映射到a1，接着的m2个元素映射到a2,…,最后的mn个元素映射到an即可。因此，④的结论是正确的。
3.用映射观点分析、解决排列组合问题
例1，3封信投入四个信箱，有多少种不同的投递方法？
分析： 对该问题，通常有两种思考方法，其一是“以信为主”，由于每封信可能投入4个信箱中任一个，即有4种投法，因此，总的投递方法是43，其二是“以信箱为主”，由于每个信箱可能接纳3封信中的任一封，即有3种方法，因此总的投递方法是34，两种思路得出两种不同的结果，究竟哪种解法正确，令人费解。若用映射观点分析，处理问题就会很清楚，，因为同一封信只能投入一个信箱，不能同时投入几个信箱，而一个信箱却可以同时接纳几封信，所以，作为映射的定义域只能是X={3封信}，映射的值域是Y={4个信箱}，每一个从X到Y的映射决定了一种投递方法，由③知，该问题是一个可重复的排列问题，总的投递方法是43。
处理排列组合问题的关键是判断问题的类型，即判断问题属于无重复的排列、组合、重复的排列、组合中的哪一类，这是一个难点，既是归类正确，在具体计算时也容易出现重复或遗漏现象，用映射的观点分析，处理排列组合问题既可使问题正确规类，又可避免重复、遗漏现象，且思路清晰，层次分明，能有效地防止错误。
（张家口教育学院宣化分校 075100）
关键词：映射 排列 组合 有限集
排列组合是中等数学课程中的一个难点，这部分知识之所以难是因为它的内容比较独特，是一个较为独特的知识体系，与其它数学知识联系甚少，解决问题需要较强的分析能力，要善于从各种不同的角度分析，思考，对符合题设条件的种种情况必须正确分类，做到既不重复又不遗漏，处理排列组合问题应该掌握排列与组合的基本概念、加法、乘法原理以及分类的思想方法，从集合论的观点看，排列组合是有限集合的元素在某些特定条件下的列举，若用映射的观点进行分析和思考，将有助于对排列组合实质的理解，更有助于释疑排难，提高思维能力，从而找到解题的正确途径。
1.与有限集的映射有关的概念
设X、Y是两个有限集合，X到Y的映射， f:X→Y可按下列两个条件进行分类：
①Y的任一个元素都是X的不多于一个元素的象；
②Y的每个元素都是X的不少于一个元素的象；
满足条件①的映射叫做X到Y内的单射，满足条件②的映射叫做X到Y上的映射或满射，同时满足条件①和②的映射叫——映射或双射。
这样，从逻辑上讲，X到Y的映射可分为四类；双射（单且满）；单而不满；满而不单；不单且不满。
如果集合X上的顺序关系满足三歧性、传递性，则称X为线性有序集。设X，Y是线性有序集， f:X→Y是X到Y的映射，如果 x1，x2∈X由x1＜x2可得f（x1）＜f（x2）则称f是严格保序映射；如果 x1，x2∈X由x1＜x2可得f2.有限集的映射个数与排列组合数的关系
在日常生活中，我们常把由若干个事物构成的有限集合A的元素放在位置集合B中的某一位置上，A的元素在B中的位置的特殊分布就是一个排列（组合）。例如：有四本书a，b，c，d我们要将其中三本分别放到三个抽屉里，第一个抽屉放a，第二个抽屉放b，第三个抽屉放c，这种方法实质上是从四本书中取三本的一处排列（b，c，a）。从映射的角度看，这种放书的方法构成了抽屉集合到书本集合的映射：f：f（1）=b, （3）（2）=c ,f（3）=a。
一般的，设n个事物的集合为A={a1，a2，…an} ,前m个自然数的集合为 Nm={1，2，…,m } ，由排列、组合的意义可知：从n个事物的集合A中选出m个不同事物的一个排列实际上就是从集合Nm到集合A的单射f: Nm→A.排列与顺序有关，在这里选出第一个事物为 f（1），第二个事物为f（2），…第m个事物为f（m）。假定从A中选出的m个事物构成的子集为B，则从集合Nm到A的以B为象集的所有单射φ：Nm →A给出了一个从n个事物中取出m事物的组合。也就是说，从n个事物的集合A中取出m个事物的组合实际上就是从集合Nm到集合A中取出m个事物的组合实际上从集合Nm到集合A的具有相同象集B的所有单射。
有限集的映射个数与排列、组合之间有如下关系：
事实上，从n个不相同元素中取出m个元素的任一无重复排列都确定一个从Nm到A的单射。反之，从Nm到A的任一单射都确定A中 个元素的一个排列，也就是说，从n个不相同元素中取出 m个元素不重复的排列的集合与从Nm到A的单射的集合之间可建立一一对应关系。
数。
由组合的定义易知，从n个相异元素中取m个元素无重复的组合数，就是集合A内m元子集的个数。于是，我们只要能证明从Nm到A的严格保序映射的个数等于A内m元子集的个数即可。
设f是Nm到A内的严格保序映射，则任给j，j∈Nm,当i
它有n中取法，故从Nm到A的映射的个数为nm。
数。
首先，从n个不相同元素中取m个元素可重复的组合的集合与有( m1, m2,…,mn)的集合可以建立一一对应的关系，其中mi(1≤i≤n) 是A中元素ai取出的个数，并且m1+m2+…+mn=m。
其次，有序组（m1, m2,…,mn）的集合与线性有序集Nm到线性有序集A的不严格保序映射的集合又可建立一一对应关系，这只需将Nm中前m1个元素映射到a1，接着的m2个元素映射到a2,…,最后的mn个元素映射到an即可。因此，④的结论是正确的。
3.用映射观点分析、解决排列组合问题
例1，3封信投入四个信箱，有多少种不同的投递方法？
分析： 对该问题，通常有两种思考方法，其一是“以信为主”，由于每封信可能投入4个信箱中任一个，即有4种投法，因此，总的投递方法是43，其二是“以信箱为主”，由于每个信箱可能接纳3封信中的任一封，即有3种方法，因此总的投递方法是34，两种思路得出两种不同的结果，究竟哪种解法正确，令人费解。若用映射观点分析，处理问题就会很清楚，，因为同一封信只能投入一个信箱，不能同时投入几个信箱，而一个信箱却可以同时接纳几封信，所以，作为映射的定义域只能是X={3封信}，映射的值域是Y={4个信箱}，每一个从X到Y的映射决定了一种投递方法，由③知，该问题是一个可重复的排列问题，总的投递方法是43。
处理排列组合问题的关键是判断问题的类型，即判断问题属于无重复的排列、组合、重复的排列、组合中的哪一类，这是一个难点，既是归类正确，在具体计算时也容易出现重复或遗漏现象，用映射的观点分析，处理排列组合问题既可使问题正确规类，又可避免重复、遗漏现象，且思路清晰，层次分明，能有效地防止错误。
（张家口教育学院宣化分校 075100）